Intégrales paramétrées

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1 Lycée Faidherbe, Lille PC* 8 9 Feuille d eercices du chapire Inégrales paramérées Cenrale PC 7 ) ln + n Limie de n + ) d. X 6 Soi f coninue e bornée de [; [ vers. Prouver l eisence nf ) de I n = d e calculer lim + n I n. 3 Cenrale 6 Déerminer lim 4 Mines MP 7 Équivalen de n n ) n e n d. n+ ln) d. 5 C.C.P. PSI 5 sinn) Soi I n = d. + n + [;[ Prouver l eisence de I n e calculer la limie. 6 C.C.P. PSI 5 + n Soi I n = d. + n [;[ Prouver l eisence de I n e calculer la limie. 7 Mines MP 5 Limie e équivalen de u n = n ln n )d. [;[ 8 Cenrale 4 sin) On pose F) = [;[ + ) d. Prouver que F es de classe C sur avec, pour >, F ) = [;[ sin) + ) d Prouver que F es soluion de y y = π, en déduire F). 9 Mines Eisence de F) = Prouver que F) = Mines [;[ arcan) d. + ln d pour >. Ensemble de définiion e valeur de sh) F) = e d. ];[ page Eercices du chapire Eercices du chapire page

2 X Calculer f ) = En déduire ];[ ln + ) + d. ln sin u ) du. ];π/] Wallis e Gauss { ) n n pour [; n] Soi f n ) = pour > n. Prouver que lim f n )d = ];[ n e d. ];[ Eprimer f n )d en foncion d une inégrale de Wallis. En déduire la valeur de e d. ];[ 3 C.C.P. PSI e On pose f ) = [;[ + d. Déerminer le domaine de définiion, I, de f. Calculer lim f ) e f ). Pour quelles valeurs de f es elle dérivable? Calculer f ) f ) puis eprimer f ) en foncion de C = e u du e de e u du. En déduire C. [;[ 4 X 997 Prouver que s) = Prouver que s) = ];[ n= sin) d es coninue sur ]; [. e + n. 5 Développemen asympoique Prouver que ln + n ) p )d = ];[ pnp + ). p= Prouver que lim n ) p pnp + ) ) p =. p En déduie que 6 Zea3/) Monrer que 7 Zea3) Prouver que ];[ ];[ p= p= + n = ln) n + π n + o n ). π e d = n= n n. ln) ln ) d = n. n= 3 8 Un équivalen sin α Jusifier l eisence de Iα) = ];[ e d. a Déerminer les réels a e b els que: Iα) = b + n. n= Donner un équivalen de Iα) quand α. 9 Mines 6 On pose ζ) = Prouver que n= pour >. n ζ) ) d = n= n lnn). page 3 Eercices du chapire Eercices du chapire page 4

3 Foncion Gamma La foncion gamma d Euler es définie par Γ ) = e d ];[ On a vu que Γ es la seule foncion de classe C sur ]; [ elle que Γ + ) = Γ ), Γ ) = e ln Γ ) ) es convee. Foncions eulériennes de seconde espèce Soi B, y) = ) y d. ];[ Prouver que B, y) es défini pour > e y >. Prouver que By, ) = B, y) e B +, y) = B, y). + y Prouver que B, y) es de classe C sur ]; [ e que ln B, y) ) es convee. En appliquan ce résula à Ψ) = Γ a + )B, a) prouver que Γ )Γ y) B, y) = Γ + y). Cenrale PC Calculer I n = ];n] n) n ln d. Déerminer la limie de I n ; en déduire que Γ ) = C n où C = lim ln n es la consane d Euler. k k= Formule des complémens Prouver que Γ ) = lim ];n] En déduire que Γ ) = lim Prouver alors que, pour ]; [, Γ )Γ ) = lim k= En déduire que Γ )Γ ) = n) n d. n n! + ) + n). n ) ). k π sinπ). Indicaion ; on rappelle que π coanπ) = lim n k= n k. 3 Formule de Sirling Prouver que Γ + ) = + e ];[ e u ln u) du. v ln + v) On pose gv) = pour v >, v ; prouver que v g es prolongeable par coninuié coninue e décroissane sur ] ; [. Prouver que Γ + ) = + e ] e g ;[ ) Si ) n es une suie de réels els que n > e { e g/ n ) pour > n on pose u n ) = pour. n d. lim n = Calculer lim u n) e prouver que u n ) ϕ) pour ou { e pour n e pour ou avec ϕ) = e g) pour. Prouver l inégrabilié de ϕ sur. Déerminer lim Γ + ) π e ). u n )d puis la formule de Sirling : Déerminer un équivalen de Γ ) en. page 5 Eercices du chapire Eercices du chapire page 6

