Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

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1 Probabilités conditionnelles et variables aléatoires Métropole juin 2012 Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l issue duquel 70 % d entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés. 1. On choisit au hasard le dossier d un candidat. On considère les évènements suivants : D : «Le candidat est retenu sur dossier», E1 : «Le candidat est retenu à l issue du premier entretien», E2 : «Le candidat est recruté». a. Reproduire et compléter l arbre pondéré ci-dessous. b. Calculer la probabilité de l évènement E1. c. On note F l évènement «Le candidat n est pas recruté». Démontrer que la probabilité de l évènement F est égale à 0, Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à. 3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999? N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 1

2 Asie juin 2012 Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches. Ces k+3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu il gagne la partie. Partie A Dans la partie A, on pose. Ainsi l urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. 1. Un joueur joue une partie. On note la probabilité que le joueur gagne la partie, c est-à-dire la probabilité qu il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que. 2. Soit un entier tel que. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes. On note X la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties. a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p. b. Exprimer en fonction de n, puis calculer en arrondissant au millième. c. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %. Partie B Dans la partie B, le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 1. a. Justifier l égalité : b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire 2. On note l espérance mathématique de la variable aléatoire On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l espérance est strictement positive. Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 2

3 Antilles Guyane juin 2012 Les cinq questions sont indépendantes. 1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine. On choisit, au hasard, un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine? 2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair? Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et. Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à. 4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l évènement «l appareil présente un défaut d apparence» et F l évènement «l appareil présente un défaut de fonctionnement». On suppose que les évènements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l appareil présente un défaut d apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l appareil présente au moins l un des deux défauts est égale à 0,069. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l appareil présente le défaut F? 5. On considère l algorithme : A et C sont des entiers naturels C prend la valeur 0 Répéter 9 fois A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si Fin répéter Afficher C. Dans l expérience aléatoire simulée par l algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée. Quelle loi suit la variable X? Préciser ses paramètres. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 3

4 Liban juin 2012 On dispose de deux urnes et. L urne contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l urne, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l urne le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants : «le jeton tiré de l urne porte le numéro 1» «le jeton tiré de l urne porte le numéro 2» «le jeton tiré de l urne porte le numéro 3» «le jeton tiré de l urne porte le numéro 4» «toutes les boules tirées de l urne sont blanches» On donnera tous les résultats sous la forme d une fraction irréductible sauf dans la question 4.b) où une valeur arrondie à suffit. é é B sachant que l évènement est réalisé. Calculer de même la probabilité On admet dans la suite les résultats suivants : et 2. Montrer que, probabilité de l évènement, vaut. On pourra s aider d un arbre de probabilités. 3. On dit à un joueur que toutes les boules qu il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3? 4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches. a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N? b. Calculer la probabilité de l évènement (N = 3). Amérique du Nord - Mai 2012 Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhère à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis. On choisit au hasard un membre de cette association et on note : F l événement «le membre choisi est une femme», T l événement «le membre choisi adhère à la section tennis». 1. Montrer que la probabilité de l événement F est égale à. 2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 4

5 Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme? Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie. 1. Chaque semaine, un membre de l association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie. a. Déterminer la probabilité pour qu en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. b. Pour tout entier naturel n non nul, on note la probabilité pour qu en semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis. Montrer que pour tout entier non nul, c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que. 2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien. Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5 (puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l urne. On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5 euros) réalisé par un joueur lors d une partie de cette loterie. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. b. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résultat obtenu. Nouvelle-Calédonie - Mars 2012 On dispose de deux urnes et d un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L urne contient trois boules rouges et une boule noire. L urne contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l urne, sinon il tire au hasard une boule dans l urne. On considère les évènements suivants : A : «obtenir 1 en lançant le dé» B : «obtenir une boule noire». 1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire. b. Montrer que la probabilité d obtenir une boule noire est. c. Sachant que l on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d avoir obtenu 1 en lançant le dé. 2. On convient qu une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l urne d où elle provient. On note la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 5

6 a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. c. On donne le tableau suivant : ,0091 0,0637 0,2110 0,4467 0,6943 0,8725 0,9616 0,9922 0,9990 0,9999 Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l évènement : «la personne gagne au moins N parties». À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à? Polynésie septembre 2011 Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : «À quel niveau est votre bureau?» «Empruntez-vous l ascenseur ou l escalier pour vous y rendre?» Voici les réponses : 225 personnes utilisent l ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2e niveau et 100 vont au 3e niveau. Les autres personnes utilisent l escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont au 1er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants : : «La personne va au premier niveau.» : «La personne va au deuxième niveau.» : «La personne va au troisième niveau.» : «La personne emprunte l escalier.» 1. Traduire l énoncé à l aide d un arbre pondéré. 2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l escalier est égale à b. Montrer que les évènements, et sont équiprobables. c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l escalier sachant qu elle va au 2e niveau. 3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2e niveau. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 6

7 b. Déterminer, à près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2e niveau. c. En moyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2e niveau? 4. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais n personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l évènement «au moins un personne va au 2e niveau» soit supérieure ou égale à 0,99. Nouvelle-Calédonie Novembre 2007 (4 points) Tous les résultats seront arrondis à près. Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1. 1) On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a) On admet que suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Calculer les probabilités des événements suivants : : «il n'y a aucun stylo avec un défaut» : «il y a au moins deux stylos avec un défaut» : «il y a exactement deux stylos avec un défaut» 2) En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20% des stylos avec défaut. On prend au hasard un stylo dans la production. On note l'événement : «le stylo présente un défaut», et l'événement «le stylo est accepté». a) Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé. b) Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle. c) Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à près. 3) Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement calculée à la question 1) b). Quel commentaire peut-on faire? N. Duceux Lycée Paul Doumer Année 2012/13 Page 7