Exercices du chapitre II : Introduction aux vecteurs (1 ou 2 séances)

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1 Exercices du chapitre II : Introduction aux vecteurs (1 ou 2 séances) A faire avant la 1 ère séance : - étudier les sections 1 à 5.1 du chapitre II. - faire les exercices suivants avant la séance: Projection d un vecteur sur des axes exemple : déplacements 1) Un vecteur PP 1 2 représente un déplacement dans un plan. Les coordonnées cartésiennes de son origine sont (-1 m ; 4 m) et celles de son extrémité (2 m ; 5 m). Quels sont les déplacements selon les axes Ox et O, Δx et Δ, qui sont équivalents au déplacement PP 1 2? Multiplication d un vecteur par un nombre 2) Soit les vecteurs de la figure II.25. Fig.II.25 a) Quel est le module du vecteur AB? b) Quel est l angle qu il fait avec l axe Ox? c), d) mêmes questions que a) et b) pour le vecteur AB ; e), f) mêmes questions pour le vecteur 2AB ; g) Peut-on écrire AB = CD? Et AB= EF? h) Dessinez le vecteur GH ; i) Dessinez le vecteur 1 FE. 3 Somme et différence de vecteurs graphiquement 3) On considère des objets semblables, soumis à différentes forces (fig.ii.26). Fig.II.26. a) Construisez graphiquement, sur la figure II.26, la résultante des forces qui s applique sur chacun des objets.

2 b) Dans chacun des cas, calculez le module de cette force résultante et l angle qu elle fait par rapport à un axe horizontal dirigé vers la droite. Composantes (2D) 4) Quelles sont les composantes des vecteurs A, B, C et D des figures II.27 et II.28, dans la base u x ; u, sachant que ces vecteurs ont pour modules A = 3 m, B = 2 m, C = 4 m et D = 2,5 m? Fig.II.27 Fig.II.28 Application à l addition vectorielle (2D) 5) Un objet est soumis aux deux forces F1= ( 3ux 5u) N et F2= ( 2ux 3u) N. Exprimez la résultante de ces forces en fonction de ses composantes et des vecteurs unitaires. - Aide en cas de difficultés : 1) voir figure II.3. 2) voir «multiplication par un nombre» 3) mettez les vecteurs à additionner bout à bout ou construisez un parallélogramme. 4) voir formules à côté de la figure II.14. 5) voir formule II.2. Programme minimal de la 1 ère séance : 6) Etant donné les trois vecteurs de la figure II.29., déterminez graphiquement le vecteur D qui ajouté à A+ B C, donne un vecteur nul. On a A = 1,5 m et B = 2 m et C = 1 m.

3 Fig.II.29. 7) Déterminez graphiquement pour les vecteurs A et B de la figure II.27: a) A+ B ; b) A B. 8) Un vecteur fait un angle de 60 avec le demi-axe des abscisses positives et a un module de 3 unités. Quelles sont ses composantes dans la base u x ; u? 9) Les composantes d un vecteur sont (3, 4), quels sont son module et son angle azimutal? 10) Un homme parcourt à pied 10 m à 37 vers le Nord par rapport à l Est, puis 20 m à 60 vers l Ouest par rapport au Nord. Quel est son déplacement résultant (module et angle)? 11) On donne trois vecteurs de même module égal à 10 m. Dessinez au moins une orientation de ces trois vecteurs conduisant à une résultante dont le module est : a) 0 m ; b) 10 m ; c) 20 m ; d) 30 m. Rappel : le module d un vecteur est toujours positif (ou nul). Les composantes d un vecteur sont positives ou négatives suivant que la projection du vecteur sur l axe correspondant soit de même sens ou de sens opposé à l axe. Exercices supplémentaires: Après avoir compris et refait les exercices de la séance, ces exercices supplémentaires permettent de vous entraîner et de vérifier que vous êtes capables de faire des exercices similaires. Les exercices avec un astérisque, plus difficiles, peuvent être laissés de côté par les étudiants de chimie et de polvalente, et reportés à plus tard pour les autres. Les phsiciens et les mathématiciens auront un ou deux exercices plus difficiles à l examen. 12) Deux personnes font glisser un traîneau sur la neige en le tirant chacune à l aide d une corde ; celles-ci sont situées de part et d autre de l axe de smétrie du traîneau et font un angle de 45 avec ce dernier. Chaque personne exerce une force de 100 N. Représentez les deux forces par un vecteur (1 cm = 20 N) sur la figure II.30.. Déterminez graphiquement la direction, le sens et le module de la force résultante exercée par les deux personnes? axe de smétrie Fig.II.30.

