Douala Mathematical Society : : Workbook-2c 2015 NOMBRES REELS 1) 1 1 4) )

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1 Douala Mathematical Society : : Workbook-c 0 NOMBRES REELS EXERCICE 0 Calculer ) 7 8 ) ) ) ) 6 6) 7) ) ) ) 7 9 ) 7 ) ) 7 7 ) ) 7 9 EXERCICE Calculer A 7 B a a a a C, 8 a a D a 7 a 6 a E a 7 F 7 7 G 8 7 H 8 8 a a 7 7 I J a a a K a a a L 0 M a a a Douala Mathematical Society : Workbook-Secondes C

2 EXERCICE Calculer a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) EXERCICE Calculer ( 0) ( ) ( ) A 7 6 ( ) 7 ( ) B ( ) ( ) a b C a D 0, E F k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) a b ( a)( b) 8 G 90 0 H 7 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome I v) w) x) y) z) , , 0, , ( ) 0 0 0, aa) bb) cc) 8 a b J a b 98 a 8 K , L 0 0,0 M b ab

3 0, N O 9 70 EXERCICE Calculer A B 8 C 7a D 0 0 E F 7 n n 9 9 P Q G a b a b a b H I 0 6 J n n ab ab a b a c a bc EXERCICE Vrai ou Faux? Justifier la réponse.. Un nombre décimal ne peut pas être un entier.. Un nombre décimal est un rationnel.. Un nombre décimal est un réel.. Un nombre irrationnel peut être un entier.. Un nombre entier relatif est un décimal. 6. L opposé d un entier naturel est un entier naturel. 7. L inverse d un entier autre que 0 est un décimal. 8. a b et b a sont deux nombres inverses. 9. l inverse d un rationnel non nul est un rationnel. K L R ,0 0,0 M 0,006 0,0 N O a a a a P Q R 8a b 6 ab ab c a b c a b c a b c 7 S a a, a 0; T a a a a Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

4 EXERCICE 6 Comparer ) et ) a et b 9 EXERCICE 7. Montrer que 0, est un nombre rationnel. Écrire M =8,... sous la forme d une fraction irréductible. EXERCICE 8 Effectuer les opérations suivantes sans avoir recours à une calculatrice et donner la réponse sous forme d une fraction irréductible ou d un nombre entier. ) ) ) ) ) 6) 7) ) 9) 0) ) 0 ),, ) ) ) 6 0 6) 7) 8) 0,0 9) 0 0) ) ) ) ) 0 ) ) 0 0 7) 8) 9) , 0 0, ) ) 0,0 ) ) ) ) ) 7) 7 0 8) 78 9) 786 0) ) ) Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

5 EXERCICE 9 Combien faudrait-il de chiffres pour écrire 0 0 EXERCICE 0 Simplifier un maximum les expressions suivantes. ) ) ) ) EXERCICE Démontrer les égalités ci dessous ) Pour tout x, on a 6x x 9 ( x )( x ) ) Pour tout x, x 8x ( x ) 7 ) Pour tout x, ( x )( x ) ( x ) 6 ) Pour tout x, ( x ) 9 ( x ) x ) Pour tout x, ( x )( x )( x ) x 7x 6 6) Pour tout x, x x x sous forme décimale? ) ) 9 8x 0 7) Pour tout x, x et x, on a x x x 8) 9) b b 0) Pour tout a et pour tout b, on a a ab b a ) Pour tout q, q q q q q EXERCICE Simplification avec l aide de valeurs absolues Pour a >, simplifier a a a a EXERCICE Soit n un entier, montrer que si n est pair alors n est pair. EXERCICE Soit x un irrationnel positif. Montrer que x est irrationnel. Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

6 EXERCICE Le nombre d or est le nombre : Vérifier les égalités suivantes : a) b) c) EXERCICE 6 Montrer que EXERCICE 7 Factoriser A x 9 (x 6) x ( x ) B x x x ( ) ( )( ) C x x x ( )( ) D x x x 0, ( ) 0, 7 (, ) E x x 0, F x x G x x 9 6 H 0 ( x ) x I x x J x x K x L x x 8 M x x x ( ) N (x ) x ( x) x x EXERCICE 8 O x ( x ) x P x ( x ) Q ( x) x R x x ( ) ( ) S x x x T x x x ( )( ) ( ) U x x x x 9 8 (7 )( ) V x ( x ) x( x ) x W x x 6 X x x 7 Y x x Z x x. Montrer que pour : n, n n n n n En déduire E u k EXERCICE 9 Montrer que * 9 9 est un entier EXERCICE 0 Montrer que Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

