Quelques calculs de probabilités

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1 Quelques calculs de probabilités

2 Expérience aléatoire à une étape ( exemple : tirage )

3 Calcul de la probabilité d un événement La probabilité d un événement se calcule comme suit: (événement) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles Exemple : Lors de la pige d une carte dans un jeu de 5 cartes. Quelle est la probabilité de «choisir une carte de cœur»? (cœur) = nombre de cas favorables 3 = nombre de cas possibles 5 = On a donc chance sur de piger une carte de cœur. ( choisir une carte de cœur ) =

4 Remarque: Comme il y a toujours moins de cas favorables que de cas possibles, la probabilité d un évènement est toujours comprise entre 0 et. (événement) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles Exemple : Lors de la pige d une carte dans un jeu de 5 cartes. Quelle est la probabilité de «choisir une carte de cœur»? (cœur) = nombre de cas favorables 3 = nombre de cas possibles 5 = Remarque: Une probabilité peut être exprimée sous la forme d une fraction, d un nombre décimal ou d un pourcentage. = 0,5 = 5 %

5 roblème On lance dés semblables. On voudrait connaître la probabilité «d obtenir une somme de 7». our faciliter le dénombrement, construisons une table de résultats Nombre de cas possibles: X 6 = Nombre de cas favorables: (obtenir une somme de 7) : nombre de cas favorables 6 = = nombre de cas possibles 36 (obtenir une somme de 7) : 6 6

6 Expérience aléatoire à plusieurs étapes ( exemple : tirages )

7 Lorsqu une expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes, il faut savoir si une étape a une influence sur l étape suivante. Si la ère étape n a pas d influence sur la e étape, les évènements sont indépendants un de l autre. Si la ère étape a une influence sur la e étape, les évènements sont dépendants un de l autre. Les tirages avec remise et sans remise en sont des exemples. Si les tirages se font avec remise, alors les évènements n ont pas d influence les uns envers les autres; ce sont des évènements indépendants. Si les tirages se font sans remise, alors les évènements ont une influence les uns envers les autres; ce sont des évènements dépendants.

8 Deux événements peuvent être indépendants : C est-à-dire que la réalisation de l un n influence pas la probabilité de réalisation de l autre. Exemple : On tire billes d une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d une bille bleue si on remet la boule dans l urne? Comme on remet la boule dans l urne, le deuxième tirage ne sera pas influencé par le premier tirage. C est ce qu on appelle un tirage avec remise.

9 Deux événements peuvent être dépendants : C est-à-dire que la réalisation de l un influence la probabilité de réalisation de l autre. Exemple : On tire billes d une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l urne. Le deuxième tirage sera donc influencé par le fait que l on ne remet pas la boule obtenue au premier tirage. C est ce qu on appelle un tirage sans remise.

10 Regardons la différence entre ces deux évènements et regardons également comment calculer leurs probabilités en utilisant un arbre de probabilités.

11 Arbre de dénombrement et arbre de probabilités L arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats d une expérience aléatoire. Exemple: On lance deux fois de suite une pièce de monnaie, on voudrait connaître la probabilité d obtenir fois «pile». Arbre de dénombrement er lancer e lancer résultats, pièce,,,

12 L arbre de dénombrement est une technique permettant de dénombrer les résultats d une expérience aléatoire. Arbre de dénombrement er lancer e lancer résultats, pièce,,, (, ) = résultat résultats =

13 L arbre de probabilités est obtenu en inscrivant sur un arbre de dénombrement la probabilité de chaque possibilité. er lancer e lancer probabilités pièce our obtenir la probabilité, on multiplie ensemble les nombres sur chacune des branches. Il y a une chance sur deux d obtenir pile. (, ) = L arbre de probabilités permet de calculer directement la probabilité de chaque résultat.

14 Arbres de probabilités er lancer e lancer probabilités A : obtenir pile B : obtenir face pièce La probabilité d obtenir «pile» suivie de «face» se calcule comme suit: ( pile suivie de face ) = (A) X (B) = X =

15 robabilité de deux évènements indépendants. Exemple : On tire billes d une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Quelle est la probabilité de piger une bille rouge suivie d une bille bleue si on remet la boule dans l urne? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. L arbre de probabilités ( avec remise ) ère pige e pige probabilités 3/0 R 3/0 7/0 R B 3/0 X 3/0 = 9/00 3/0 X 7/0 = /00 7/0 B 3/0 R 7/0 X 3/0 = /00 7/0 Avec la formule: B 7/0 X 7/0 = 9/00 ( rouge suivie bleue ) = (R) X (B) = 3 0 X 7 0 = 00

16 Exemple : On tire billes d une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. Après le premier tirage, on ne remet pas la boule dans l urne. Quelle est la probabilité de tirer bille rouge suivie d une bille bleue? R : obtenir une bille rouge. B : obtenir une bille bleue. L arbre de probabilités ( sans remise ) ère pige e pige probabilités /9 R 3/0 X /9 = 6/90 = /5 3/0 R 7/9 B 3/0 X 7/9 = /90 = 7/30 7/0 7/0 X 3/9 = /90 = 7/30 3/9 R B 6/9 B 7/0 X 6/9 = /90 = 7/5 Il ne reste que 9 boules dans l urne et boules rouges. ( rouge suivie bleue ) = 3 0 X 7 9 = 90 = 7 5

17 L arbre de probabilités ( sans remise ) ère pige e pige probabilités /9 R 3/0 X /9 = 6/90 = /5 3/0 R 7/9 B 3/0 X 7/9 = /90 = 7/30 7/0 B 3/9 6/9 R B 7/0 X 3/9 = /90 = 7/30 7/0 X 6/9 = /90 = 7/5 Avec la formule: (R) X (B A) Ici, il faut lire : la probabilité de l évènement B sachant l évènement A. Dans l exemple : la probabilité de tirer une bille bleue étant donné le tirage sans remise de la bille rouge : (R) X (B A) 3 7 X = = 7 5

18 On tire billes d une urne contenant 3 billes rouges et 7 billes bleues. La probabilité de l événement «tirer successivement billes rouges» se note : S il y a remise de la bille dans l urne (avec remise) : les évènements sont indépendants un de l autre. (Rouge suivie de Rouge) = (Rouge) X (Rouge) = 3 0 X 3 0 = 9 00 S il n y a pas de remise de la bille dans l urne (sans remise) : le e évènement est dépendant du premier. (Rouge suivie de Rouge) = (R) X (R R) 3 0 X 9 = 6 90 = 5 On n a pas remis la première bille dans l urne.

19 roblème : Lors d une expérience aléatoire, on lance successivement une pièce de monnaie et un dé. Quelle est la probabilité d obtenir pile suivie du nombre? A : obtenir pile B : obtenir le nombre Ici, le premier tirage n a aucune influence sur le deuxième tirage. ( obtenir pile ) = ( obtenir ) = 6 Les évènements sont indépendants l un de l autre. (, ) = (A) X (B) X = 6

20 Lors d une expérience à étapes, la probabilité d obtenir un à la suite de l autre deux évènements indépendants se calcule par : (A) X (B) Lors d une expérience à étapes, la probabilité d obtenir un à la suite de l autre deux évènements dépendants se calcule par : (A) X (B I A)