+**** MATHEMATIQUES. Tournez la page S.V.P. Les calculatrices sont interdites.

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1 SESSION 2003 TPC005 EPREUVE SPEClFlQUE - FlLlERE TPC MATHEMATIQUES Durbe : 4 heures Les calculatrices sont interdites. +**** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à 1- précision e à la concision de le rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. Tournez la page S.V.P.

2 2 PROBLEME 1 A. Etude d une fonction f On fixe un réel a et on pose VXER, f(x)= Arctanx si XER* 1) a) Déterminer a tel que f soit continue en O. b) Montrer qu alors f est de classe C su R. Désormais, a prendra cette valeur. 2) Etudier la parité, les variations et les limites en koo de f. (On pourra être amené à étudier la fonction x t+ l+x2 Donner l allure de la courbe représentative de f. X - Arctanx) I n 3) Montrer que Vx E R:, Arctan x + Arctan - = -. x 2 En déduire un développement asymptotique de f au voisinage de +a, de la forme f(x)=a,+-++++,+o a1 a2 a3,avec (a,,a,,a,,a3)~r4 x x x B. Développement en série entière de f 1) Donner le développement en série entière de XH- convergence associé. 1 l+x2 en précisant le rayon de 2) En déduire que f est développable en série entière sur 1-1,1[. Préciser ce développement. 3) En déduire que f est de classe C sur IR, et préciser f ( ) (O) pour tout yz E N.

3 3 C. Résolution d'une équation différentielle On considère les deux équations différentielles fi L (E) x2y"+4v'+2y= (1+x2)2 et (EH) x2y"+4xy'+2y=0. Dans cette partie, I désigne l'un des deux intervalles IR: ou IR:. 1) Montrer que (EH) admet sur I deux solutions de la forme x H xk, avec k E Z. En déduire toutes les solutions de (EH) sur 1. 2) Résoudre alors (E) sur 1 par la méthode de variation des constantes. (On pourra remarquer que X 2 2 J 3) En déduire que (E) admet une unique solution sur R, et que cette solution est f D. Calcul de deux intégrales impropres On considère les deux intégrales impropres et K = I, +a x2 +m x Arctan x dx. 2 f (XI"= I, (1+2) 1) Justifier l'existence de ces deux intégrales. 2) a) Déterminer trois réels a, b et c tels que (1+x2)2 1 a bx+c x(l+x2) =nr+1+x2. b) Calculer alors J à l'aide d'une intégration par parties (prudente). 3) En effectuant un changement de variable et en utilisant la relation prouvée en A.3), calculer l'intégrale K. Tournez la page S.V.P.

4 4 E. Etude d une autre fonction On pose 1) Montrer que g est développable en série entière sur 1-1,1[ sous la forme 2) En déduire que g est de classe Cm sur R. 3) a) Justifier la convergence de la série (-V nen (2n + 1) * b) Justifier (soigneusement) que sa somme est égale SI g (1). 1 Arctant c) En déduire un rationnel approchant g (1)= 5 dt à 5 ~10-~ près. O t 4) Montrer que?t lnx VX E R: g (x) X 2 x 1 (On pourra écrire l expression g(x)-ag(i) sous la forme - [;h(t)dt, où h est une X x x fonction à déterminer, puis utiliser un changement de variable et la relation prouvée en A.3).) g ($1 = 5) En déduire un équivalent simple de g au voisinage de +a, ainsi que lim g (x). X++m 6) Etudier la parité et les variations de g y puis donner l allure de sa courbe représentative..x Arctan t (On pourra être amené à étudier la fonction x H Arctanx- jo dt, et à utiliser I étude t X de XI+-- Arctan x y déjà effectuée enia.2).) 1+x2

5 5 PROBLEME II pour tout (a, 6) E R2, un pose M(a7b)=[:a -a b]. b b O L ensemble des matrices de la forme M (a, b) avec (a, b) E IR2 est noté E. Dans les parties A et B, l espace IR3 est muni de son produit scalaire usuel. A. Généralités 1) Justifier que E est un sous-espace vectoriel de M, (IR). En donner une base et la dimension. 2) Pourquoi peut-on assurer sans calculs que M (a, b) est diagonalisable? Que peut-on dire de plus? 3) Déterminer le polynôme caractéristique de M (a, b), puis, pour chacune des valeurs propres obtenues (non nécessairement distinctes), déterminer un vecteur propre associé, que l on choisira unitaire, et de première composante positive. 4) En déduire que A4 (a, b) = PD P, avec 2a O O fjz 1 1 O bjz O O O -b& B. Matrices orthogonales de E 1) Déterminer, parmi les matrices M (a, b) de E, celles qui sont orthogonales. 2)0nnote Justifier que l endomorphisme ly de IR3, admettant A pour matrice dans la base canonique, est une isométiie vectorielle. En préciser la nature et les Cléments caractéristiques. Tournez la page S.V.P.

6 6 C. Construction de nouveaux produits scalaires sur R3 c:) Etant donnés trois réels A., a et b, on pose N = Al, + M (a, b). [Il Pour tous vecteurs U = y et V = y de R3, on pose alors 4 (U, V) = UNV. On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante, portant sur A, a et b, pour que 4 soit un produit scalaire sur R3. Selon l usage, on convient d identifier une matrice carrée d ordre 1 et son unique coefficient. 1) Sans déterminer explicitement 4 (U, V ), montrer que 4 est une application à valeurs dans R, bilinéaire et symétrique. 2) On pose Z = PU (P u a été définie dans la partie A), et on note z1, z2 et z3 les composantes de 2, de sorte que Z = z2. Montrer = Z(A.13 +D)Z =(A.+2a)~,~+(A.+b&)z; +(A-b&)z;. 3) En déduire que si A. > max (-2a,lbl&), alors 4 est un produit scalaire sur IR3. 4) Etudier la réciproque. D. Etude des points critiques d une fonction de deux variables Dans cette question, a = -1, b = 1 et A. = 2, de sorte que N = 21, +M (-1,l) = Pour tout couple de réels x et y, on pose U = xy, puis f (x, y) = 4 (U, U) = UNU. l Y l 1) Calculer explicitement f (x, y), puis vérifier que f est de classe C et admet exactement deux points critiques, que l on précisera. (On pourra remarquer que - ax af (x, y) = 2 (1 + y) (x + xy + y).> 2) A l aide du résultat de C.2), montrer que l un de ces points critiques - à préciser - correspond à un minimum global de f. 3) Vérifier que f (-2 + t, -1 + t) - f (-2, -1) - - 2t3. Qu en déduit-on pour l autre point critique? O Fin de l énoncé