7 EXERCICE Démontrer que est irrationnel EXERCICE / Démontrer que les nombres suivants sont des nombres rationnels en les mettant sous la forme a où a st un nombre entier et b, un entier relatif non nul b a/, b/ - 0,8 c/, 0,7 d/ x 0,0 e/,0 f/ 0, 0,00 g/ - 7 h/ 0 x 0 - i/ 000 j/ 0, k/ 0,0 6, x 0² l/ 0,0 x 0- / Parmi ces nombres lesquels sont des nombres décimaux? Justifier la réponse en les mettant sous la forme a 0 p où a et p EXERCICE / Donner la notation scientifique des nombres suivants ainsi que l ordre de grandeur de ces nombres. a/, b/ 0,09 c/ 7, x 0 d/ 0 x 0 /Donner l ordre de grandeur du résultat des calculs suivants, puis effectuer les calculs et donner le résultat en notation scientifique, comparer à l ordre de grandeur trouvé précédemment. a/ 8,7 x 0,008 x 0,07 b/ 0,0 x 00 x 0 c/ 698, x,89 d/ 8,7 78,96 EXERCICE Donner l écriture fractionnaire irréductible des nombres rationnels suivants : a),6 b),67 c) 0,0006 d) 8, EXERCICE Déterminer si les nombres suivants sont premiers. S ils ne sont pas premiers, donner leur décomposition en produit de facteurs premiers EXERCICE 6 Démontrer que 8 et 0 sont deux nombres amiables EXERCICE 7 ) Décomposer les nombres suivants en produits de facteurs premiers : 6, 60 et. ) En déduire le plus petit multiple commun (souvent noté PPCM) à 6, 60 et. ) En déduire la simplification de : 7 B Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

8 EXERCICE 8 / Simplifier les fractions suivantes en décomposant le numérateur et le dénominateur en produit de facteurs premiers. Préciser les nombres décimaux / Simplifier les racines carrées suivantes en les décomposant en produit de facteurs premiers / Calculer, en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers, les PGCD suivants. PGCD ( 8 ; 7 ) PGCD ( ; 7 ) PGCD ( 7 ; 8 ) EXERCICE 9. Calculer la somme de entiers consécutifs. Que remarque-ton? (Faire plusieurs essais). Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de EXERCICE 0 Dans chacun des cas suivants, déterminer le(s) chiffre(s) a, b, c sachant que : / a est divisible par. / a est divisible par mais pas par 9. / bc est divisible par et par. EXERCICE Soit le nombre A = x x 7. / Vérifier que A possède diviseurs. / Trouver le plus petit entier naturel k tel que ka soit le carré d un entier. / Trouver le plus petit entier naturel m tel que ma soit le cube d un entier. EXERCICE. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter. Que remarque-t-on? (Faire plusieurs essais). Montrer que, pour tout réel x, on a a a ( a ) a a a Expliquer le résultat observé à la question. EXERCICE. Un nombre pair s écrit sous la forme.. Un nombre impair s écrit sous la forme... Montrer que le carré d un nombre pair est un nombre pair. Montrer que le carré d un nombre impair est un nombre impair. a) Calculer la somme de trois entiers impairs consécutifs. Le résultat est-il un nombre premier? (Faire plusieurs essais) b) Démontrer ce que vus avez observé à la question a). a) Développer et réduire l expression n n b) En déduire que tout nombre impair s écrit comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs. c) Appliquer ce résultat aux entiers, et 0. 8 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

9 EXERCICE. Déterminer le PGCD de 0 et 66. Calculer, puis simplifier les fractions suivantes : a. b. +. Ecrire les résultats suivants sous forme de multiplication de puissances de, et : 6 a. b. 0 EXERCICE Ecrire plus simplement : A x B x C x y yxy D x x EXERCICE 6 p q r Ecrire les nombres suivants sous la forme (0) ² 6 EXERCICE 7 Décomposer 00 en produit de facteurs premiers.. Ecrire tous les diviseurs de 00.. Compléter par un nombre entier : a) 00 est le carré d un nombre entier. b) 00 est le cube d un nombre entier. EXERCICE 8 a, b et c sont des nombres non nuls. Ecrire les nombres suivants sous la forme c a b A B a bc ² a b ca ab D a p q r a b c C EXERCICE 9 Démontrer que la somme d un nombre rationnel et d un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. EXERCICE 0 Soient x et y deux nombres rationnels strictement positifs tels que x et y soient irrationnels. Démontrer que x y est un nombre irrationnel. b 9 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

