Durée possible Probabilité correspondante Pi Total 1 E(D) =

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1 Modèle probablste d ordonnancement «La durée du projet» Prncpe Avant la réalsaton d un projet, la durée de chaque tâche n est que estmatve donc ncertane. La durée d d une tâche, est une varable aléatore, ce qu sgnfe que d peut prendre pluseurs valeurs, selon une dstrbuton de probablté. A partr de ces valeurs on pourra calculer la durée moyenne, la varance et l'écart type. Exemple de la durée en heures d'une tâche Durée possble Probablté correspondante P P *d P ( d E( d )) Total E(D) = P d = 5.6 Varance = P ( d E( d )) =8.4 Durée moyenne E(d)=5.6 Var (d)= 8.4 et l écart type=.8 - on connaît cette dstrbuton de probablté on peut calculer la durée moyenne E(d) et la varance Var d de la tâche. - la dstrbuton de probablté n'est pas connue l faudra l'estmer, selon des nformatons connues, à l'ade d'une méthode approprée. En geston de projets, une estmaton est généralement proposée par défaut, elle suppose de dsposer de tros durées : durée optmste, durée probable et durée pessmste. Estmatons de la durée moyenne d'une tâche (E(d)) et de son écart-type (σ (d)) La durée de chaque tâche du projet est aléatore et sa dstrbuton de probablté sut la lo de Bêta. Les paramètres de cette lo sont détermnés à partr des valeurs extrême a et b que la durée d excluson peut prendre, et du Mode Mo. La moyenne et la varance sont obtenues respectvement par cette lo : ( a 4M b) ( b a) µ 6 6 Ce qu revent à consdérer que la durée probable se réalse quatre fos plus souvent que la durée optmste ou que la durée pessmste. Remarque : Dans le cas d ordonnancement le (a) représente la durée optmste de la tache et (b) la durée pessmste. La durée du projet est toujours la durée du chemn le plus long

2 le nombre de tâches crtques est suffsamment élevé on applque le théorème central lmte pour approxmer la lo de dstrbuton de probablté de la durée d exécuton de projet. En effet, la somme d un grand nombre de varables aléatores ndépendantes est dstrbuée suvant la lo normale de moyenne «sommes des moyenne de ces varables et de varance la somme des varances des mêmes varables» Dans le cas des durées des tâches : s on désgne par D la durée du projet sur un chemn crtque alors E(D) E ( d ) et Var (D) Var ( d ). Il en résulte que la durée estmée du projet sur le chemn crtque s obtent par la k somme des moyennes des durées des tâches du chemn crtque c est à dre µ P µ. La k varance pour le même chemn est donnée par P Remarque : Dès que la lo de probablté de la durée du projet est connue, on peut toujours calculer la durée du chemn avec une probablté «p» et la probablté qu une durée D sot dépassée ans que les ntervalles de confance. Résumé de la démarche : - Estmaton des durées optmstes, probables et pessmstes des tâches de projet - Calculer la moyenne et la varance de chacune des taches par la lo Bêta ; - Etablr le graphe MPM ou PERT et détermner le chemn crtque et les tâches qu le composent ; 4- Addtonner les moyennes et les varances de chacune des tâches composant le chemn crtque pour en détermner la durée probable et l écart type de du projet k 5- La durée totale du projet est approxmée par la lo normale de moyenne µ P µ et de k varance P Exemple : ot la lste des actvtés nécessare à la réalsaton d un projet Actvtés Prédécesseurs Durées optmstes A B A 4 C A D B C 4 6 E C 5 8 F C 8 G E 7 H E F 5 9 I D G H probables Pessmstes µ P Tracer le graphe et ndquer le chemn crtque - Calculer la durée estmée du projet - Quelle est la probablté que le projet sot réalsé en mons de semanes 4- Quelle est la probablté que le projet nécesste plus de 8 semanes Pour assurer la réalsaton probable du projet à plus de 9%, comben de semanes faut-l compter?

3 TP Méthode PERT Exercce Une mportante socété de magasns almentares à grande surface dversfe son actvté en créant des commerces dans les pettes vlles. La socété crée le fonds de commerce qu est ensute géré de façon autonome par un commerçant franchsé. La socété réalse une étude d'mplantaton pus elle nstalle le commerce. Les tâches à exécuter sont résumées dans le tableau suvant : Lste des tâches Durée en jours Tâches qu dovent être exécutées avant A - Recherche d'un local 5 B - Recherche d'un franchsé 45 C - Consttuton du dosser du franchsé 5 A, B D - Consttuton du dosser pour la chambre de A, B commerce E - Formaton du franchsé B F - Aménagement, plâtrere, penture du magasn A G - Réfecton façade, ensegne 8 A H - Equpement chambre frode 8 A, F I - Equpement rayonnage 5 A, F J - Implantaton du magasn 6 A, B, E, F, G, H, I K - Trage des feullets publctares 6 A, B, D L - Dstrbuton des feullets publctares A, B, D, K M -Envo des nvtatons pour l'nauguraton 6 A, B, D N - Inauguraton du magasn toutes. Tracez le dagramme PERT du projet.. En quel temps mnmum ce projet pourra-t-l être réalsé?. Fates apparaître le chemn crtque. 4. calculer les marges totales et lbres. Exercce : l approche probablste d ordonnancement. Représentez le graphe c-dessous.. Calculez la durée moyenne du projet.. Trouvez la probablté pour que ce projet sot termné en jours (on consdérera que le nombre de tâches est très grand). 4. Détermnez la durée avec une probablté de 98%. 5. Les durées de la tâche H sont modfées. Des nformatons plus précses ndquent que la moyenne est 9 et l'écart type 5. Cette modfcaton a-t-elle des conséquences sur les résultats des questons et 4?

