La fonction est définie sur : ; ; 2 Asymptotes parallèles aux axes Définition 1 : La droite D d équation l est asymptote horizontale à
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- Rodolphe Martineau
- il y a 6 ans
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1 Chapitre 3 : Limites de fonctions - Asmptotes I. Approche de la notion de limite et d asmptote Idée : Que se passe-t-il pour lorsque tend vers une borne ouverte de l ensemble de définition? Approche graphique La fonction est définie sur : ; La fonction est définie sur : ; ; Asmptotes parallèles au aes Définition : La droite D d équation l est asmptote horizontale à lorsque l et/ou l. L écart entre la courbe et la droite tend vers 0 en ou/et Eemple : La droite D d équation est asmptote à chacune des courbes représentées
2 Définition : La droite D d équation est asmptote verticale à lorsque et/ou. Eemple : La droite d équation est asmptote à chacune des courbes représentées II. Calcul de limites. Limites de référence Fonctions affines "# $% "&0 ) *+ ) ) $% ",0 "# /0 ) Fonction carrée ² ² /0 0 ² 0 Fonction cube /0 Fonction racine carrée 0 0 Plus généralement, pour pair 3 /0 3 Plus généralement, pour impair 3 /0 3 Fonction inverse 6 définie sur ;7 7 ; 89:9;<= à 8? 9@A9@9 0 *+ 0 89:9;<= <@ 7 *+ B B CB La droite d équation 0 est asmptote à FGH au voisinage de et La droite d équation 0 est asmptote à FGH Fonction polnôme : pour tout réel : EE Fonction rationnelle : pour tout réel de l ensemble de définition :
3 . Règles de calcul des limites de somme et de produit Les tableau suivants s appliquent pour ou + ou a)limite D UNE SOMME : = J + b) LIMITE DU PRODUIT : = J si lim J = l l l + + si lim = l + + alorslim= l+l + + F.I. si lim J = l l 0 0 si lim = V alorslim= V V F.I. on applique la règle des signes du produit Formes indéterminées : Il eiste quatre formes indéterminées «F.I.» : + ; 0. Lorsque vous obtenez une «F.I.», cela signifie que la méthode utilisée pour calculer la limite ne permet pas de conclure : Changez de méthode (modifier l écriture de, appliquer une propriété spécifique, ) Eemples : E : =²+ J *+ W =]0 ; +[ Limite en + : ²=+ =0 X YZ[ \ + ]=+, ainsi =+ Limite en 0 : ²=0 B YZ[ \ =+` + B ]=+, B Ainsi =+ et la droite d équation = 0 est asmptote à B E : a= +3 W d =[0 ; +[ E3 : h= 3² W =] ; +[ E : f=+7 +5 W =[ ; +[ c) Limite d une fonction polnôme : Une fonction polnôme a la même limite à l infini que son terme de plus haut degré. Eemples : Calculer les limites en et en + des fonctions et a. La fonction est définie sur ] ;+[ par : =3 +5 La fonction a est définie sur ] ;+[ par a= 0, Limite à l infini d une fonction rationnelle Une fonction rationnelle a la même limite à l infini que le quotient de ses termes de plus haut degré. Rappel : Une fonction rationnelle est le quotient de deu fonctions polnômes Eemples : Calculer les limites des fonctions et a. La fonction est définie sur ] ;+[ par : = j k limite en? en +? j J La fonction a est définie sur [0 ;+[ par a= kj J limite en +?
4 . Règles de calcul de la limite de l inverse d une fonction LIMITE DE L INVERSE : = J l si limw= l 0 0 alorslim J l = l E : = 6 Limite en 3 : +3=0 *+ 0 on applique la règle des signes du quotient m =] ; +[ YZ[ D +3 = Ainsi = et la droite d équation =3 est asmptote à D Limite en + : +3= YZ[ +3 =0 Ainsi =0 et la droite d équation =0 est asmptote à au voisinage de +. E : =+ n J W =] ;+[ E3 : = o p m =]p ;+[ Limite en : On modifie l écriture de : = k 3+5= 6 =0 *+ = 3+5 J D où 3+5 J = YZ[ =+ Ainsi = et la droite d équation = est asmptote à Limite en + : on garde l écriture initiale de est une fonction rationnelle : 3+5 = 3 = 3= 3 Ainsi = 3 et la droite d équation = 3 est asmptote à au voisinage de + E : = p p 6 m =] 6 ;+[ En toute situation, on peut visualiser la limite sur l écran de la calculatrice. et admettre cette limite! (pour déduire l eistence d asmptote(s), pour compléter le tableau de variation,..)
5 5. Limite d une fonction du tpe r 3 E : = 3+? Méthode : on développe pour appliquer la propriété «limite à l infini d une fonction polnôme» = 3+ = 3+ 3+= = = 9 =+ ainsi =+ Méthode : 3+= *+ w =+ YZ[ 3+ =+ ainsi =+ On peut accepter : 3+= YZ[ 3+ =+ ainsi =+ Si " r=# /0 # 3 =z alors " {r 3 =z Schéma pour comprendre : }~~~~~ }~~~~~~~~ { G III. Asmptote oblique Définition : Soit une fonction telle que = +) + a avec a=0, alors la droite d équation =+) est asmptote (oblique) à en +. Soit une fonction telle que = +) + a avec a=0, alors la droite d équation =+) est asmptote (oblique) à en. E : Soit la fonction définie sur ]0 ;+[ par = ++ Montrer que la droite d équation = + est asmptote à E : Soit la fonction définie sur ] ;+[ par = 3+ a) Montrer que la droite W d équation = 3 est asmptote à b) Etudier la position de par rapport à la droite W Remarques : On doit avoir = pour qu il ait éventuellement une asmptote oblique. Une asmptote oblique est toujours liée à une limite avec "" Méthode : Pour prouver que la droite d équation =+) est asmptote à on calcule +), puis on montre que { +) =0 et/ou { +) =0 Méthode : Pour étudier la position d une courbe par rapport à son asmptote oblique (ou horizontale) : on étudie le signe de +) : Si +)>0 alors est au-dessus de W Si +)<0 alors est en dessous de W.
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