10 EXERCICE Soient a et b deux réels quelconques. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi?. Si a + b est rationnel, alors soit a est rationnel soit b est rationnel.. Si a + b est irrationnel, alors soit a est irrationnel soit b est irrationnel.. Si a est rationnel, alors sa partie décimale est rationnelle.. Si a est irrationnel, alors la partie décimale de a + b est irrationnelle.. Si la partie décimale de a est rationnelle, alors a est rationnel. EXERCICE Soient x et a deux nombres réels tels que a 0 et x a a. Démontrer que a a x a a et en déduire que x est du signe de a EXERCICE Soient x et y deux rationnels distincts tels que x et y soient irrationnels.. On considère les deux réels x y et x y. Montrer que leur produit est rationnel, leur somme irrationnelle. En déduire qu ils sont irrationnels.. Soient r et s deux rationnels. Montrer que r x s y est irrationnel.. Montrer par des exemples que x y peut être rationnel ou irrationnel.. Montrer que les réels suivants sont irrationnels. EXERCICE Soient x et y des réels, montrer que : ) x y x y x y ) xy x y EXERCICE Soit x, calculer E( x) E( x). EXERCICE 6 Soit x, comparer E( x ) et E( x). EXERCICE 7. Soit x alors E( x ) E( x).. ( x, y), x y E( x) E( y) EXERCICE 8 Calculer, pour m, n, EXERCICE 9 Montrer que pour x réel et n, on a 6 E n m E n m E nx E E( x) n Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

11 EXERCICE 0 Soit la fonction f définie par f ( x) E( x) E( x) Calculer f ( x) pour x 0, puis pour x,. En déduire que,0 ( ) ( ) x E x E x. EXERCICE x Résoudre l équation E x E EXERCICE Soient x et y deux réels quelconques.. Montrer, en utilisant l inégalité triangulaire, que x x y x y.. En déduire que x y x y x y. EXERCICE : Questions de cours : Soit A une partie non vide et majorée de R. Soit a un réel.. Quand dit-on que a est un majorant de A?. Quand dit-on que a est le plus grand élément de A?. Quand dit-on que a est la borne supérieure de A?. Quand dit-on que A est un intervalle?. Démontrer que si A est un intervalle majoré, non minoré, et si a est la borne supérieure de A, alors A =], a [ ou bien A =], a ]. EXERCICE Montrer, en utilisant la caractérisation de la partie entière, que pour tout 0 E( x) E( x) EXERCICE Soient A et B deux parties non vides et bornées de R telles que A B, montrer que sup A sup B et inf B inf A. EXERCICE 6 Soit x 0 un nombre réel tel que x. Posons x y. Calculer x y x et en déduire que y x EXERCICE 7 Compléter le tableau suivant : nombre valeur approchée à valeur approchée à notation scientifique à 0 près 0 près par défaut chiffres significatifs, ,9 0,96 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

12 EXERCICE 8 - QCM VRAI - FAUX Soient x et y deux réels quelconques. ) Si x y alors x ) Si 0 x y alors y. 0 y x. ) Si x y alors x y. ) Si x y alors x ) Si 0 x y alors xy. xy x y. EXERCICE 9 - QCM VRAI - FAUX On considère l ensemble A suivant : A n, n. ) L ensemble A est majoré. ) L ensemble A possède une borne inférieure finie. ) L ensemble A possède un plus petit élément. ) sup(a) = +. EXERCICE 60 - QCM VRAI - FAUX On considère l ensemble A suivant. n n A, n. ) L ensemble A est majoré. ) L ensemble A possède un plus grand élément. ) sup(a) =. ) est un minorant de A. EXERCICE 6 Soient A et B deux intervalles de R.. Montrer que A B est un intervalle.. Montrer que si A B est non vide, alors A B est un intervalle.. Montrer par un exemple que A B peut être un intervalle même si A B est vide. EXERCICE 6 Pour chacun des ensembles de réels suivants : a) n, n n e), n n n * n b), n n n f), n n n c) n, n g) m n *, m, n n m n d), n n. L ensemble est-il majoré? minoré?. L ensemble admet-il un plus grand élément? un plus petit élément?. Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure de l ensemble. h) i) m n *, m, n m n m n *, m, n m n Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

13 EXERCICE 6 Simplifier les expressions suivantes en montrant les étapes de simplification : A B C EXERCICE 6 Compléter le tableau suivant Nombre Valeur arrondie à Valeur Valeur approchée Valeur arrondie à Valeur arrondie chiffres approchée par par défaut à 0 - chiffres significatifs à 0 - près significatifs excès à 0 - près près 0 0 0,0 7, EXERCICE 6 Compléter le tableau suivant Nombre 9 0, , Valeur arrondie à chiffres significatifs Valeur arrondie à chiffres significatifs Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

