Algèbre Lineaire (II)
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- Aurore Chevalier
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1 Résumé du cours Algèbre Lineaire (II) Table des matières I Les matrices 1 I1 Ensembles de matrices remarquables 1 I2 L opérateur L A 1 I3 Produit 2 I4 Inversibilité 3 I5 Lignes et colonnes 3 I51 Manipulations élémentaires 3 I52 Rang des lignes et rang des colonnes 4 I6 Matrices d applications linéaires 5 I61 Des vecteurs aux vecteurs colonnes 5 I62 Des endomorphismes aux matrices 5 I63 Composée et produit 7 I7 Changements de base 8 I71 Deux relations d équivalence sur les matrices 8 I72 Les matrices de passage 8 I73 Changements de base 8 I74 Deux applications de la réduction 9 I8 Le calcul du rang 9 Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C, et E sera un espace vectoriel sur K I Les matrices I1 Ensembles de matrices remarquables 1 L ensemble des matrices diagonales forme un sous-espace vectoriel de M n (K) de dimension n On le note D n (K) 2 L ensemble T + n des matrices triangulaires supérieures est un sous-espace vectoriel de dimension n(n + 1)/2 3 L ensemble S n des matrices symétriques et l ensemble A n des matrices anti-symétriques sont deux sous-espaces vectoriels de dimensions respectives n(n + 1)/2 et n(n 1)/2 Ils sont supplémentaires dans M n (K) I2 L opérateur L A Toute application linéaire de R p dans R n est l application linéaire canoniquement associée à une matrice Plus clairement, Proposition I1 Soient n, p N L application Ψ M n,p (K) L (K p, K n ) A L A est un isomorphisme de K algèbres On en déduit au passage que dim L (K p, K n ) = n p On peut caractériser ainsi les matrices triangulaires : Proposition I2 Soit A M n (K) A T n i [[1, n]], Vect (e 1,, e i ) est stable par L A i [[1, n]], Ae i Vect (e 1,, e i ) 1
2 D ailleurs, on peut enlever le cas i = n qui n amène rien à l affaire I3 Produit Définition I3 (Produit de Matrices) Soient n, p, m N, A M n,p (K), B M p,m (K) La matrice C M n,m (K) définie par la formule p i, j [[1, n]] [[1, m]], c i,j = a i,k b k,j, est appelée produit de A et B et notée A B, ou AB On définit ainsi une loi interne que M n (K) On peut tout de suite énoncer, car c est pour obtenir cette relation que nous avons construit ce produit : Proposition I4 Soient n, p, m N, A M n,p (K), B M p,m (K) Alors L A B = L A L B I na = AI p = A AB a sa j ème colonne nulle si la j ième colonne de B l est, et sa j ème ligne nulle si la j ième ligne de A l est A B = (AC 1,, AC n) où (C 1,, C n) sont les colonnes de B Si C et L sont un vecteur colonne et un vecteur ligne, CL M n est de rang 1 et LC n est rien d autre qu un réel AB BA, avec E 12 et E 11 L anneau n est pas intègre, avec le même exemple D ailleurs E 12 est nilpotente E ij E kl = δ jk E il Soit A une matrice carrée L A est un projecteur A 2 = A Soit A = ( a ij ) et D = Diag (d1,, d n) ALors DA = ( d i a ij ) et AD = ( dj a ij ) Vu en TD : le commutant d une matrice M est un sous-espace vectoriel de M n Il est égal à M n si et seulement si M est une homothétie, ie ssi M Vect I n Proposition I5 (Produit de matrices triangulaires) Si A, B sont deux matrices triangulaires, alors leur produit A B est aussi triangulaire supérieur dont la diagonale est (a 11 b 11,, a nn b nn ) Propriétés I6 (Associativité et commutativité) 1 La loi est associative : A(BC) = (AB)C 2 Sous réserve que les tailles de matrices soient adéquates, A(B + C) = AB + AC et (B + C)A = BA + CA 3 Sous les mêmes hypothèses, pour tout λ K, λ(ab) = (λa)b = A(λB) 4 La loi n est pas commutative Mais si A, B M n (K) et AB = BA, alors : n N, (A + B) n = k= n 1 CnA k k B n k, A n B n = (A B) A n 1 k B k k= Calcul des puissances de la matrice ( 1 ) Définition I7 (Polynômes de matrices carrées) Soit A M n (K) et P (X) = d k= a kx k K[X] On note P (A) la matrice P (A) = d a k A k = a I n + a 1 A + + a d A d k= 2