4 Exercce. Représentez le graphe du réseau c-dessous.. Calculez la durée moyenne du projet.. Trouvez la probablté pour que ce projet sot termné en plus de jours (on consdérera que le nombre de tâches est très grand). 4. Détermnez la durée avec une probablté de 98%. 5. Les durées de la tâche H sont modfées. Des nformatons plus précses ndquent que la moyenne est 9 et l'écart type 5. Cette modfcaton a-t-elle des conséquences sur les résultats des questons et 4? Indcaton de soluton du derner exercce

5 Chaptre : Problèmes de transport Poston du problème On entend par problème de transport tout problème d optmsaton du transfert entre pontsorgne ou fournsseurs et ponts-destnaton ou clents. Dans ces condtons, l entreprse (ou l entté économque) a ntérêt à détermner parm le réseau de destnaton le canal de dstrbuton le mons cher. G. Hadley exprme le problème de transport comme étant des quanttés données d un même produt dsponbles en pluseurs ponts-orgne ; des quanttés données de ce produt dovent être expédées vers dfférents ponts destnaton. Le coût de transport untare entre chaque ponts-orgne et chaque ponts-destnaton est connu, l s agt de détermner le melleur programme de transport, c'est-à-dre celu qu mnmse le coût total d approvsonnement. Plus précsément, l convent de détermner à partr de quel pontorgne, chaque pont-destnaton dot être almenté, et cec en quelle quantté? La recherche opératonnelle par voe de programmaton lnéare peut résoudre ce genre de problème par une formulaton prmal ou duale du problème. Modélsaton du problème Pour faclter la tâche de la modélsaton nous allons prendre un exemple smple avec tros ponts-orgne et tros ponts-destnaton que l on généralsera à un réseau avec m ponts orgne et n ponts-cbles. Par hypothèse, on suppose que le coût untare de chaque canal de dstrbuton est donné et toute demande est satsfate. Dans la sute, nous proposons une modélsaton du problème avec renoncaton de la dernère hypothèse. L entreprse EB est spécalsée dans la fabrcaton et la dstrbuton d un produt unque «P». Elle dspose de tros centres de producton localsés dans tros vlles dfférentes et fournt et almente ses clents dans tros autres vlles. Le tableau suvant résume son stock et sa demande en produt «P» : Inscrpton dans les collèges locaux, 5 Centres de producton tock =Offre Centres de dstrbuton Kentra Casablanca 5 Fès 8 Agadr 7 Meknès 8 Marrakech 6 Total 8 8 Demande

6 Le coût de transport entre chaque pont-orgne et pont destnaton est ndqué dans le tableau c-dessous suvant un contrat partculer entre l entreprse et l ONCF. Vlles Casabla nca Aga dr Marrak ech Kent ra Fès 5 Mekn ès 9 Notaton : Comment lvrer au mondre coût? La quantté transportée entre chaque vlle de départ et la vlle destnaton j est notée j, de ce fat les dfférentes notatons sont les suvantes ; Vlles Casabla nca Aga dr Marrak ech Kent ra Fès Mekn ès Le coût de transport total de cette entreprse pour toutes les quanttés transportées s écrt : C , l s agt c de la foncton-objectf (économque) Contrantes sur l offre : L entreprse ne dot pas offrr plus qu l est demandé par le marché et par zone. Pour Kentra par exemple : + + = Contrantes sur la demande : Il est nécessare d expéder la quantté demandée par le marché, ans que par la zone : Pour Agadr par exemple : + + =7 ; Le programme lnéare de mnmsaton des coûts de cette entreprse est consttué de 9 varables et de sx contrantes (tros par orgnes et tros par cbles), sot :

7 Mn C / C ; j,, j Ecrture duale du programme prmal : Max / C Z 8 8 5T 7T 6T Cas générale D une façon générale, le problème de transport s exprme comme la recherche de l approvsonnement au mondre coût à partr de m ponts-orgnes et n ponts destnatons. Le programme s écrt :