14 EXERCICE 66 ) Le nombre 0 est-il premier? Justifier. ) Le nombre 07 est-il premier? Justifier. ) Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : A = B = 8 EXERCICE 67 ) Donner à laide de la calculatrice une valeur approchée de ) Simplifier ) Ecrire sous forme de fraction irréductible : EXERCICE 68 A A puis Développer A. Simplifier les expressions suivantes, en montrant les étapes de simplification : A= B= C = EXERCICE 69 ) Montrer que pour tout nombre a et b de IR on a l égalité suivante : ( a b ) = (a-b) ( a + ab + b ) ) Utiliser cette égalité pour factoriser ( x 8 ) EXERCICE 70 Ecrire A = 98 + sous la forme a b où b est le plus petit possible. Ce nombre est - il un élément de? EXERCICE 7 / Après avoir simplifier au maximum les nombres suivants, donner le plus petit ensemble auquel ils appartiennent. Donner aussi leur nature. a) 0,,0 b) / a) Donner un rationnel non décimal. b) Donner un réel non rationnel. c) Donner un décimal non entier. d) Donner un entier non naturel. c) 8 8 d) e) -8 - f) + - Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

15 EXERCICE 7 On donne, 0 x, 0 7, 8 y 7, 9, z,, t, Donner un encadrement à 0 près de x + y ;x y ; x y + z ; xy ; yz ; zt ; x ; y ; y z ; x ; y EXERCICE 7 Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont écrits en notation scientifique. Ecrire les autres sous forme scientifique. a) x0 d) 0, x 0 g) 6 x 0 b) 6, x 0 c),0x 0 e), x 0 f) 0,0 x 0 EXERCICE 7 / Après avoir simplifier au maximum les nombres suivants, donner le plus petit ensemble auquel ils appartiennent. Donner aussi leur nature. a),6 0,8 b) 6 0 c) - d) 7 / a) Donner un rationnel non décimal. b) Donner un réel non rationnel. c) Donner un décimal non entier et non rationnel. d) Donner un entier non naturel. e) Donner un irrationnel compris entre et. e) - 9 f ) Donner un entier relatif mais non naturel supérieur à l inverse de :. EXERCICE 7. Apres avoir simplifier au maximum les nombres suivants, donner le plus petit ensemble auquel ils appartiennent. Donner aussi leur nature. 0, 8 8 a) c) e),0 8 b) 7 6 d) 6 6 f) EXERCICE 76 Quelle est la nature du nombre réel suivant :? Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

16 EXERCICE 77 Compléter : a) [ - ; [ ] ; + [ = b) [ - ; 0 ] [ 0, ; [ = c) [ - ; [ ] ; + [ = d) ] - ; 7 [ ] ; [ = e) [ - ; 0 ] [ 0, ; [ = f) ] - ; 7 [ ] ; [ = EXERCICE 78 Compléter le tableau suivant en vous aidant de votre calculatrice 0 0, 0.8,9 0,99 0,0 a a² a a. Dans quelle situation peut-on dire que a>a²> a?. Dans quelle situation peut-on dire que a<a²< a? Classer les valeurs trouvées dans l ordre croissant. Dans quelle situation peut-on dire que a> a?. Dans quelle situation peut-on dire que a< a?.. 6 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

17 EXERCICE 79 Comparer les nombres suivants : a) et 9 b) et 6 c) et 0 En déduire une écriture simple de 0. EXERCICE 80 A est un nombre strictement négatif. Comparer dans chaque cas a et b.. a = A et b = A 8. a = A et b = 8 A. a = A et b = 6A EXERCICE 8 Dans chaque cas, a et b sont deux réels strictement positifs. Comparer A et B en étudiant le signe de A B.. A = ab + et B = (a + )(b + ). A = a b + b a et B =. EXERCICE 8 x désigne un nombre réel tel que x. A = (x )² et B = (x )². a) Factoriser la différence A B. b) En déduire le signe de A B et comparer alors A et B. EXERCICE 8 Soient a et b deux réels strictement positifs. Démontrer que a + b < a + b. EXERCICE 8 Ranger dans l ordre croissant a, a² et a pour a = et pour a = EXERCICE 8 x désigne un nombre réel tel que 0 < x <. Comparer les nombres ( x) et ( x). EXERCICE 86 Soit x un réel vérifiant x >. Préciser dans quels intervalles se trouvent : x ; x² ; x + ; x. 7 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

