Probabilités, Statistique et Calcul Stochastique

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1 Ecole Natonale des Scences Applquées de Tétouan (ENSATE) Année Unverstare: robabltés, Statstque et Calcul Stochastque e-mal: Ste Web: elmerouan.jmdo.com rogramme robabltés et Statstque : Espaces probablsés Varables aléatores dscrètes et contnues Los usuelles dscrètes et contnues Convergences stochastques Approxmatons des los Echantllonnage et Estmaton Tests statstques 2

2 Calcul Stochastque: rogramme rocessus Stochastques dscrets: Chaînes de Markov. rocessus Stochastques contnus: rocessus de osson, rocessus de comptage. hénomène d attente: Système M/M/, rocessus de nassance et de mort, Système M/M/s. Mouvement Brownen, rocessus d Itô. Equatons Dfférentelles Stochastques. 3 Espaces robablsés 4 2

3 Expérence aléatore On appelle expérence aléatore une certane acton que s l on répète pluseurs fos dans des condtons dentques, elle aura pluseurs résultats possbles. On peut dstnguer les cas possbles des cas favorables, c est-dre des cas que l on veut obtenr. 5 Ensemble fondamental L ensemble de tous les résultats possbles, pour une expérence aléatore, est appelé ensemble fondamental. On le note Ω. Un élément ωde Ωest appelé résultat élémentare. 6 3

4 Evénement Un événement est un résultat possble d une expérence aléatore. On dt que cet événement est aléatore lorsque sa réalsaton est soumse au hasard. Exemples: Obtenr 5 en lançant un dé Amener face en lançant une pèce de monnae, 7 Notaton ensemblste Un événement dot toujours être défn avec précson. Les événements sont des partes (des sousensembles) de Ω, sont notés A, B, C, Exemple: On lance un dé. L événement A{Le numéro 5 apparaît} est dt élémentare (A{5}). L événement B{Un nombre mpar apparaît} est un événement composé (B{,3,5}). 8 4

5 Correspondance entre le langage probablste et le langage ensemblste: Un événement est dt certan s l arrve nécessarement. On l dentfe en tant que sous-ensemble de Ω, à Ω. Un événement est dt mpossble s l n arrve jamas. On l dentfe au sous-ensemble vde Ø de Ω. Un événement Amplque un événement Bs chaque fos que Aest réalsé, Best réalsé. Cela se tradut par la relaton d ncluson A B 9 Correspondance entre le langage probablste et le langage ensemblste: Le contrare d un événement A («non A») est l événement noté A Ω A qu est réalsé s et seulement s An est pas réalsé. L événement «Aet B» est l événement qu est réalsé s Aet Bsont smultanément réalsé. On le note AI B. En tant que sousensemble de Ωc est l ntersecton de Aet B. 0 5

6 Correspondance entre le langage probablste et le langage ensemblste: L événement «A ou B» est l événement qu est réalsé s et seulement s l un au mons des deux événements Aou Best réalsé. En tant que sous-ensemble de Ωc est la réunon de Aet B. AU B Deux événements Aet Bsont ncompatbles s ls ne peuvent être réalsés smultanément, c est-à-dre A I B Correspondance entre le langage probablste et le langage ensemblste: Un événement élémentare est un événement de la forme {ω} où ω Ω. {ω} est un sous-ensemble de Ωalors que ωest un élément de Ω. L ensemble d événements ncompatbles A, A2, L, A n tel que A U A 2 ULU A n Ω et A I A j pour tous les,j,2,,n. ( j) est appelé système complet d événements. 2 6

7 Espace probablsable Sot une expérence aléatore. On peut dentfer un événement aléatore Aavec une parte de Ωdont les éléments réalsent A. L ensemble de tous les événements est l ensemble de tous les sous-ensembles de Ω, c est-à-dre (Ω). 3 Trbu ou σ-algèbre Une classe Ade (Ω) est une trbu (ou σ-algèbre) s:. Ω A 2. S A A, AlorsA A, ( A Ω A) 3. S ( A ) Iest une famlle (fne ou nfne) d événements de A, alorsu A A. I Le couple (Ω, A) s appelle espace probablsable. 4 7