8 Mn / C C m n j C j j n j j O avec... m m j j D j avec j... n Ecrture duale du programme de mnmsaton du coût de transport Mn C Max R O DT / C j C j m n j oluton du programme lnéare relatf au transport Il exste pluseurs méthodes de détermnaton de la soluton de base ntale. Nous présentons c la méthode dte du con-nord-ouest. Cette méthode consste à satsfare la demande du premer marché à partr du stock de la premère usne. Le processus contnue jusqu à la satsfacton de la demande totale et l épusement du stock. Par l applcaton de cette méthode au cas de l entreprse EB, on obtent la soluton de base suvante : Vlles Casabla nca Aga dr Marrak ech Kentr a Fès 5 Meknè 6 s Deman de Le coût assocé à cette soluton est : C=*8+*5+5*+*9+6*=69 Pour vérfer s cette soluton est optmale ou non, l sufft de contrôler s les trajets non utlsés ne sont pas ntéressants. Pour cela, nous partons de cette soluton et nous détermnons les valeurs de et Tj à partr du système d équatons suvantes correspondantes aux trajets utlsés par la soluton de base ntale.

9 La valeur zéro ndque la non utlsaton du trajet correspondant. T T Ce système comprend sx nconnues et cnq équatons, une soluton arbtrare à l une des nconnues, par exemple =, peut détermner la soluton des autres. En effet, T=8, =7 ; T= ; =6 ;T=4 L applcaton de cette soluton aux trajets non utlsés donne les résultats suvants : Trajets non utlsés +Tj-Cj Kentra Agadr [] +-5=- +Tj sgnfe ce qu on peut économser s ce Kéntra-Marrakech [] +4-6=- trajet est utlsé. Fes-Marakech [] 7+4-=- Meknès-Casablanca [] 6+8-= Le trajet le plus ntéressant correspond à la valeur de +Tj-Cj la plus élevée postve, l s agt dans cet exemple du trajet [] qu l faut donc ntrodure dans la soluton. Ce trajet défn un rectangle dont le premer sommet est le trajet retenu et les tros autres sommets des éléments strctement postfs. Ce rectangle est à placer dans le tableau des quanttés. Une analyse des valeurs des sommets de ce rectangle dans le tableau des quanttés est à effectuer comme sut : C est à partr de la quantté la plus fable des sommets et que les calculs soent effectués. On compare donc avec alors la soluton est : + On remplace la soluton de base ntale par cette nouvelle soluton et on calcul le nouveau coût mnmal.. +

10 > alors la soluton est : - + De la même manère que précédemment, on remplace la soluton de base ntale par cette nouvelle soluton et on calcul le nouveau coût mnmal. + -= Dans l exemple de la socété EB, le trajet le plus ntéressant est celu de Meknès-Casablanca c'est-à-dre []. Le rectangle concerné pour cette premère tératon est : 5 Pusque < alors les nouvelles quanttés devennent : 5 c'est-à-dre : la nouvelle soluton de base devent : Casablan Agad Marrake Offre ca r ch Kentra Fès 7 8 Meknès 6 8 Demand e Le coût assocé à cette soluton est : C=*8+7*+5*+*+6* =47. 7 Pour vérfer s on peut amélorer cette soluton optmale, on reprend le calcul avec cette nouvelle soluton.

11 8 5 on suppose =, on obtent : T=8 ; =7 ;T= ; =-5 ; T=5. Trajets non utlsés +Tj-Cj Kentra Agadr [] +-5=- Kéntra-Marrakech [] +5-6=9 Fes-Marakech [] 7+5-= Meknès-Agadr [] -5+-9=- Le trajet le plus mportant est Fès-Marrakech [], Le rectangle de cette deuxème tératon est : 6 5 D où la nouvelle soluton de base : Casablan Agad Marrake Offre ca r ch Kentra Fès 7 8 Meknès 5 8 Demand e Le coût assocé à cette soluton est : C= *8+7*+*+*+5*=7 On rétère pour vérfer s l optmum est attent : T T T 8 5

12 Pour = on aura : T=8 =- T= =-5 T=5 L applcaton de ces résultats aux trajets non utlsés donne ce qu sut ; Trajets non utlsés +Tj-Cj Kentra Agadr [] +-5=8 Kéntra-Marrakech [] +5-6=9 Fes-Marakech [] -+8-5= - Meknès-Agadr [] -5+-9= - On retent comme trajet ntéressant [] c'est-à-dre kéntra Marrakech. (rectangle en gras) 5 c'est-à-dre : 7 8 La nouvelle soluton de base est : Casablan Agad Marrake Offre ca r ch Kentra 7 5 Fès 7 8 Meknès 8 8 Demand e Le coût assocé à cette soluton est : C=7*8+5*6+7*+*+8*=9. 5 On la même procédure avec le tableau c-dessus on obtent le système pour les trajet utlsés 8 6 Pour = on aura : T=8 = 6 T=6 =-5 T=4. L applcaton de ces valeurs aux trajets non utlsés donne les résultats suvants : Trajets non utlsés Kentra Agadr [] Fès-Casa [] Meknès-Agadr [] Meknès-Marrakech [] +Tj-Cj +4-5= = = = -9

13 Tous les trajets non utlsés ne sont pas ntéressants, donc on ne peut pas amélorée cette soluton optmale. Le coût mnmal est donné par les résultats de la dernère soluton de base.