Série 7 : circuits en R.S.F.

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1 Série 7 : circuits en R.S.F. 1 Documents du chapitre Action d un circuit du 1er ordre sur un échelon de tension et sur une entrée sinusoïdale : Déphasage de grandeurs sinusoïdales et représentation de Fresnel :

2 Mode XY (ou courbe de Lissajous) :

3 Impédance complexe : Résonance de tension :

4 Résonance d intensité : Echelle log-log :

5 Echelle semi-log :

6

7 Diagrammes de Bode : Pour tracer un diagramme de Bode avec le logiciel Scilab, taper : --> p=poly(, p ) --> h=syslin( c,(n2*p^2+n1*p+n)/(d2*p^2+d1*p+d)) // mettre des valeurs dans n2,n1,n,d2,d1,d --> bode(h,1,1) Filtre passe-bas ordre 1 : Magnitude (db) Phase (degré) Filtre passe-haut ordre 1 : Magnitude (db) Phase (degré)

8 Filtre passe-bas ordre 2 avec résonance : Magnitude (db) Phase (degré)

9 Filtre passe-haut ordre 2 sans résonance : Magnitude (db) Phase (degré)

10 Filtre passe-bande très sélectif : Magnitude (db) Phase (degré)

11 Filtre passe-bande peu sélectif : Magnitude (db) Phase (degré) Tester ses connaissances et sa compréhension du cours ( 1. Ecrire en notation complexe la grandeur suivante : x(t) = Esin ωt π ). Faire la représentation de Fresnel. 3 ( π ) 2. Ecrire en notation réelle le signal dont la représentation complexe est x(t) = (1+j)e jωt +e j ωt+ 3. Faire la construction de Fresnel. 3. Pour un dipôle capacitif, est-ce que le courant est en avance sur la tension ou l inverse? Même question pour un dipôle inductif. 4. Proposer un montage permettant de déterminer le déphasage courant/tension d un dipôle D linéaire. 5. Que représente physiquement le module d une impédance? l argument d une impédance? Comment cela se traduit-il sur un oscillogramme? 6. Deux dipôles sont branchés en série. Aux bornes de l un il y a une tension efficace de 1 V et aux bornes de l autre il y a aussi 1 V efficaces. Est-ce qu il y a 2 V efficaces aux bornes de l ensemble? 7. Qu est-ce que le phénomène de résonance? 8. Vous disposez de 3 composants : R, L et C. Comment faire un filtre passe-bas? Passe-bande? Passe-haut?

12 9. Donnez les fonctions de transfert normalisées des passe-bas et passe-haut ordre 1. Tracer les diagrammes de Bode en gain associés. 1. Donnez les fonctions de transfert normalisées des passe-bas et passe-bande ordre 2. Tracer les diagrammes de Bode en gain associés. 11. A quoi sert un filtre? 3 Détermination d impédance Les deux graphes ci-dessous donnent la représentation au cours du temps de l intensité traversant une impédance inconnue Z et de la tension aux bornes de cette impédance. Le temps est en ms. Pour mesurer i(t) on a utilisé une résistance R = 1Ω. La tension est en volt en ordonnées. 1. Quel montage électrique a-t-on du faire pour avoir ces courbes? 2. Déterminer complètement Z dans les deux cas. 3. Quel est la tension délivrée par le GBF a chaque fois. 4 Impédance réelle ( ) On fabrique un dipôle AB comme l association série d un résister R et d un condensateur C. Un courant i(t) = I m cosωt traverse le dipôle AB. Calculer les tensions réelles u R, u C et u AB.En déduire l impédance réelle du dipôle AB. Réponse : u R = RI m cosωt ; u C = I ( ) m Cω sinωt ; u 1 AB = RI m 1+ R 2 C 2 ω 2 cos 1 ωt arctan. RCω Impédance réelle : Z = u AB 1 = R 1+ I m R 2 C 2 ω 2 5 Déphasage courant-tension Un bobinage L =,1 H, r = 5 Ω est branché sur le secteur 22 V efficaces 5 Hz. Calculer i eff et le déphasage courant-tension. Réponse : 3,73 A 6 Dépendance en fréquence Un dipôle AB est formé de la mise en parallèle des deux branches suivantes : R 1 en série avec L R en série avec C A quelles conditions le dipôle équivalent se comporte comme une résistante pour toute valeur de la fréquence? Réponse : L R 1 = R 1 C = RC donc R = R 1 = 7 Étude d un quartz L C Un quartz est un composant très utilisé en électronique car, par le phénomène de piezo-électricité, on peut entretenir des oscillations de fréquence très stable (vous avez tous un quartz dans vos montres électroniques...). Entre ses deux bornes A et B, on peut donner pour un quartz le circuit électrique équivalent suivant : un condensateur C p en parallèle sur L série avec C s.