18 EXERCICE 87 Calculer la valeur absolue des nombres suivants : A = B = C = D = E = - F = - EXERCICE 88 x est l abscisse d un point M d une droite graduée. Les points A, B et C de cette droite ont pour abscisses respectives, - et. Traduire chacune des phrases suivantes à l aide d une valeur absolue et placer sur la droite les points M correspondants (une droite par question):. La distance OM vaut.. La distance OM est inférieure ou égale à.. La distance AM vaut 7.. La distance CM vaut et la distance AM est strictement inférieure à. EXERCICE 89 Justifier les égalités suivantes : a) ( )² = = b) = = EXERCICE 90 Trouver les réels x satisfaisant à la condition indiquée. a) x = b) x= EXERCICE 9 Caractériser à l aide de la notation valeur absolue l ensemble des réels x satisfaisant à la condition indiqué : a) x [ ; ] b) x ]- ; 9[ EXERCICE 9 a, b et c étant trois nombres réels, simplifier l expression : a b b c c a A a b c b c a c a b ab bc ca EXERCICE 9 x, y et z étant trois nombres réels, tels que xyz =, simplifier l expression x y z A xy x yz y zx z 8 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

19 EXERCICE 9 On pose X a b c d ; Y a b - c - d ; Z a -b c - d ; T a -b - c d Démontrer que si l on a ab( a b ) cd( c d ), on a aussi XY X Y ZT Z T ( ) ( ) EXERCICE 9 a, b, c, d, p, q, r étant six réels tels que pqr 0 Démontrer que si l on a p q r alors 0 p q r EXERCICE 96 Démontrer que a, b et c désignant trois nombres réels non nuls, on ne peut avoir que si deux de ces nombres sont opposés a b c a b c EXERCICE 97 Simplifier l expression a b c E ( a b)( a c) ( b a)( b c) ( c a)( c b) EXERCICE 98 On considère le produit P x p y p x p y p ) Développer ce produit. ) En supposant terminé. EXERCICE 99 x 0, y 0, p Calculer le nombre positif v tel que l on ait EXERCICE 00 Simplifier l expression EXERCICE 0 ab ( a b ) ( ab ) A a b ( a b ) a b, déterminer le nombre de zéros le nombre P est v (0, ) (0, ) et calculer sa valeur pour a 0, m et n étant deux entiers, positifs ou nuls, donner les différentes valeurs possibles de l expression : EXERCICE 0 A m n mn ( ) 7( ) 8( ) ( ) mn b 0 m et n étant deux nombres quelconques, comparer les nombres x m n et y m n EXERCICE 0 a et b étant trois réels strictement positifs tel que l on ait. Comparer a et b c. Comparer a et b c a b c 9 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

20 EXERCICE 0. Comparer les nombres et 0. Calculer la moyenne proportionnelle des nombres et 8 8 EXERCICE 0 On considère le nombre A 6 Calculer A et en déduire la valeur de A EXERCICE 06 Rendre rationnel le dénominateur du nombre EXERCICE 07 Simplifier le nombre EXERCICE 08 A. Rendre le dénominateur de la fraction A 6 ( n ) n n n, puis la mettre sous forme d une différence de deux fractions ayant toutes deux le nombre pour numérateur.. Calculer la somme EXERCICE 09 On désigne par a, b et m trois réels positifs tels que a b et m strictement positif Comparer les nombres A a m a et B b m b EXERCICE 0 Soit a, b, c, a, b, c des nombres réels strictement positifs. a b c Montrer que si l on a, on a aussi a ' b ' c ' aa ' bb ' cc ' ( a b c)( a ' b ' c ') EXERCICE Simplifier chacune des expressions suivantes :. A. B EXERCICE Calculer la valeur numérique de l expression y ( x ) x x pour. x. x 0 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

21 EXERCICE a et b étant deux réels strictement positifs, calculer la valeur de l expression a b x b a b x y pour x x EXERCICE On considère l expression y x x a. Sachant que x (a>0), calculer x, puis x 8 a. Exprimer y en fonction de a. Vérifier le résultat pour a = et pour a = 6 EXERCICE Démontrer que quels que soient les nombres réels x et y distincts et non nuls, on a : x y x y x y A xy x y x y EXERCICE 6 Déterminer a et b pour que le polynôme ( x ) ax bx puisse se factoriser, l un des facteurs étant EXERCICE 7 Factoriser le polynôme a d b e c P ax bx cx dx e en facteurs du second degré sachant que l on a EXERCICE 8 Déterminer les coefficients a et b pour que le polynôme autre polynôme. EXERCICE 9 Déterminer les coefficients a et b pour que le polynôme autre polynôme. x x ax bx 6 soit le carré d un x ax bx x soit le carré d un EXERCICE 0 Montrer que l expression A x y z x y z x y z x y z se réduit à un polynôme. EXERCICE Factoriser si possible les trois polynômes suivants : A x x ; B x x ; C x x Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

