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1 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi Eercice : Partie I Soit g la fonction définie sur [ ; + [ par g() = e a) Montrer que, pour tout >, on a g () > En déduire le sens de variation de g sur [ ; + [ b) Calculez g() En déduire que, pour tout >, on a g() > Soit h la fonction définie sur [ ; + [ par h() = ( ) e a) Étudier la fonction h et dresser son tableau de variation b) Montrer que l'équation h() = admet une solution et une seule α et que l'on a α > c) Vérifier la double inégalité,84 < α <,85 d) Préciser, suivant les valeurs du nombre réel, le signe de h() Partie II a) Justifier que f est définie en tout point de [ ; + [ e b) Montrer que, pour tout, on peut écrire f ( ) = e En déduire lim f ( ) + Interpréter géométriquement, relativement à C, le résultat obtenu h( ) c) Montrer que, pour tout, f ' ( ) = (e ) d) Étudier la fonction f et dresser son tableau de variation ( ) g( ) a) Montrer que, pour tout, f ( ) = e b) En déduire, suivant les valeurs du nombre réel, la position de la courbe C par rapport à la droite D d'équation y = 3 a) Préciser la tangente au point de C d'abscisse b) Tracer C, en faisant figurer sur le dessin la droite D d'équation y = et tous les éléments obtenus au cours de l'étude wwwzribimathsjimdocom Page

2 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi Eercice : Sur la feuille ci jointe figurent la courbe représentative (C) dans le repère orthonormal (O ; i, j) d'une fonction f définie et dérivable sur R ainsi que son asymptote (D) et sa tangente (T) au point d'abscisse On sait que le point J ( ; ) est le centre de symétrie de la courbe (C), que l'asymptote (D) passe par les points K ( ; ) et J, que la tangente (T) a pour équation y = ( e) + Déterminer une équation de (D) On suppose qu'il eiste deu réels m et p et une fonction ϕ définie sur R telle que, pour tout réel, f() = m + p + ϕ() avec lim ϕ( ) = a) Déterminer m et p b) Montrer que, pour tout réel, on a f() + f( ) = c) En déduire que la fonction ϕ est impaire puis que la fonction f, dérivée de f, est paire 3 On suppose maintenant que, pour tout réel, ϕ() = (a + b) e où a et b sont des réels Montrer, en utilisant les données et les résultats précédents, que a = e et b = On considère la fonction f définie sur R par f() = + + e et on suppose que la courbe (C) représente la fonction f dans le repère (O ; i, j) a) Montrer que, pour tout réel, la dérivée f de f vérifie : f () = + ( ) + e Calculer f () b) Vérifier que (T) est bien la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse Étudier la position relative de la courbe (C) et de sa tangente (T) Le graphique suggère l'eistence d'un minimum relatif de f sur [; ] wwwzribimathsjimdocom Page

3 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi a) Montrer que f ''() est du signe de b) Montrer que l'équation f () = admet une solution unique α sur [ ; ] c) Montrer que,5 < α <,5 d) Eprimer f(α) sous la forme d'un quotient de deu polynômes en α Eercice 3 : ln f définie sur ] ; + [ par f() = + On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i, j) graphique : cm) (unité Étude de la fonction auiliaire g définie sur ] ; + [ par g() = + ln a) Étudier le sens de variation de g et calculer g() b) En déduire le signe de g() pour tout de ] ; + [ wwwzribimathsjimdocom Page 3

4 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi a) Calculer les limites de f en et en + b) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations c) Montrer que la droite d'équation y = est asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport à d) Déterminer les coordonnées du point A de (C) sachant que (C) admet en A une tangente T parallèle à e) Tracer (C), et T dans le repère (O; i, j) 3 Calculer, en cm, l'aire du domaine plan limité par, la courbe (C) et les droites d'équations = l et = e 4 Montrer que l'équation f() = admet une solution unique Prouver que On désigne par h la fonction définie sur ] ; + [ par h() = Montrer que est l'unique solution de l'équation h() = On note I l'intervalle ; Montrer que, pour tout appartenant à I, h() appartient aussi à I 3 a) Calculer la dérivée h de h et la dérivée seconde h'' de h b) Étudier les variations de h sur I c) En déduire que, pour tout de I, on a h () e 4 On considère la suite définie par u = et u n + = h(u n ) pour tout entier naturel n de N e a) Montrer par récurrence que, pour tout n de N : un b) En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout n de N : u n + e u n wwwzribimathsjimdocom Page 4

