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1 L'univers Ω désigne un ensemble fini et P une loi de probabilité sur Ω. AER 1 p 328 I. Probabilités conditionnelles 1. Conditionnement par un événement Définition Soit A et deux événements de Ω, tels que P( A) 0. On définit la probabilité que soit réalisé sachant que A est réalisé, notée P A ( ), par la relation P A ( ) = P A P A Remarques P A P A A P A. se lit : «probabilité de sachant A». = 1. = 1 P A ( ). = 0. En effet on a A =. Si A et sont incompatibles, P A Application On donne P A Calculer P A Exercice 1 = 0,3, P( ) = 0,5 et P( A ) = 0,7., P A ( )et P ( A). Une société comprend 40 % de cadres dont la moitié parle anglais. De plus, 70 % de la totalité de ses employés ne parlent pas anglais. On interroge au hasard un employé de cette entreprise. On considère les événements suivants : C : «L employé interrogé est un cadre» ; A : «L'employé interrogé parle anglais». 1. Compléter le tableau des fréquences à double entrée ci-dessous : A A Total C 0,4 C total 1 2. Quelle est la probabilité que l'employé interrogé ne soit pas un cadre et parle anglais? 3. L employé interrogé n est pas un cadre. Quelle est la probabilité qu'il parle anglais? TS Lycée Ami 1

2 Conséquence Si P( A) 0, alors P( A ) = P( A) P A ( ). 2. Partition de l'univers Définition Les parties A 1, A 2,..., A n pour n 2, forment une partition d un ensemble E si les trois conditions suivantes sont réalisées : chacune de ces parties est non vide. Pour tout i, avec 1 i n, on a A i. Ces parties sont deux à deux disjointes. pour tous i et j avec 1 i n, 1 j n et i j, on a A i A j =. Leur réunion est égale à E. A 1 A 2... A n = E. Illustration Cas n = 5 Cas particulier n = 2 3. Formule des probabilités totales Cas général Si A 1, A 2,..., A n des événements de probabilités non nulles forment une partition de Ω, alors : ou P Cas particulier P( ) = P( A 1 ) + P( A 2 ) P( A n ) = P( A 1 ) P A1 ( ) + P( A 2 ) P A2 ( ) P( A n ) P An ( ) Si A est un événement de probabilité non nulle, alors : = P( A) + P A P ou P( ) = P( A) P A ( ) + P A P A 2

3 Exercice 2 On considère un univers Ω muni d'une loi de probabilité Pet deux événements A et de Ω de probabilité non nulle, tels que : P( A ) = 0,4, P( ) = 0,5 et P ( A) = 0,2. 1. Déterminer P ( A). 2. Déterminer P A.. 3. En déduire P A II. Arbre de probabilité Voici les règles utilisées pour la construction et l'utilisation des arbres de probabilités, que l'on illustrera à partir des figures ci-dessous. Cas général Exemple Règles Pour construire un arbre pondéré, il faut suivre les règles suivantes : Règle 1 Sur les branches du 1 er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants. Règle 2 Sur les branches du 2 ème niveau, on inscrit des probabilités conditionnelles. Règle 3 La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1. Règle 4 Le produit des probabilités des événements rencontrés le long d'un chemin est égal à la probabilité de l'intersection de ces événements. 3

4 Application On considère l'arbre de probabilités ci-dessous : 1. Reproduire et compléter cet arbre. 2. Que valent les probabilités P A. 3. Déterminer P A 4. En déduire P 5. Calculer P ( A). Exercice 3 et P A et P A.. Dans une population donnée, la proportion d'individus atteints d'une certaine maladie est 0,001. On dispose d'un test de dépistage de cette maladie et des données suivantes : sur les personnes malades, la probabilité que le test soit positif est égale à 0,98. sur les personnes saines, la probabilité que le test soit positif est égale à 0,01. On choisit au hasard un individu de cette population et on le soumet au test. On note M : «L'individu est malade» et T : «1 individu a un test positif». 1. Traduire l'énoncé par un arbre de probabilités. 2. Calculer la probabilité que le test soit positif. 3. Calculer la probabilité que l individu soit malade sachant que le test est positif. III. Indépendance de deux événements Définition On dit que les événements A et sont indépendants si : P( A ) = P( A) P( ). Propriété Si P( A) 0, on a : A et indépendants si, et seulement si, P A ( ) = P( ). Remarque Si P( ) 0, A et indépendants P ( A) = P( A). 4

5 Démonstration 0. P( ) = P P( A). On suppose que A et indépendants avec P A On a alors P A ( ) = P A P A Exemple = P A On tire une carte dans un jeu de 32. On note : R : «la carte est un roi» et T : «la carte est un trèfle». = 1 8, P ( T ) = 1 et P( R T ) = = P( R) P( T ). Les événements R et T sont donc indépendants. P R Donc P R T On note : F : «la carte est une figure». = 12 P F 32 = 3 8 et P F R F et R ne sont pas indépendants. Théorème = P( R) = 1 8. Donc P ( F R ) P( F ) P( R). Les événements Si A et sont indépendants, alors A et sont indépendants. Démonstration (bac) L'événement A est la réunion des deux événements incompatibles A et A, donc : P A On en déduit : P A. = P A = P( A ) + P A P( A ). = P( A) P( ). = P( A) P( A) P( ). = P( A) 1 P( ). P A et étant indépendants, on a : P A d'où : P A P A = P A P A Ainsi par définition A et sont indépendants. 5

6 Exercice 4 David fait successivement une partie de tennis et une partie de badminton. La probabilité qu'il gagne au tennis est 0,7 et quel que soit le résultat du match précédent, la probabilité qu'il gagne au badminton est 0,4. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie? Exercice 5 On lance deux dés cubiques parfaitement équilibrés et on s'intéresse à la somme des nombres obtenus. On note A et les événements suivants : A : «La somme est un nombre pair» ; : «la somme est inférieure ou égale à 10». Les événements A et sont-ils indépendants? 6

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