22 EXERCICE Développer le plus simplement possible les produits suivants. P( x) x x x x x x. P( x) x x x x x EXERCICE Etant donné le polynôme f ( x) x x x 7 Calculer f(), puis factoriser ce polynôme. EXERCICE Calculer la valeur du polynôme f ( x, y) x x y y x y xy pour du résultat obtenu, déduire la valeur du polynôme pour x et y 0 EXERCICE Simplifier l expression A ( yz zx xy) xyz x y z x y z x et y, puis, EXERCICE 6 Simplifier la fraction y x bx a( a b) b x ax a b EXERCICE 7. Décomposer en produit de facteurs l expression bc( b c) ca( c a) ab( a b) abc a. Application : calculer la valeur de l expression x b c, b y c a, c z a b EXERCICE 8 Soit l expression y x x x x x x. Déterminer l ensemble de définition de y. Simplifier y EXERCICE0 q q pq x x x x * Effectuer l addition y, ( p, q) q q pq ( x)( x ) ( x )( x ) EXERCICE x Calculer la valeur numérique de l expression y pour x x x EXERCICE Déterminer l ensemble de définition de l expression x x x A x x ( ) ( ) Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

23 EXERCICE On considère l expression y x x x x. Déterminer son ensemble de définition. Simplifier cette expression, en calculant d abord y. Vérifier le résultat obtenu dans les deux cas suivants : x, x EXERCICE Mettre les nombres réels suivants sous forme de fractions irréductibles EXERCICE Montrer que le réel est rationnel 6 7. Soit a et b deux réels strictement positifs, montrer que 9 a 6 b 6 a b EXERCICE 6 7 0,6. Montrer que le réel est rationnel 0, 6. Soit a, b, c et d quatre rationnels tels que d c 0, montrer que rationnel a c b 0,6 d 0,6 est Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

24 EXERCICE 7 Démontrer que si a et b 6 alors b a 0 ab EXERCICE 8 On donne a et b Encadrer ; ; ; ; a b a b a b a b EXERCICE 9 Résoudre dans les inéquations suivantes x.. x EXERCICE 0 Soit f la fonction définie sur par x f ( x) x Montrer que pour tout x, f ( x) EXERCICE Déterminer tous les triplets de nombres réels (a ; b ; c) tels que : a b c 00 Chaque nombre a, b et c est premier. b a et c b EXERCICE Montrer les égalités suivantes. x x x 9.. x pour tout réel x. x 8x x. 7. ( x )( x ) ( x ) 6 b b 6. a ab b a pour tous réels a et b 9 8x 0 7. x x x avec x et x q 8. Montrer que, q q² avec q q 9. Pour tout x, on a ( x ) 9 ( x ) x 0. Pour tout x, on a ( x )( x )( x ) x 7x 6 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

25 . Pour tout x, on a x x x EXERCICE Compléter les expressions suivantes : x... y... y... xy... x xy y... y 9x... x y ab b x x... y... y... xy... x xy y... y 9x... x y ab b x EXERCICE Comparer + 7 et EXERCICE Soit x un nombre réel strictement positif. On note A = x + x et B =. Comparer A et B. EXERCICE 6 Soient m et p deux nombres réels strictement positifs tels que : m < p.. Comparer m + et p +.. Comparer m + et EXERCICE 7 b est un réel tel que : < b < p +.. Donner un encadrement de b².. On se donne de plus le réel a tel que : < a <. Donner un encadrement de b a. EXERCICE 8 Déterminer si les nombres suivants sont premiers. S ils ne sont pas premiers, donner leur décomposition en produit de facteurs premiers. 7 ; ; 6 ; ; 7 ; 7 ; 6 ; 8 ; 0 ; 6 ; Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

26 EXERCICE 9 Ranger les nombres a, a, a dans l ordre croissant dans les deux cas suivants :. a =. a = + EXERCICE 0 La figure représente une pièce métallique percée. La somme des périmètres des deux cercles intérieurs est entre 87 mm et 90 mm.. a) Exprimer la somme des périmètres P(x) des deux cercles en fonction de x. b) Exprimer l aire A(x) de la pièce métallique en fonction de x.. a) Déterminer un encadrement de x par deux décimaux d ordre (c est à dire avec un chiffre après la virgule). Indication : utiliser le périmètre des deux cercles. b) Encadrer l aire par deux entiers. EXERCICE Simplifiez les expressions suivantes A B C D E 7 9 F 7 a H a a a 7 G EXERCICE ) Choisir trois chiffres distincts. Calculer leur somme s. ) Ecrire les six nombres possibles que l'on peut obtenir en permutant ces trois chiffres. ) Calculer la somme S de ces six nombres. Calculer le quotient de S par s. Recommencer deux fois avec trois autres chiffres. Que remarque-t-on? ) Démontrer le résultat conjecturé à la deuxième question. 6 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