5 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi n c) En déduire que, pour tout n de N : u n e 5 a) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à n n, on ait : e < b) Montrer que : u n < Que représente u n relativement à? Calculer u n à près par défaut Eercice 4 : Soit la fonction ϕ définie dans R par ϕ() = e + + Étudier le sens de variation de ϕ et ses limites en + et Montrer que l'équation ϕ() = a une solution et une seule α et que l'on a :,8 < α <,7 3 En déduire le signe de ϕ() sur R e Soit la fonction f définie sur R par : f ( ) = e et (C) sa courbe représentative dans un + repère orthonormal (O ; i, j ) du plan (unité graphique : 4 cm) e ϕ( ) Montrer que f' ( ) = En déduire le sens de variation de f (e + ) Montrer que f(α) = α + et en déduire un encadrement de f(α) 3 Soit T la tangente à (C) au point d'abscisse Donner une équation de T et étudier la position de (C) par rapport à T 4 Chercher les limites de f en + et Démontrer que la droite D d'équation y = est asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport à D 5 Faire le tableau de variation de f 6 Tracer sur un même dessin (C), T et D La figure demandée fera apparaître les points de (C) dont les abscisses appartiennent à [ ; 4] Partie C On considère la fonction g, définie sur [ ; ] par : g () = ln ( + e ) On note (L) la courbe représentative de g dans le repère (O ; i, j ), I le point défini par OI = i, A le point d'abscisse de (L) et B son point d'abscisse Étudier brièvement les variations de g Donner une équation de la tangente en A à (L) wwwzribimathsjimdocom Page 5

6 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi 3 On note P l'intersection de cette tangente avec le segment [IB] Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA 4 On admet que la courbe (L) est située entre les segments [AP] et [AB] Montrer alors que : ln + ( ) d ln ( + e) 4 g 5 Au moyen d'une intégration par parties, justifier que : 6 En déduire un encadrement de f ( ) d Eercice 5 : f ( ) d = ln( + e) g( ) d 3e On considère la fonction f définie sur R par f ( ) = e + On note Γ sa représentation graphique dans un repère orthonormal (O; i, j ) ; unité graphique cm a) Montrer que, pour tout réel, f ( ) + f () = En déduire que Γ possède un centre de symétrie, qu'on désignera par A et dont on précisera les coordonnées b) Déterminer la limite de f en Déterminer la limite de f en + En déduire que Γ possède deu asymptotes dont on précisera les équations c) Calculer f' () et en déduire le sens de variation de la fonction f a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Γ au point d'abscisse b) On considère la fonction ϕ définie sur R par ϕ () = f () ( + ) e Montrer que, pour tout réel, ' ( ) ϕ = e + En déduire le sens de variation de la fonction ϕ puis son signe (on précisera ϕ ()) c) Déduire de ce qui précède la position de la courbe Γ par rapport à la droite T wwwzribimathsjimdocom Page 6

7 LSEl Riadh Eponentielles Mr Zribi 3 Tracer dans le repère (O; i, j ) la droite T ainsi que la courbe Γ et ses asymptotes a) Montrer que f () = si et seulement si ϕ () = b) En déduire, en utilisant les résultats de A, que la droite D d'équation y = coupe la courbe Γ en un seul point dont l'abscisse α est comprise entre et 3 4e a) Montrer que, pour tout réel, f ( ) = e + En déduire une primitive F de f sur R b) Eprimer, en fonction de α, l'aire du domaine limité par la courbe Γ, la droite D et les droites d'équations = et = α Partie C Dans cette partie, on désigne par I l'intervalle [ ; 3 ] a) Montrer que, pour tout réel, f' ( ) = 4 e + (e + ) b) En déduire que, pour tout réel appartenant à l'intervalle I, f' ( ) c) En déduire que, pour tout réel appartenant à l'intervalle I, f ( ) f ( α) α On définit la suite (u n ) d'éléments de l'intervalle I par : u = 3 un+ = f ( un) pour n N a) Montrer que, pour tout entier naturel n, u n α 3 α n b) Déterminer un entier naturel p tel que u p soit une valeur approchée de α à 3 près Donner la valeur approchée de u p proposée par la calculatrice wwwzribimathsjimdocom Page 7