13 ( ) j ω 2 ωs 2 1. Exprimer l impédance du quartz sous la forme Z = C p ω ω 2 ωp 2 2. Dans quel domaine de pulsation le circuit a-t-il un comportement inductif? 3. Tracer l allure du module de Z quartz en fonction de la fréquence. Réponse : ωs 2 = 1 ( LCs 2 et ωp 2 = 1+ C ) s ωs 2 C ; ω [ω s,ω p [ p 8 Étude d un dipôle Un dipôle AB représenté ci-contre est alimenté par une source de tension parfaite de e(t) = E sinωt. 1. Exprimer L en fonction de R,C et ω pour que le dipôle AB soit équivalent à une résistance pure R eq. 2. Calculer L sachant que R = 1 Ω, C = 1 µf et ω = 4 rad/s 3 3. La valeur efficace de la fem du générateur vaut 18 V. Calculer la valeur efficace de l intensité du courant I dans la bobine. 4. Calculer les valeurs efficaces des différences de potentiel U AD et U DB. 5. Calculer les valeurs efficaces des intensités des courants I 1 et I 2. Réponses : L = 12 mh; I = 5A; U AB = 24 V ; U DB = 3 V ; I 1 = 3A; I 2 = 4A; 9 Étude expérimentale d une bobine On alimente un circuit formé d une résistance R, d un condensateur C et d une bobine B par un GBF délivrant une tension d amplitudeu m et de pulsationω. On branche l oscilloscope comme indiqué ci-contre. On modélisera la bobine par une inductance L en série avec une résistance r. On donne R = 2 Ω et C = 1 µf.

14 1. A partir de l oscillogramme, déterminer les valeurs numériques de la période T, de la pulsation ω, des amplitudes U m et I m et l impédance Z AB du dipôle {R C} 2. Des deux tensions u I et u II, quelle est celle qui est en avance de phase sur l autre? 3. Calculer le déphasage ϕ entre la tension et le courant (on prendra l origine des phases par rapport à la tension) 4. Montrer que dans l hypothèse d une bobine idéale de résistance nulle, les valeurs numériques de Z AB,ϕ et R sont incohérentes. 5. Il faut donc tenir compte de r. Le calculer. 6. En déduire la valeur numérique de L. 1 Résonances Un GBF alimente un circuit L en série avec le dipôle {R//C}. A quelle condition aura-t-on une résonance de tension aux bornes de C? Même question pour le circuit GBF - R - {L//C}. 11 Filtre d ordre 1 passif 1. On veut réaliser un filtre passe-bas d ordre 1 de fréquence de coupure 1 Hz avec un gain maximal de -6dB. Quel circuit peut-on proposer (uniquement des résistances et condensateurs)? Quelles valeurs prendre pour les composants? 2. Quelle est la fonction de transfert de ce filtre? Tracer le diagramme de Bode en gain de ce filtre. 3. On envoie à l entrée de ce filtre un signal d expression u e (t) = 2cos(2π5t) +.5sin(2π3t). Quelle est l expression du signal de sortie? 4. On branche ce filtre sur un dispositif de résistance d entrée R. A quelle condition sur R le branchement de ce dispositif n influe pas sur la réponse du filtre? 12 Filtre d ordre 1 pour subwoofer A l aide d une bobine inconnue et d un résistor de résistance R, on désire réaliser un filtre permettant d «alimenter» un subwoofer de voiture. Pour cela, on réalise un premier filtre permettant de caractériser la bobine, puis on l ajuste pour trouver le filtre désiré. Vous réalisez le filtre suivant : L en série avec R. Tension d entrée aux bornes de l ensemble. Tension de sortie