3 On dit que P est un polynôme annulateur de A lorsque P (A) = Remarque : Calcul de certaines suites récurrentes : Soient (x n) n N et (y n) n N deux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante : { xn+1 = 9x n 18y n y n+1 = 6x n +12y n avec x = 137 et y = 18 Il s agit de déterminer les termes généraux de ces deux suites en fonction de( n, et non plus ) 9 18 en fonction des termes qui les précèdent Traduisons ce problème en termes matriciels : en posant A =, 6 12 ( ) xn et U n = pour tout n N, on voit que la formule de récurrence croisée qui régit nos deux suites devient une y n formule de récurrence simple portant sur un vecteur de R 2 : U n+1 = AU n, pour tout n N On déduit aisément de ceci l expression de U n en fonction de A, de U et de n : U n = A n U Ainsi le calcul de U n se ramène à celui des puissances de A Nous verrons plus loin des méthodes pour calculer ces puissances Soit (x n) ( une suite ) vérifiant n( N, ) u n+2 = au n + bv n, où a, b C et b Cett relation est équivalente à 1 un X n+1 = X a b n, où X n = u n+1 I4 Inversibilité Définition I8 A M n (K) est dite inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n B est alors unique, et notée A 1 On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles Cas d une matrice carrée qui vérifie A 2 + A + 2I n = Théorème I9 Soit A M n (K) on a l équivalence entre toutes les propriétés suivantes : A est inversible L A est bijective ker A = {} Rang A = n det A Exemples de produits ( ): a b Une matrice M c d 2 (K) est inversible son déterminant est non nul Alors, ( ) 1 a b = 1 ( ) d b c d det A c a Soient A, B M n(k) deux matrices inversibles Alors leur produit A B est ausi inversible et Propriétés I1 (Le groupe linéaire) (A B) 1 = B 1 A 1 Muni de la loi, GL n (K) est un groupe, appelé groupe linéaire Il n est pas commutatif sauf si n = 1 Proposition I11 (Inversion de matrices triangulaires) Soit T = ( t i,j )1 i,j n T n + (K) Alors T est inversible i [[1, n]], t ii Si T GL n (K), alors T 1 T n + (K) et les coefficients diagonaux de T 1 sont les inverses des coefficients diagonaux de T I5 Lignes et colonnes I51 Manipulations élémentaires On sera souvent conduit à mutiplier une matrice A par une matrice inversible dès que l on s intéressera aux endomorphismes Le point essentiel de cette opération est qu elle préserve le rang Plus précisément : 3
4 Proposition I12 (Conservation du rang) Soit A M n,p Alors : 1 P GL n, ker ( P A ) = ker A 2 Q GL p, Im ( A Q ) = Im A 3 P GL n, Q GL p, Rang ( P AQ ) = Rang A Remarque : Rappelons quelques faits énoncés lors de la définition du produit matriciel Soit A M n,p Notons C j ses colonnes et L i ses lignes Les E i,j sont les matrices élémentaires, de taille convenable pour que les produtis que nous effectuons soient licites L Multiplication à gauche : E ij A = j, la ligne L j apparaissant à la i ème place Multiplication à droite : AE ij = (,, C i, ), la colonne C i apparaissant à la j ème place Rappelons que nous avons défini trois opérations élémentaires sur A lors de l algorithme de Gauss Définissons trois types de matrices simples : Définition I13 (de P ij, E i (α), E ij (α)) Soit i [[1, n]] et α K E i (α) = Diag (1,, 1, α, 1, 1) est la matrice identité où l on a remplacé le i ème coefficient par c sur la diagonale Soient i j [[1, n]] P ij est la matrice identité où l on a permuté les colonnes (ou les lignes) i et j Soient i j [[1, n]], α K E ij (α) = I n + αe ij Ces trois types de matrices sont inversibles et stables par passage à l inverse : E i (α) = E i (α 1 ), P 1 ij = P ij, E ij (α) 1 = E ij ( α) Faire des opérations élémentaires sur les colonnes de A revient à multiplier A à droite par une suite de matrices inversibles : Proposition I14 (Manipulation élémentaire et produit matriciel) Soit A M n,p (K) 1 Si A Ci Ci+αCj B, alors B = A E ji (α) 2 Si A Ci αci B, alors B = A E i (α) 3 Si A Ci Cj B, alors B = A P ij On obtient un résultat strictement indentique en remplaçant colonne par ligne et en multipliant A à gauche par les trois types de matrices définis ci-dessus Corollaire I15 (Invariance par manipulation élémentaire) I52 Les manipulations élémentaires sur les lignes et les colonnes d une matrice en conservent le rang Celles sur les lignes conservent de plus le noyau, et celles sur les colonnes conservent l image On en déduit de plus une nouvelle méthode de calcul de l inverse d une matrice Rang des lignes et rang des colonnes Propriétés I16 (Transposée) 1 t ( t A) = A 4
5 2 La transposée est linéaire 3 Pour tout A M n,p (K), B M p,q (K), t (AB) = t B t A 4 Si A est inversible, alors t (A 1 ) = ( t A) 1 Corollaire I17 Soit A une matrice n p Alors 1 A et t A ont même rang 2 A : R p R n est injective t A : R n R p est surjective 3 A : R p R n est surjective t A : R n R p est injective I6 Matrices d applications linéaires Tous les espaces vectoriels seront de dimension finie sur K Nous étendons les possibilités du calcul matriciel à l ensemble des applications linéaires de dimension finie Ces matrices dépendront fortement d une base choisie pour le calcul des coordonnées de vecteurs, et nous nosu attacherons à expliquer comment elle en dépend Gardons à l esprit qu une bonne définition de ces matrices doit respecter le morphisme déjà maintes fois utilisé : I61 Des vecteurs aux vecteurs colonnes Définition I18 Mat (f g) = Mat (f) Mat (g) Soit B = (e 1,, e n ) une base de E Pour tout X E, on appelle matrice-colonne des composantes de X dans B le vecteur où X = x k e k 1 Dans R 3, B = (( ) 1, Mat B (X) = ( ) 1 1, x 1 x n ( ) 1 ) 1,, et X = 1 M n,1 (K) = K n, ( ) 1 2, 3 2 Dans R n[x], B est la base canonique et P (X) = (X + 1) n Alors Mat B (P ) = 1 n n(n 1) 2 1 Il est clair que Mat B E K n dimension n X Mat B (X) est un isomorphisme de K espaces vectoriels de I62 Des endomorphismes aux matrices Enfin, nous pourrons faire de même avec les endomorphismes : Définition I19 (Matrice d endomorphisme) Soit B = (e 1,, e n ) une base de E, et f L (E) On appelle matrice de f dans la base B la 5
6 matrice carrée suivante : Mat B (f) = a 1,1 a 1,n M n (K), a n,1 a n,n où pour tout j [[1, n]], f(e j ) = a k,j e k La construction de cette matrice s effectue selon les colonnes La colonne 1 nous est donnée par l image du premier vecteur de B par f f : P R 3 [X] P (X + 1) R 3 [X] dans la base canonique B, puis la base B 1 = ( X(X 1), X(X 2), (X ) 1)(X 2) Même question ( ) avec g :( P R n[x] ) P R n[x] dans la base canonique x x + y Soit f : y z R 2 x z 2y 3z R 3 Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R 3 MORALITE : Dans le cours sur les applications linéaires, nous avions construit une application Nous venons maintenant de définir une nouvelle application L M n(r) L (R n ) A L A Mat B L (R n M n(r) f Mat B (f) Ce ne sont pas de trop mauvaises définitions puisqu elles sont réciproques l une de l autre si B est la base canonique de R n Ce qui signifie que la matrice de L A dans la base canonique est A et que l endomorphisme canoniquement associé à Mat B (f) est f : f L (R n ), L Mat B (f) = f, A M n(r), Mat B (L A ) = A (plus fondamentaux) 1 Soit E un espace ( vectoriel ) de dimension 2 et f L (E) nilpotente d indice 2 Alors il existe une base B de E où 1 Mat B (f) = Démonstration : L image de f est de dimension 1 (tiens, pourquoi?) Notons e 1 un de ses vecteurs non nuls, et e 2 un de ses antécédents Admettons temporairement que B = (e 1, e 2) ( est une) base de E 1 Alors f(e 1) = e 2 et f(e 2) = f 2 (e 1) =, ce qui signifie exactement que Mat B (f) = Il reste à prouver que B est effectivement une base : soiet x, y R tels que xe 1 + ye 2 = E, on compose par f et on trouve que xe 2 = E, soit x = que l on reporte Les projecteurs et les symétries admettent tous des bases dans lesquelles leurs matrices est diagonale, avec qui plus est des coefficients diagonaux réels qui vérifient x 2 = x pour les projcteurs et x 2 = 1 pour les symétries Etonnant, non? Proposition I2 Soit E un espace vectoriel de dimension n et f L (E) Alors, 1 f est un projecteur de E il existe une base B de E dans laquelle Mat B (f) = Diag (1,, 1,,, ) M n (K) 2 f est une symétrie de E il existe une base B de E dans laquelle Mat B (f) = Diag (1,, 1, 1,, 1) M n (K) 6