4 13) Déterminez graphiquement pour les vecteurs C et D de la figure II.28.: a) C+ D ; b) C D. 14) Quelles sont les composantes des vecteurs A, B et C de la figure II.29, dans la base u x ; u? 15) Un canot automobile fait route plein Nord à 20km/h dans une région où il existe un courant de 5km/h dans la direction 70 Sud par rapport à l Est. Calculez la vitesse résultante du bateau, grandeur, direction et sens. *16) L aiguille des heures d une horloge est longue de 6 cm. On suppose que sa position à midi correspond à l axe des positifs et que sa position à 3 h correspond à l axe des x positifs. Déterminez le déplacement de l extrémité de l aiguille, exprimé en fonction des vecteurs unitaires, entre les heures suivantes : a) de 1 h à 4 h ; b) de 2 h à 9 h 30. *17) Quelle relation doit-il exister entre les vecteurs a et b pour que le module de leur 2 2 somme, soit égal à : a) a + b ; b) a b ; c) b a ; d) a + b? *18) Soit deux vecteurs, A etb, aant même origine ; C est le vecteur qui joint cette origine au milieu du segment joignant les extrémités de A et deb. Montrez qu on a : C= A+ B /2 ( ) A faire avant la 2 ème séance : - étudier le chapitre II entièrement ; commencer votre formulaire pour l examen. - terminer les exercices de la séance 1, du moins ceux sans astérisque. - faire les exercices suivants avant la séance: Composantes (2D) 19) Un mobile occupe initialement la position de coordonnées cartésiennes (2, -3, 1) m et se déplace jusqu au point (3, 2, -4) m. a) Quelles sont les composantes de son vecteur déplacement? b) Quel est le module du vecteur déplacement? c) quels sont l angle polaire et l angle azimutal qui fixent la direction de ce vecteur? Produit scalaire 20) Soit deux vecteurs a et b situés dans le plan x. Le module de a est de 3,2 m et son angle azimutal ϕ A = 45 ; le module de b est de 2,4 m et ϕ B = 290. Calculez le produit scalaire ab. Produit vectoriel 21) Déterminez les composantes du produit vectoriel de 6ux 4u + 2uz et ux + 4u 2uz. - Aide en cas de difficultés : 19) formules II.4, II.7, II.8 et II.9 20) appliquez la définition du produit scalaire, formule II ) formules II.23. ou II.24.

5 Programme minimal de la 2 ème séance : 22) Étant donné les vecteurs déplacements a = (2ux 3u + 6u m et b = (3u x + 2u 3u m, déterminez a) la longueur de la somme de ces deux déplacements ; b) la longueur de la différence de ces deux déplacements ; c) le vecteur déplacement 2a 3b. 23) Le produit scalaire de deux vecteurs de modules 3 m et 5 m est égal à -4 m². Déterminez le plus petit des deux angles entre ces vecteurs. 24) Soit le vecteur de composantes (-4, 3). Déterminez les vecteurs de même module qui lui sont orthogonaux, et sont contenus dans le même plan. 25) Soit les trois vecteurs A=ux 4u, B=3ux et C=ux 2u calculez les expressions suivantes : a) C ( A+ B). b) ( ABC ). 26) Calculez l aire du parallélogramme sous-tendu par les vecteurs : 2ux + 3u uz et ux + u + 2uz. 27) Soit les vecteurs C et D définis dans l exercice 4). Quels sont le module, la direction C D C D C 2C 2D C. et le sens des vecteurs suivants : a) ( ) ( ), b) ( ), c) ( ) et d) ( ) 28) Déterminez un vecteur de module 5 qui soit perpendiculaire aux deux vecteurs (6, -2, 4) et (4, -3, -1). Exercices supplémentaires: 29) Etant donné les vecteurs a = ( 2ux + u 3u et b = (5u x + 2 u u, calculez : a) ab ; b) ( a+ b) ( a b) (simplifiez avant de calculer). 30) Calculez le produit scalaire de 8ux + 2u 3uz avec 3ux 6u + 4uz. Quel est l angle entre ces deux vecteurs? 31) Calculez l angle entre les vecteurs de composantes (2, 1, 2) et (4, 0, -3). 32) Déterminez les composantes du produit vectoriel de (2, 1, 2) et (4, 0, --3). *33) Les vecteurs A et B sous-tendent les côtés d un parallélogramme (fig.ii.31.). a) Exprimez les diagonales de ce parallélogramme en fonction de A et de B. b) Montrez que ces diagonales sont perpendiculaires si A = B. Fig.II.31.

