Aide : Vecteurs distance - colinéarité

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1 Exercice : calculs de distances en repère orthonormal On donne les points A(- ;) B( ;) et C( ;-). Placer ces points dans un repère. ) Calculer les longueurs AB, BC et CA. En déduire la nature du triangle ABC. ) Donner le centre I et le rayon R du cercle C circonscrit au triangle ABC. ) Soit E( ;). Montrer que E est un point du cercle C. ) Calculer cos a ACB, et en déduire une valeur arrondie de l angle a ACB, arrondi au degré près. Exercice : relation vectorielle Soit ABC un triangle. Les points M et N sont définis par : BM = - BC et AN = CB ) Faire la figure avec AB = 6 cm, BC = cm et AC = 5 cm. ) A l aide d un calcul vectoriel, exprimer le vecteur CM en fonction du vecteur CB. ) Démontrer que ANMC est un parallélogramme. Exercice : colinéarité Le plan est muni d un repère (O ; i ; j ). Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires? Si oui, trouver k tel que v = k u a) u - et v -0,5 b) u = i j et v = i j 7 7 c) u = ( + ) i - j et v = i + ( - ) j d) u + et v - Exercice : colinéarité Dans le plan muni du repère (O ; i ; j ), on considère les points : A(6 ;) B(- ;0) C(5 ;) et D(- ;) ) Montrer que (OA) et (BC) sont parallèles. ) Les points B, C et D sont-ils alignés? Justifier ) Trouver x tel que M(5 ;x) soit aligné avec A et B. ) Soit E - 7 ;m. Pour quelle(s) valeur(s) de m, le quadrilatère DOAE est-il un trapèze?

2 Exercice : calculs de distances en repère orthonormal On donne les points A(- ;) B( ;) et C( ;-). Placer ces points dans un repère. ) Calculer les longueurs AB, BC et CA. En déduire la nature du triangle ABC. ) Donner le centre I et le rayon R du cercle C circonscrit au triangle ABC. ) Soit E( ;). Montrer que E est un point du cercle C. ) Calculer cos a ACB, et en déduire une valeur arrondie de l angle a ACB, arrondi au degré près. ) AB² = (+)² + (-)² = + = 5 AB = 5 BC² = (-)² + (--)² = + 6 = 0 BC = 0 CA² = (--)² + (+)² = = 5 CA = 5 CA² = AB² + BC². Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. ) Le centre du cercle circonscrit est le milieu de [AC] et le rayon de ce cercle est AB Soit I( (-+) ; (-) ) I( ; - ) R = 5

3 ) IE² = (-)² + ( + )² = + 9 = 5 IE = 5 IE = R donc E appartient au cercle ) cos ACB d = BC AC = 0 5 d ACB 7 Exercice : relation vectorielle Soit ABC un triangle. Les points M et N sont définis par : BM = - BC et AN = CB ) Faire la figure avec AB = 6 cm, BC = cm et AC = 5 cm. ) A l aide d un calcul vectoriel, exprimer le vecteur CM en fonction du vecteur CB. ) Démontrer que ANMC est un parallélogramme. )

4 ) CM = CB + BM = - BC BC = - BC ) AN= CB = - CM = MC On en déduit que ANMC est un parallélogramme. Exercice : colinéarité Le plan est muni d un repère (O ; i ; j ). Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires? Si oui, trouver k tel que v = k u a) u - et v -0,5 b) u = i j et v = i j 7 7 c) u = ( + ) i - j et v = i + ( - ) j d) u + et v - a) -0,5 = -0,5 et - = -0,5 donc v = -0,5 u Les vecteurs u et v sont colinéaires. b) = = - et 7 - = 7 7 = donc v = 0,75 u 7 Les vecteurs u et v sont colinéaires. c) + = - - = - et = - donc v = ( -) u. - - Les vecteurs u et v sont colinéaires. d) + = - - = - - et - Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.

5 Exercice : colinéarité Dans le plan muni du repère (O ; i ; j ), on considère les points : A(6 ;) B(- ;0) C(5 ;) et D(- ;) ) Montrer que (OA) et (BC) sont parallèles. ) Les points B, C et D sont-ils alignés? Justifier ) Trouver x tel que M(5 ;x) soit aligné avec A et B. ) Soit E - 7 ;m. Pour quelle(s) valeur(s) de m, le quadrilatère DOAE est-il un trapèze? ) OA 6 BC = et OA. BC Soit BC 8 Les vecteurs BC et OA sont colinéaires. Donc les droites (OA) et (BC) sont parallèles. ) BD Soit BD BC = BD. Les vecteurs BC et BD sont colinéaires. Donc les points B, C et D sont alignés. ) AB Soit AB -9 - AM 5-6 x-. Soit AM 9 x- Les points A, B et M sont alignés si et seulement si les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Soit : 9 = (x-) Soit 9 = x 9 Soit x = 8 ) Le quadrilatère DOAE est un trapèze si les droites (DO) et (EA) sont parallèles ou bien si les droites (OA) et (DE) sont parallèles. 5

6 er cas : (DO) // (EA) OD AE m- soit - 5 AE m- (DO) // (EA) si et seulement si les vecteurs Soit 5 = m Soit m = OD et AE sont colinéaires. ème cas : (OA) // (DE) OA DE m - Soit - DE m (OA) // (DE) si et seulement si les vecteurs OA et DE sont colinéaires. Soit = (m-) Soit = m Soit m = Soit m = On vérifie que dans ce cas, le quadrilatère DOAE est croisé et ne peut être un trapèze. La seule valeur possible de m pour que DOAE soit un trapèze est doc. 6

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