Travail sur la démonstration, en géométrie et ailleurs

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1 Travail sur la démonstration, en géométrie et ailleurs Exercice 1 : copirelem 2016, d'après un sujet de Lyon Soit un carré ABCD de centre O et de côté de longueur 5 cm. E est le milieu de [DC] et F le milieu de [AB]. La diagonale [BD] coupe le segment [EA] en H et le segment [CF ] en G (voir la gure ci-dessous). 1. Démontrer que les droites (EA) et (CF ) sont parallèles. 2. Démontrer que la diagonales est partagée en trois segments de même longueur (on pourra utiliser les triangles DCG et ABH). 3. Aire du quadrilatère grisé : (a) Montrer que l'aire du quadrilatère ECGH est égale à la moitié de l'aire du parallélogramme AF CE. (b) En déduire l'aire du quadrilatère ECGH. Exercice 2 : démontrer en arithmétique Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. 1. Montrer que la somme de trois nombres entiers naturels consécutifs est divisible par Montrer que pour n'importe quel entier naturel n, (n + 1) 2 (n 1) 2 est un multiple de D'après NATHAN CRPE 2017, tome 1 On remarque que : 65 2 = et que = ; = et que = ; = et que = ; (a) Généraliser ces remarques en proposant une relation mathématique. (b) Démontrer cette relation. Exercice 3 : démontrer une formule, extrait de groupement 1, avril 2015 Dans tout le problème on travail à partir d'un réseau pointé à maille carrée. On appelle polygone de Pick un polygone non aplati construit sur un tel réseau et dont chacun des sommets est un point du réseau. On appelle formule de Pick la formule A = i + b 1 où A est l'aire d'un polygone de Pick, i le nombre 2 de point du réseau strictement intérieurs à ce polygone et b le nombre de points du réseau sur le bord du polygone. Le résultat est exprimé en unité d'aire avec une unité d'aire = aire d'un carré unité. On considère un rectangle de Pick de dimensions quelconques dont les côtés sont parallèles au réseau (voir exemple ci-dessous). S. Jolivet Page 1 Document placé sous licence

2 On note : L sa longueur l sa largeur i le nombre de points du réseau strictement intérieurs au rectangle b le nombre de points du réseau sur le bord du rectangle 1. Exprimer b et i en fonction de L et l. 2. En déduire que la formule de Pick est vériée pour le rectangle. Autour de la classication de Vergnaud des problèmes d'addition et de soustraction Exercice 4 : copirelem 2016, d'après un sujet de Besançon L'annexe 2 ci-dessous présente quatre exercices tirés du manuel de mathématiques Vive Les Maths CE1, Édition Nathan, Classer les quatre problèmes proposés en utilisant la classication des problèmes additifs de Vergnaud (voir annexe 1 ci-dessous, document CPC Bonneville, 74). 2. Comparer les problèmes 1, 3 et 4 selon les procédures de résolution possibles et selon le contexte du problème. 3. Proposer, sur le modèle des exercices de l'annexe, deux problèmes distincts de comparaison d'état, pouvant être proposés à des élèves de CE1, distincts de ceux proposés en annexes. S. Jolivet Page 2 Document placé sous licence

3 Exercice 5 : d'après Hatier, Tome 2, 2014 Voici une liste de problèmes dont certains sont extraits de Ermel CE1. Situer chacun de ces problèmes dans la typologie proposée à l'exercice 4 (annexe 1). 1. Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant, que marque le compteur? 2. Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 dans son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant? 3. Paul joue au jeu de l'oie. Son pion est sur une case bleue. Il avance de 14 cases. Il arrive sur une case rouge marquée 37. Quel est le numéro de la case bleue? 4. La maîtresse a 42 cahiers dans l'armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a maintenant en tout 67 cahiers. Combien le directeur lui a-t-il apporté de cahiers? 5. Dans une école il y a 68 lles et 52 garçons. Combien y a-t-il d'enfants dans cette école? 6. Dans une classe il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de lles dans la classe? 7. Pierre a 25 billes. Marc a 32 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus? S. Jolivet Page 3 Document placé sous licence

4 8. Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son ls Thomas. Quel est l'âge de Thomas? 9. Je pense à un nombre. Je lui soustrais 17. Je trouve alors 42. Quel était le nombre de départ? 10. Hervé voit un téléphone qui lui plaît. Il n'a que 45. Il dit : Si j'avais 28 de plus, je pourrais l'acheter. Quel est le prix du téléphone? 11. Pierre joue deux parties de billes à la suite. Au cours de la deuxième partie, il gagne 13 billes. Au total, après les deux parties, iil se rend compte qu'il a perdu 7 billes. Que s'est-il passé au cours de la première partie? 12. Entre 1970 et 1980, la population du village a diminué de 154 habitants. Entre 1980 et 1990, elle a augmenté de 78 habitants. Que s'est-il passé pour la période ? Autour de l'analyse d'erreurs Exercice 6 : Analyse de productions d'élèves sur un exercice de calcul rééchi (d'après Copirelem 2014, sujet Copirelem) Lors d'une séance de calcul mental, un enseignant écrit au tableau le calcul. Après un moment de recherche, au signal, les élèves écrivent leur résultat sur l'ardoise et lèvent celle-ci. An de faire apparaître les diérentes procédures, l'enseignant demande alors à certains élèves d'expliquer oralement comment ils ont obtenu leur résultat. Les réponses et les explications orales fournies par huit élèves que l'on désignera par les lettres, A, B, C, D, E, F, G et H sont indiquées ci-après. 1. Relever et analyser les erreurs commises 2. Identier trois procédures qui ont permis d'obtenir le résultat et qui amènent à mobiliser des propriétés de la multiplication qui seront explicitées. 3. Pour chacune des procédures repérées, indiquer les élèves qui l'ont employée. S. Jolivet Page 4 Document placé sous licence

5 Exercice 7 : Petit détour en maternelle (d'après Copirelem 2014, sujet Copirelem) Un élève de grande section, en n d'année, est confronté successivement aux deux tâches suivantes : Tâche A : Un tas d'une vingtaine de jeton est devant lui. On lui demande combien il y a de jetons Tâche B : L'élève reçoit une barquette ; le maître dit à l'élève d'aller chercher douze jetons dans la réserve et de les rapporter dans son panier. 1. Pour chacune de ces tâches, décrire une procédure utilisant la comptine numérique permettant de réaliser la tâche. 2. Cette question porte sur la tâche A. Décrire deux erreurs qu'un élève peut faire en dénombrant par comptage la vingtaine de jetons qui est devant lui. 3. La tâche B est plus complexe que la tâche A. En s'appuyant sur les procédures décrites dans la question 1, donner un argument permettant de justier cette armation. Exercice 8 : D'après Hatier, tome 2, 2016 Exercice 9 : D'après Hatier, tome 2, 2014 Des élèves de CM1 doivent résoudre les deux exercices suivants : 1. Quelles compétences sont nécessaires pour répondre à ces deux exercices? 2. Analyser les réponses de Lisa et Rémi 3. Quels objectifs peuvent être poursuivis à travers l'exploitation des ces exercices? Indiquer ce que l'enseignent peut dégager avec les élèves au cours de la synthèse qui suit ce travail. S. Jolivet Page 5 Document placé sous licence