7 Nous poursuivons avec Propriétés I21 Soit E = (e 1,, e p ) une base de E Alors, l application est un isomorphisme de K algèbres De manière plus anecdotique, on peut aussi définir : Définition I22 Ψ L (E) M n (K) f Mat E (f) Soit B = (e 1,, e n) une base de E Pour toute famille F = (X 1, X p) de vecteurs de E, on appelle matrice des x 1,1 x 1,p composantes de F dans B le vecteur Mat B (X) = Mn,p(K), x n,1 x n,p où pour tout j [[1, p]], X j = x k,j e k Définition I23 (Matrice d une application linéaire) Soit E = (e 1,, e p) une base de E, et F = (f 1,, f n) une base de F, et fϕ L (E, F ) On appelle matrice de ϕ dans les bases E et F la matrice suivante : a 1,1 a 1,p Mat E,F (ϕ) = Mn,p(K), a n,1 a n,p où pour tout j [[1, p]], ϕ(e j ) = a k,j f k L application linéaire associée à l évaluation lagrangienne, qui conduit à une matrice de Van Der Monde Propriétés I24 Soit E = (e 1,, e p) une base de E, et F = (f 1,, f n) une base de F L application est un isomorphisme de K algèbres Ψ L (E, F ) M n,p(k f Mat E,F (f) I63 Composée et produit Proposition I25 Mat (f g) = Matf(x) = MatfMatx Exemple : M est la matrice d un projecteur ssi M 2 = M Proposition I26 rga = rgf Savoir interpréter les blocs de zéros ( comme ) des sev stables : La matrice d une appli est triang ssi A B les Vect(e 1, e k ) sont stables, A = ssi Vect(e C 1,, e k ) est stable par A 7
8 I7 Changements de base I71 Deux relations d équivalence sur les matrices Def de matrices semblables, de classe de similitude C M d une matrice M C In Le rang, la trace et le déterminant sont constants sur chaque classe de similitude, mais ne sont pas des invariants totaux (prendre I 2 et I 2 + N) Liens entre les Pusisances et les inverses Que signifie réduire une matrice Matrices équivalentes Le rang est un Invariant total (reporter la preuve), et on connait un beau représentant Le rang est invariant par transposition I72 Les matrices de passage Définition I27 Soit E un ev de dimension n et B, B deux bases de E On appelle matrice de passage de B à B et on note PB B = (a i,j) M n, où j [[1, n]], e j = n i=1 a ije i PB B = Mat B,B(Id) de calculs de P et P 1 dans les deux cas suivants : 1 B = ( i, j ) et B = ( i + 2 j, I 4 j ) 2 Deux bases de R 2 [X] : (1, X, X 2 ) et ( (x 1)(x 2), (x 1)(x 3), (x 3)(x 2) ) Proposition I28 Soient B 1, B 2, B 3 trois bases de E 1 P 1 1 = I n 2 P 2 1 P 3 2 = P P 2 1 GL n (K) et P 2 1 = (P 1 2 ) 1 Réciproquement, si on se fixe B, l application qui à B associe P est bijective dans Gl n, ie toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage I73 Changements de base Théorème I29 (de changement de base) Pour les vecteurs : Soit x E, X, X ses matrices coordonnées Alors X = PB B X Pour les endomorphismes : E, B, B dim E = n, f F (E), P = P B B Alors M = P 1 MP Pour les applications linéaires : E, F, E, F, dim E = p, dim F = n, f F (E, F ), P = P E2 E 1, Q = P F2 F 1, alors M = Q 1 MP Démonstration : Mat(x) = Mat(Id(x)) M = Mat(Id f Id 1 Tester la formule de changement de base sur l endomorphisme de dérivation discrète, en prenant la base canonique, et la base (1, X, X(X 1)/2, X(X 1)(X 2)/6) ( ) ( ) Montrer que Définition I3 (Réduire une matrice) 8
9 I74 Deux applications de la réduction 1 aux suites récurrentes 2 Aux systèmes différentiels linéaires 9
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