27 EXERCICE Montrer que la somme d un nombre rationnel et d un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. EXERCICE Montrer que n est pas un nombre rationnel EXERCICE Calculer Montrer que En déduire l existence d irrationnels a, b > 0 tels que a b soit rationnel a, b, c, ab bc ca a b c EXERCICE 6 Montrer que u, v 0, uv u v EXERCICE 7 x, y et z sont des réels positifs ) Montrer que x y x y xy ) Montrer x y xy quand a ton l égalité? ) En déduire que ( x y)( y z)( z x) 8xyz EXERCICE 8 x et y sont des réels dont la somme est égale à ) Exprimer y en fonction de x et montrer que xy ) Montrer qu on a x y Comment faut il choisir x et y pour que cette inégalité devienne une égalité? EXERCICE 9 x et y sont des nombres strictement positifs. On considère les nombres les nombres a x, x x y b y et c y y x ) vérifier que x a et exprimer x et x à l aide de a x x x ) A partir du calcul de a et b, et abc, montrer que a b c ) Montrer que a et c vérifient a et c et en déduire que a b c et que abc 8 Est il vrai que a b c ) On suppose que 0, x 0, et y. Donner alors le meilleur encadrement possible pour a, b et c 7 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

28 EXERCICE 60 a et b sont des réels et c est un réel positif. Montrer que si a Montrer que si c et b c alors a b a b c a b a b c alors a c et b c EXERCICE 6 Représenter dans le plan muni d un repère orthonormal, les ensembles de points dont les coordonnées x et y vérifient : x et x x et y EXERCICE 6 ) Vérifier que, pour tout réel x et y réels, on a : x y xy ( x )( y ) et x y xy ( x )( y) x y ) On se place dans le cas où x et y Montrer que xy EXERCICE 6 Déterminer la nature des nombres suivants : A B C D 0, 00 E EXERCICE 6 Deux nombres a et b vérifient les conditions : a b et a b a) Calculer la valeur du réel ab. a et b sont-ils des entiers relatifs? b) Vérifier que les deux réels a et Vérifient les conditions imposées. b c) Utiliser la calculatrice pour donner les arrondis, notés a et b à d) L arrondi à 0 près de a b est-il égale à l arrondi à 0 près de 0 de a et de b. a ' b'? EXERCICE 6 Déterminer à quels intervalles appartiennent les nombres x, y et z sachant que : l arrondi de x à 0 près est,. la valeur approchée par défaut de y à 0 près est,. la valeur approchée par excès de z à 0 près est,0 8 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

29 EXERCICE On donne A et F 80 6 En utilisant la calculatrice, expliquer comment le résultat d une division permet de dire que E D et que F D. a. Montrer que E peut s ecrire sous la forme 0 n où a et n. Que peut-on en déduire pour E? a. Expliquer pourquoi F ne peut pas s ecrire sous la forme 0 n o`u a et n. EXERCICE 67 a et b sont deux nombres tels que a et b ) A quels intervalles appartiennent a et b? ) Donner un encadrement de a+b, a-b, a + b EXERCICE 68 Sachant que x et décimale de : x EXERCICE 69 a, b et c sont trois réels y y ) Montrer que y donner un encadrement à l aide de nombres décimaux à une a b c a b c bc ca ab x y ) Développer et réduire ( b c) ( c a) ( a b) En déduire que a b c bc ca ab 0 Dans quel(s) cas cette inégalité est elle une égalité. ) Montrer que a b c a b c Dans quel cas y a t- il égalité? ) On suppose que x, y et z sont des réels positifs. Montrer que EXERCICE 70 x y x y z x y z. Choisir deux nombres strictement positifs et vérifier que le quotient de leur produit par leur somme est inférieur au quart de cette somme.. Ce qui a été constaté sur un exemple est toujours vrai. ab a b En effet : démontrer que si a > 0 et si b > 0 alors on a a b. Dans quel cas a-t-on l égalité? ab bc ca a b c. En déduire que si a>0, b> 0 et c>0 alors a b b c c a 9 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

30 EXERCICE 7 Soit p le produit de quatre entiers naturels consécutifs : p n( n )( n )( n ) avec n ) Vérifier que : ( n )( n ) n( n ) ) On pose : a ( n )( n ) a ( n )( n ) Exprimer p en fonction de a. ) En déduire que p est un carré parfait. Rappel : Un carré parfait est le carré d un nombre entier. EXERCICE 7 On pose pour x réel : f( x) x x On définit ensuite : f( x) f( f( x)) f, x x x x x puis f( x) f( f( f( x))), f( x) f( f( f( f( x)))), etc Déterminer f (006) 006 EXERCICE 7 Démontrer que 8 0 ) Démontrer que pour tous réels x et y non nuls : x y x y xy xy n n n n ) Démontrer que pour tout entier relatif n et tout réel x non nul : x x x x EXERCICE 7 00 Soit f la fonction définie sur par : x ax bx cx ou a, b et c sont des réels donnés. si f ( 00) 00, peut on en déduire f (00)? (justifier!!) EXERCICE 7 ) Déterminer le nombre d' entiers premiers inférieurs à 0000 se terminant par? ) Déterminer le nombre d' entiers premiers inférieurs à 00 se terminant par? ) Peut-on trouver trois entiers premiers consécutifs? EXERCICE 76 Le nombre ci-dessous est-il entier? (justifier bien sûr!!) L Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