15 aux bornes de R. La bobine est supposée idéale, R = 15Ω. Déterminer par un raisonnement qualitatif la nature du filtre réalisé. Calculer sa fonction de transfert. La mettre sous forme normalisée. 1ère expérience Dans une première expérience, on observe s(t) et e(t) à l oscilloscope (attention, les échelles verticales ne sont pas forcément identiques et la base de temps n?est pas donnée). La sensibilité verticale de la voie 1 est de 2V/div. Identifier les courbes correspondant à e(t) et s(t) en justifiant votre réponse. 2ème expérience Dans une deuxième expérience, on trace le diagramme de Bode en amplitude du filtre. Justifier que l on ne peut pas négliger la résistance interne r de la bobine. En exploitant les graphiques, trouver les valeurs de L, r. En déduire la fréquence des tensions sinusoïdales ainsi que la base de temps de l oscilloscope et la sensibilité verticale de la voie 2. Réponses : 1ms/div f=4hz et 1V/div 13 Filtre d ordre 2 passif Soit le filtre, dit de Wien suivant :

16 Ve C R C R Vs 1. De quel type de filtre s agit-il? A 2. A l aide d un diviseur de tension, calculer la fonction de transfert et la mettre sous la forme H(jω) = 1+jQ( ω ω ω ω ) 3. Tracer le diagramme de Bode en gain. 4. A la sortie du circuit on insère un montage amplificateur qui multipliev s par 3. La sortie de cet amplificateur est directement injectée à l entrée du filtre, autrement dit, v e = 3v s. Il n y a plus de générateur à l entrée. Quelle est l équation différentielle vérifiée par v s? Commenter Réponses : d2 vs dt vs = RC 14 Filtre d ordre 2 actif à structure de Rauch Le circuit ci-dessous met en œuvre un composant un peu particulier : l amplificateur opérationnel. Il n y a rien à savoir sur lui, si ce n est que les courants qui rentrent dans les bornes «+» et «-» sont nuls et que V + = V. Chaque dipôle D i sont caractérisés par leur admittance Y i. Y 1 Y 2 1. Montrer que la fonction de transfert s écrit H = Y 4 Y 2 +Y 5 (Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 ) 2. D 1 est une résistance R ; D 2 une capacité C ; D 3 une résistance R/α (où α est un réel positif); D 4 une capacité C de même valeur que celle de D 2 et D 5 une résistance 2R. Mettre la fonction de transfert sous la forme H = ( ω 1+jQ ω ). On ω ω fixe C =,32µF et on souhaite avoir une fréquence centrale f = 5Hz. Que valent R et α? Tracer le diagramme de Bode. 3. On réalise maintenant le circuit ci-dessous. Quel est le lien entre u s1 et u e? Montrer aussi que u s = u e u s1. En déduire que la fonction de transfert u s u e = 1+ jq A 1 ( ω ω ω ω. Quel est ce filtre? A quoi sert-il? ) A

17 15 Filtre de Butterworth Le circuit ci-dessous correspond à un filtre de Butterworth d ordre Sans calculs, quel est le type de filtre réalisé? 1 2. Montrer que la fonction de transfert s écrit H = ( ). On précisera les expressions de τ et de ω. jω 1+jωτ + 3. A quelles condition sur R, R, C et C 1 a-t-on H = ( ω Le diagramme de Bode est donné ci-dessous. Vérifier qu il est compatible avec le module trouvé précédemment. Que vaut ω? Que vaut la pente de l asymptote? 5. On considère un signal d entrée u e (t) = cos(2πf 1 t) 2 cos(2πf 2 t) où f 1 = 7Hz et f 2 = 6Hz. Quel est le spectre de ce signal? Quel est le fondamental? Quel sera le spectre du signal de sortie? ω ω ) 4

18 Magnitude (db) Phase (degré)

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