8 roposton Sot Aune trbu sur Ω. On a:. A 2. S ( A ) Iest une famlle (fne ou nfne) d événements de A, alors I A A. I 3. S A Aet B A, alors A-B Aet AΔ B A. 5 Démonstraton. On a Ω A (défnton d une trbu). 2. On a I I U A A I Comme A A, A A et A U D où A A. I 3. Il sufft de remarquer que A B AI B comme A Aet B A, on a AI B A U I A 6 8

9 Démonstraton (sute) B A BI A De même, pusque A. On écrt que A B ( A U ( B A) ( AI B ) U ( BI A ) A Exemple: Au jet de dé à 6 faces on assoce Ω{,2,3,4,5,6} Sot l événement A{Le numéro apparu est un multple de 3}. On chost A{Ø;{3,6};{,2,4,5};Ω}{Ø;A; Ā;Ω}. On aurat pu auss chosr (Ω). 7 Défnton de robablté (Axomatque) A chaque événement A, on voudrat assocer une mesure de degré de possblté de réalsaton de l événement Alorsqu on effectue une expérence aléatore. Cette mesure sera notée (A) avec Cette dée nous condut à la défnton suvante: 0 ( A ) 8 9

10 Défnton de robablté (Axomatque) On appelle probablté sur (Ω,A) une applcaton de A dans [0,] satsfasant aux axomes:. (Ω) 2. our toute famlle (A ) d événements deux à deux ncompatbles, on a: U A Le trplet (Ω, A, ) est appelé espace probablsé ou espace de probablté. ( A ) 9 roposton 2. (Ø)0 2. our tout A A, ( A) ( A) 3. our tout Aet B Atels que A B, ( A) ( 4. our tous Aet B A, ( AU ( A) + ( ( AI. 20 0

11 Démonstraton. On a Donc D où Ω ΩU ( Ω) ( ΩU ) ( Ω) + ( ) ( ) 0 Remarque: ( A ) 0 n mplque pas forcement que A 2. On a Ω AU A d où ( Ω) ( A) + ( A) 2 Démonstraton (sute) 3. On décompose Ben deux événements ncompatbles: B AU ( B A) D où ((A)+(B-A) Comme (B-A) 0, on a ( (A). 4. On décompose AU B en 3 événements ncompatbles : AU B A B U AI B U on a ( A ( A) ( AI et ( B A) ( ( AI D où ( AU ( A + ( A + ( B A) ( A) + ( ( AI ( ) ( ) ( B A) 22

12 Exercce our tout A, B, C des sous-ensembles de Ω, calculer la probablté On trouve: ( AUBUC) ( AU BU C) ( A) + ( + ( C) ( AI ( AIC) ( BIC) ( AI BIC) Formule de oncaré 23 Inégalté de Boole our toute sute d évènements (A ), on a: U A ( A ) 24 2

13 Exemple our l expérence du jet de dé, on sat que Ω{,2,3,4,5,6}. Chaque face a autant de chances qu une autre d apparaître. Il est naturel de supposer que les 6 événements élémentares {}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} ont tous la même probablté /6. S on veut trouver la probablté de l événement A{le numéro apparu est un multple de 3}, on écrt que A{3,6} est la réunon des événements ncompatbles {3} et {6} et on a: ({3,6})({3})+({6})/6+/6/3 25 Défnton fréquentelle de la probablté La probablté défne sur (Ω,A); où Ω{ω,ω 2,,ω k } est un ensemble fn, est dte unforme s les probabltés ({ω }),,,k sont égales. Cette probablté, pour un événement A, vaut On écrt auss: ( A) Card A Card Ω nbre decas favorables ( A) nbre decas possbles 26 3

14 Remarque: On peut supposer que Ωpeut être un ensemble nfn dénombrable: Ω{ω,ω 2,,ω, } La probablté d un événement se calcule à partr des probabltés des événements élémentares ({ω }) vérfant 0 ({ω }) et ( { ω }) 27 robablté condtonnelle: Sot un espace probablsé (Ω, A, ) et un événement A tel que (A)>0. On probablté condtonnelle de l événement B sachant Al applcaton de Adans [0,], notée ( /A)et défne par: ( B / A ) ( B I A ) ( A ) ( A I B ) ( A ) 28 4