6 *34) Démontrez à l aide du produit scalaire que pour tout triangle de sommets A, B et C, AB = AC + BC - 2 AC BC cos ( θ), où θ est l angle BCA. *35) On considère trois points P = (-1, 3, -5), Q = (2, k, -1) et R = (m, 0,-8). Déterminez les valeurs des paramètres réels k et m tels que le triangle de sommets P, Q et R soit rectangle en P, et les côtés PQ et PR soient de même longueur. *36) Un parallélépipède est sous-tendu par les vecteurs a = (1, 3, 1), b = (2, 0, -1) et c = (-2, 2, -1). Déterminez son volume, l aire de la base déterminée par b et c, ainsi que sa hauteur par rapport à cette base. *37) Déterminez α, β et γ pour que les vecteurs a = (1, 2, 3) et b = (α, β, γ) vérifient les relations a b = (1, 1-1) et ab = 9. Le problème est-il possible si on impose plutôt a b = (1, 2, -2) par exemple? 38) Soit a et b deux vecteurs. a) Expliquez pourquoi, sans faire de calculs, on a : a ( a b) = 0. *b) Démontrez qu il en est bien ainsi en effectuant le calcul de cette expression à partir des composantes des deux vecteurs. Réponses : Exercice 1 : 3 m, 1 m; Exercice 2 : a) 3 cm; b) 90 ou π/2; c) 3 cm ; d) -90 ou -π/2 ou 270 ou 3π/2; e) 6 cm ; f) = b) ; g) oui (même module et même angle) ; non, ils n ont pas la même direction ; h) même flèche parallèle mais inversée ; i) vecteur horizontal de 1 cm, vers la gauche ; Exercice 3 : b) 25 N, -37 ; 5 N, -90 ; 38,6 N, 15 ; Exercice 4 : A = (2,6 ; 1,5) m ; B = (1,4 ; -1,4) m ; C = (-3,5 ; 2) m ; D = (0 ; -2,5) m ; 5u 8u N ; b) 9,4 N et -58 ; Exercice 5 : a) ( x ) Exercice 6 : Inverser C, pour obtenir - C et ajouter bout à bout A et B ; D s obtient en joignant l extrémité de cette somme au point de départ. Exercice 8 : (1,5 ; 2,6) m ; Exercice 9 : 5 et 53,1 ; Exercice 10 : 18,5 m et 120,2 ; Exercice 11 : a) former un triangle équilatéral de côté 10 m, avec les 3 vecteurs mis bout à bout ; b) placer les 3 vecteurs sur les côtés d un carré ; c) 2 ème déplacement à un angle de 60 par rapport au premier ; idem pour le 3 ème ; d) les aligner bout à bout ; Exercice 12 : force horizontale, dirigée vers la droite de ~140 N ; Exercice 14 : A = (1,4 ; 0,5) m ; B = (1,7 ; -1) m ; C = (-0,5 ; -0,9) m Exercice 15 : 15,4 km/h et 83,7 ; 2,2u 8,2u cm -11,00 u 1, 45u cm ; Exercice 16 : a) ( ) x ; b) ( x ) Exercice 19 : a) (1, 5, -5) m ; b) 7,1 m ; c) 134,8 et 78,7 ; Exercice 20 : -3,25 m² ; Exercice 21 : (0 ; 14 ; 28) ; Exercice 22 : a) 5,9 m ; b) 10,3 m ; c) 5u x 12u + 21uz Exercice 23 : 105,4 ; Exercice 24 : (3 ; 4) et (-3 ; -4) ; Exercice 25 : a) 12 ; b) (3, -6) ; Exercice 26 : 9,1 ; ;

7 Exercice 27 : a) 8,7 m² perpendiculaire à la feuille, sortant ; b) 8,7 m ² perpendiculaire à la feuille, entrant ; c) 0 ; d) 17,4 m² perpendiculaire à la feuille, entrant ; Exercice 28 : (2,5 ; 4 ; -1,8) ; Exercice 29 : a) -5 ; b) -16 ; Exercice 30 : 90 ; Exercice 31 : 82,3 ; Exercice 32 : (-3 ; 14 ; -4) Exercice 35 : 6 ; 3 ; Exercice 36 : 18 ; 4,9 ; 3,7 ; Exercice 37 : 1 ; 1 ; 2 ; non ;