4 Transformée de Laplace Si f es une foncion coninue par morceau sur ]; [ sa ransformée de Laplace es la foncion définie par Lf )) = f )e d au poins où l inégrale converge. 4 Premières propriéés a) Prouver que si f es inégrable sur ]; [ alors sa ransformée de Laplace es définie e coninue sur [; [. b) Si f es de classe C avec f e f inégrables sur ]; [ déerminer Lf ) en foncion de Lf ). c) Prouver que si f es bornée sur ]; [ alors sa ransformée de Laplace es définie e de classe C sur ]; [. Lf )) = Lf )) F)e d d) Prouver que f ) es coninue sur ]; [. e) Prouver que f ) es coninue en. f) Déerminer la ransformée de Laplace de f ) = sin). sin) En déduire la valeur de d. g) Prouver que si f es coninue e si alors Lf ) es définie e coninue sur [λ; [. 6 X PC 6 Ensemble de définiion e valeur de F) = cos) e e d f )e λ d converge 5 Formule des bous On suppose que f es coninue sur ]; [ e que converge. On pose F) = f )d. f )d a) Prouver F es coninue sur [; [ e de classe C sur ]; [. b) Déerminer F) e lim F). c) Prouver que Lf ) es définie sur [; [ avec page 7 Eercices du chapire Eercices du chapire page 8

5 Transformée de Fourier 8 Formule de reciprocié On suppose f de classe C avec f e f inégrables. Pour f inégrable sur sa ransformée de Fourier es f ) = e iπ f )d A sin n a) Prouver que lim f ) d = πf ). A On pourra prouver e uiliser que la foncion classe C sur [ A; A]. f ) f ) es de 7 Premières propriéés a) Prouver que f es définie sur, coninue e bornée. b) Prouver que si g) = f ) es inégrable sur alors f es de classe C e ) ) f = iπ f )e iπ d = iπĝ). c) Si g) = f + a) calculer ĝ en foncion de f. d) Si h) = e iπb f ) calculer ĥ en foncion de f. e) On suppose f de classe C avec f inégrable sur. Prouver que f adme une limie en e en Prouver que cee limie ne peu êre que. Prouver que lim f ) =. Prouver que la ransformée de Fourier de f es f ) = f )e iπ d = iπ f ) sin n b) Prouver que lim f + u) d = πf u). n c) Monrer que f )e iπ d = n π d) En déduire que 9 Égalié de Parseval Plancherel f )e iπ d = f ) f +u) sinπnu) du. u a) Si f e g son coninues e inégrables sur prouver que f )ĝ)d = g) f )d. b) Prouver que si f es de classe C avec f e f inégrables alors f es inégrable sur. c) En déduire que, dans ce cas, f ) d = f ) d page 9 Eercices du chapire Eercices du chapire page

6 3 elaions d inceriude On suppose que lim ± k f p) ) = pour ous k, p N. a) Prouver que f es définie e de classe C sur avec lim ± k f p) ) = pour ous k, p N. On suppose que f ) d =. La valeur moyenne de f es Mf ) = f ) d. L écar quadraique de f es f ) = f ) d. b) Prouver que si h) = e iπm f ) f + Mf ) ) alors Mh) = Mĥ) =, h) = f ) e ĥ) = f ) c) Prouver que f ) f ) 4π. page Eercices du chapire