15 Justfcaton de l utlsaton de probablté: 0 (B/A), B A, On a d où ( AI A ( AI ( A) ( AI ( A) et 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ΩIA A ( Ω/ A) A A ( B / A) 29 Justfcaton de l utlsaton de probablté (sute): Sot (B ) une famlle d événements de A deux à deux ncompatbles, on a: U B / A Les événements ncompatbles car B I A U ( A) U ( B I A) ( A) sont deux à deux ( B I A) I ( B I A) ( B I B ) I A ; j j ( B I A) j 30 5

16 d où: Justfcaton de l utlsaton de probablté (sute): ( B I A) ( B I A) U B / A ( ) ( ) / A A ( B A) (./A) est donc ben une probablté sur (Ω, A). 3 Remarque: Analogquement, on peut défnr: On dédut alors que et D où ( A / B ) ( A I B ) ( B ) ( AI ( A/ ( ( AI ( B / A) ( A) Théorème des probabltés composés avec (>0 ( A / B ) ( B ) ( B / A) ( A) 32 6

17 Exemple: On lance à la fos deux dés. La somme des ponts obtenus est égale à 8. Calculer la probablté que les deux dés aent donné le même numéro. On a Ω{(,j)/,j, 2, 3, 4, 5, 6} et CardΩ36. Sot l événement A{(,j)ЄΩ/+j8}{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} et l événement B{(,j)ЄΩ/j}{(,),(2,2),,(6,6)} 33 On a et Il vent Exemple (sute): ( A) ( B A) 5 36 ( AI ( {(,4)}) ( AI ( A) / 0, On remarque que 6 36 ( B ) 0,

18 Evénements ndépendants: Défnton: Sot (Ω, A, ) un espace probablsé. Deux événements Aet Bsont dts ndépendants s: ( AI ( A) ( 35 Remarques:. S (A) et ( sont dfférents de zéro. Les événements Aet Bsont ndépendants s la probablté de réalsaton de l un ne dépend pas de la réalsaton ou de la non-réalsaton de l autre, c est-à-dre (A/(A) ou (B/A)( 36 8

19 Remarques: 2. Soent Bun événement quelconque et Aun événement tel que (A)0. Comme AI B A, on a ( AI 0 et (A). (0, donc les événements Aet B sont ndépendants. 37 Remarques: 3. Deux événements ncompatbles Aet B(avec (A) 0 et ( 0) ne sont pas ndépendants. En effet, alors que 0<(A).( ( AI

20 Exemple: On lance un dé. Soent les événements A{2,5}, B{2,4,6} et C{,2,4}. Aet Bsont ndépendants. En effet, ( AI ( { 2 }) 6 et (A).((2/6).(3/6)/6 Bet Cne sont pas ndépendants. 2 En effet, ( BI C) ( { 2,4}) 6 3 et ((C)(3/6)(3/6)/4 /3. 39 Famlle d événements ndépendants: Sot (Ω, A, ) un espace probablsé et sot une famlle fne (A ) n d événements. Ces événements sont dts ndépendants(ou ndépendants dans leur ensemble) s pour toute parte Ide l ensemble {,2,,n} on a I A I I ( A ) 40 20

21 Remarque: Des événements ndépendants dans leur ensemble, sont ndépendants deux à deux, mas des événements ndépendants deux à deux ne sont pas toujours ndépendants dans leur ensemble. 4 Exemple : On lance deux dés. On a Ω{(,j)/,j,2,,6} Sot A{(,j)ЄΩ/ est mpar}{(,j)єω/,3,5}, B {(,j)єω/j est mpar} {(,j)єω/j,3,5} et C {(,j)єω/ +j est mpar} {(,j)єω/ +j3,5,7,9,}, on a (A)((C)/2 (A(AC)(BC)/4. Les événements A, B et C sont deux à deux ndépendants car (A (A)(; (AC) (A)(C) et (BC) ((C); 42 2