31 EXERCICE 77. Etablir pour tout entier naturel non nul p l égalité suivante : p p p( p ). En déduire la valeur de la somme suivante : S EXERCICE 78 Dans cet exercice, nous utiliserons le fait que tout entier naturel pair (resp. impair) s écrit sous la forme n (resp. n ) où n est un entier naturel. Démontrer les assertions suivantes :. La somme de deux entiers impairs est un entier pair.. Le produit d un entier pair par un entier impair est pair.. Le produit de deux entiers consécutifs est un entier pair.. La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de EXERCICE 79 Ecrire A sous forme de fraction irréductible. A. a. Montrer que A est une valeur approchée de 7 à 0 près. b. A est-il une valeur approchée de 7 à 0 près? EXERCICE 80.La somme de deux entiers consécutifs est-elle divisible par?. On considère trois entiers consécutifs quelconques. On note n le premier. Exprimer la somme de ces trois entiers en fonction de n et expliquer pourquoi elle est divisible par. n n n est divisible par 8.. Soit n un entier naturel impair. Expliquer pourquoi. a) Soit n un entier naturel, développer le produit n n En déduire une factorisation de E n n n ( ) b) Lorsque l on augmente de le produit de quatre nombres entiers consécutifs, obtient-on un carré parfait? EXERCICE 8 ) Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction pour obtenir le double de? ) Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction 7 pour obtenir l inverse de 7? Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

32 EXERCICE 8 Simplifier l écriture des nombres suivants, puis indiquer lesquels sont des nombres décimaux : ) ) ) a b c 0 6 EXERCICE 8 Pour chacun des nombres suivants, simplifier l écriture puis, en déduire le plus petit ensemble (,, ou ) auquel il appartient : A 6 B C D E 6 EXERCICE 8 F G H 8 8 I J Le réel a est-il solution de l équation x x?. Soit le réel b. Vérifier que b. b. L opposé du réel b est-il égal à l inverse du réel a? 60 0 K 0 6 M 9 EXERCICE 8 ) Montrer que pour tout entier naturel n, le réel n n est l inverse du réel n n. ) En déduire la valeur de A. EXERCICE 86. Soient a et b deux réels strictement positifs tels que a b. Ranger dans l ordre croissant a, b, leurs moyennes arithmétique m, géométrique m et harmonique m. a b m ; m a b ; m a b Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

33 x y z. Soient x, y et z trois réels, démonter que : x y z, z x y z EXERCICE 87. Soit x un réel strictement négatif. x x On pose : F( x) x x x a) Donner une écriture simplifiée de F( x ). b) Résoudre dans F( x) x. Résoudre dans R les inéquations suivantes. a) x x 0 b) x x x x c) 0 x EXERCICE 88 a b a b. x et y, exprimer x y en fonction de a et b.. x y a et xy b. Exprimer x y en fonction de a et b. EXERCICE 89 Écrire sans radical au dénominateur A 7 ) Simplifier l expression suivante : B ) En déduire que le triangle EFG dont les dimensions sont données ci-dessous est rectangle. EF FG = FG EG 6 EXERCICE 90. Simplifier les expressions suivantes : 7 7 A et B Comparer les réels suivants : C et D 8 0, E et F 6. Écrire les nombres suivants sous une forme plus simple : G 0 H 0 80 I J 0 80 Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome

34 EXERCICE 9. K 0, a) Préciser le signe de K. b) Écrire K sous la forme d un produit de puissance de nombres premiers.. Soit L a) Calculer L. b) Préciser le signe de L en justifiant votre réponse. c) Déduire de a) et de b) la valeur de L. EXERCICE 9 a) Étant donné a tel que : a. Montrer que a a est un entier. 7 7 b) Déterminer une expression algébrique P à coefficients entiers telle que P( a) 0: i) quand a ii) quand a c) Démontrer que les assertions suivantes sont vraies : i) Soient a et b deux réels tels que : 0 a b 9 ii) Pour tous réels x et y on a : x y x y.. Montrer que b a a b et en déduire que EXERCICE 9 Soient a, b et c des réels strictement positifs tels que abc et. Montrer qu aucun de ces trois nombres n est négatif.. Montrer que l un au moins est plus petit que. a b c. a b c Douala Mathematical Society : Workbook : Classes de c : Tome