22 Mas les événements A, B et C qu forment la famlle (A,B,C) ne sont pas ndépendants dans leur ensemble, En effet, (ABC)0 mas (A)((C)/8 43 Exemple 2: On lance deux dés. Sot A{(,j)ЄΩ/j,3,4}, B {(,j)єω/j2,3,5} et C{(,j)ЄΩ/ +j9}, on a (A)(/2, (A/6, (C)/9 (A/6 (A)(/4. Mas (ABC)/36 et (A)((C)/36. Cet exemple montre que s pour des événements A,B et C, on a (ABC)(A)((C); cec n entraîne pas l ndépendance deux à deux de ces événements

23 roposton: S A et B sont deux événements ndépendants, alors:. A et B sont ndépendants. 2. et B sont ndépendants. A 45 Démonstraton:. On a ( AI B ) ( A A ( A) ( AI ( A) ( A) ( ( A) [ ( ] ( A) ( B ) 46 23

24 2. On a Démonstraton (sute): ( AI B ) ( AU ( AU ( A) ( + ( AI ( A) ( ( A) ( B [ A ] + ( A) ( ) ( ) ( A ) ( ( A ) ( A )[ ( B )] ( A ) ( B ) 47 Exercce: Montrer que tout événement est ndépendant de tout événement de probablté

25 Formule des probabltés totales: Soent (Ω, A, ) un espace probablsé, (A ) n un système complet d événements et B un événement quelconque. On a: / ( ( B A ) ( A ) 49 Démonstraton: On a A Ω et A I pour j. Comme avec U A j B BI Ω BI U A ( BI A ) I ( BI ) A j U( BI A ) pour j, on a ( ( BI A ) ( BI A ) ( B / A ) ( A ) U 50 25

26 Exemple: On consdère deux urnes; la premère content 3 boules blanches et 3 nores et la deuxème content 4 blanches et 2 nores. On chost l une des deux urnes au hasard et on tre sans remse 2 boules de cette urne. Calculer la probablté que les 2 boules trées soent blanches. 5 Exemple (soluton): Soent les événements A {le trage se fat de l urne };,2 et B{les 2 boules trées sont blanches}. On a 2 ( ( B / A ) ( A ) ( B / A ) ( A ) ( B / A ) ( A ) ,

27 Formule de BAYES: Soent (Ω, A, ) un espace probablsé, (A ) n un système complet d événements et Bun événement tel que ( 0. On a: ( A / j ( B / A j ) ( A j ) B / A A ( ) ( ) 53 On a Démonstraton: ( ) ( Aj I A B j, / j ( ar la formule des probabltés totale, on peut écrre: D où ( A / j / ( ( B A ) ( A ) ( B / A j ) ( A j ) B / A A ( ) ( ) 54 27

28 Exemple: On consdère tros urnes; la premère content 3 boules blanches et 3 nores, la deuxème content 4 blanches et 2 nores, la trosème 6 blanches. On chost l une des tros urnes au hasard et on tre smultanément 2 boules de cette urne. Sachant que les 2 boules trées soent blanches, calculer la probablté qu elles provennent de la deuxème urne. 55 Exemple (soluton): Soent les événements A {le trage se fat de l urne };,2,3 et B{les 2 boules trées sont blanches}. On a Or ( A / ( B / A ) ( A ) ( A ), (,2,3) 2 2 ( B / A ) ( ) A 56 28

29 2 ( B A ) ; ( B / A ) ; ( B / A ) / On trouve: ( A / 0, Remarque: Les probabltés (A ), (A 2 ),,(A n ) sont les probabltés avant l expérence aléatore (elles sont appelées des probabltés à pror). Après avor réalsé l expérence, supposons qu l en résulte l événement B et que l on connaît ses probabltés condtonnelles (B/A ),.,(B/A n ) (elles sont appelées des vrasemblances). Le théorème de BAYES nous donne, donc, les probabltés après l expérence (elles sont appelées des probabltés à posteror) condtonnelles par rapport à l événement B qu en résulte, (A /,.,(A n /