Unité 5 - Feuille d exercices Nom :

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1 Unité 5 - Feuille d exercices Nom : 5.0 Vocabulaire Compléter les diagrammes à l aide de crayons de couleurs. Cercle #1 En utilisant le cercle #1 de centre O, tracer : 1. un rayon OC en bleu; 2. un arc de cercle en jaune, et le nommer; 3. une corde en vert, et la nommer. Utiliser le cercle #2 de centre O pour les questions 5, 6 et Tracer en violet un segment de droite qui ne passe pas par le centre et dont ses extrémités sont situées sur le cercle. Quel autre nom peut-on donner à ce segment de droite? Corde Cercle #2 5. a. En orange, placer un point A sur le cercle et tracer le rayon, partant du point A et rejoignant le centre du cercle. b. Toujours en orange, tracer une droite perpendiculaire à ce rayon et passant par le point A. c. Quel autre nom peut-on donner à cette droite? Tangente d. Quel est le point de tangence? A 6. Tracer en brun une médiatrice du segment de droite tracé dans la question # 5. Mathématiques 9 e année -1-

2 Utiliser le cercle #3 de centre O pour : 7. tracer en rose un angle au centre et le nommer; Cercle #3 8. tracer en vert un angle inscrit et le nommer. Par quel arc cet angle est-il sous-tendu? Cercle #4 9. Utiliser le cercle #4 pour tracer en bleu trois angles inscrits sous-tendus par le même arc? En utilisant le cercle #5 de centre O, nommer : *** d autres possibilités existent 10. cinq angles inscrits; <AFE <ADG <DGE <AEG <ADE 11. quatre cordes; AE, EG, GD, ED 12. deux tangentes; LM, JK 13. une perpendiculaire; FE 14. trois angles au centre; <AOE, < AOF, <FOD 15. six rayons; AO, EO, DO, FO, IO, HO 16. deux points de tangence; E, F 17. un demi-cercle; FAE 18. trois arcs de cercle. AI, FI, DG, AFG Cercle #5 Mathématiques 9 e année -2-

3 Utiliser le cercle #6, où le point A est le centre du cercle, pour répondre aux questions suivantes. 21. Nommer tous les rayons. AC, AE, AD Cercle #6 22. Nommer toutes les cordes. BC, DC 23. Nommer tous les diamètres. DC 24. Est-ce que CB est une corde? Expliquer. Oui, le segment rejoint deux points sur le cercle. 25. Est-ce que EF est une corde? Expliquer. Non, le segment rejoint les deux points, mais, l un n est pas sur le cercle. 26. Est-ce que le segment AC est égal au segment AE? Expliquer. Oui, les deux sont des rayons. 27. Est-ce que le segment AD est égal au segment AE? Expliquer. Oui, les deux sont des rayons. 28. Est-ce que le segment BC est égal au segment AE? Expliquer. Probablement non, pas les deux segments sont des rayons. 29. Combien de diamètres passant par le point B peut-on tracer? Un seul. Mathématiques 9 e année -3-

4 30. Compléter les phrases suivantes à l aide des diagrammes proposés. a. BAD est un angle inscrit qui est sous-tendu par l arc BD. b. Soit un cercle de centre O, alors BON est un angle au centre qui est _sous-tendu par _l arc BN 31. Le point O est le centre du cercle; nommer : a. toutes les tangentes au cercle. DC, BC b. un rayon et une corde qui on un point en commun. BA, OB Mathématiques 9 e année -4-

5 5.1 Propriété #1 : L angle inscrit et l angle au centre 1. Étant donné un graphique qui montre la mesure d un angle au centre, déterminer la mesure de l angle inscrit sous-tendu par le même arc. AIL BAD a. 50 b Étant donné un graphique qui montre la mesure d un angle inscrit, déterminer la mesure de l angle au centre sous-tendu par le même arc. a. BAC 104 b. CAR 126 Mathématiques 9 e année -5-

6 3. Tracer un diagramme représentant un cercle et l angle au centre donné. Tracer ensuite l angle inscrit sous-tendu par le même arc (il n est pas nécessaire que le diagramme soit à l échelle). Nommer l angle inscrit et déterminer sa mesure. a. RAS 40 b. PEU 120 Réponses variées 4. Tracer un diagramme représentant un cercle de centre C et l angle inscrit donné. Tracer ensuite l angle au centre sous-tendu par le même arc (il n est pas nécessaire que le diagramme soit à l échelle). Nommer l angle au centre et déterminer sa mesure. a. OBU 35 b. NOM 180 Réponses variées Mathématiques 9 e année -6-

7 5. Déterminer les mesures des angles A, B et C si O est le centre du cercle <A = 44 <B = 88 <C = Julien est un courtier en immeubles. Pour son travail, il photographie des maisons de vente. Il y a deux mois, il a photographié une maison avec un appareil muni d un objectif donnant un champ de vision de 70. Aujourd hui, il veut rephotographier cette maison, mais il a oublié son premier objectif. Le seul objectif qu il a lui procure un champ de vision de 35. À quels endroits peut-il se placer pour photographier la maison dans sa totalité? Pourquoi as-tu choisi ces endroits? La mesure de chaque angle inscrit est de 35 ce qui correspond au champ de vision qu offre l objectif de son appareil. Tout point de la l arc à l extérieur de la maison peut donc être choisi, sous réserve des possibilités d accès et de la présence d obstacles visuels. Mathématiques 9 e année -7-

8 7. Après une panne de courant, Jacques aide sa mère à illuminer le panneau électrique. Le faisceau de sa lampe de poche fait un angle de 15 tandis que celui de la lampe de poche de sa mère fait un angle de 30. Utilise un schéma et détermine le meilleur endroit où Jacques doit se placer pour illuminer la même aire du panneau que l aire illuminée par la lampe de poche de sa mère. Jacques peut se placer sur n importe quel point de l arc MN. 5.2 Propriété #2 : L angle inscrit dans un demi-cercle 1. Dans les cercles suivants, le segment BC est un diamètre. Quels types d angles sont les angles BAC et BDC? Que représente l arc BC? a. b. L arc BC représente un _demi-cercle BAC est un angle au centre et il mesure 180 BDC est un angle inscrit et il mesure 90 parce qu'il est inscrit dans un demi-cercle. Écrit une phrase montrant la relation entre BDC et l arc BC. L arc BC est un demi-cercle et <BDC est un angle inscrit. L angle inscrit dans un demi-cercle est un angle droit. Mathématiques 9 e année -8-

9 2. Dans le cercle suivant, le segment ACB est un diamètre. a. Combien mesurent les angles ADB, AEB, AFB, AGB et AHB? Tous les angles mesurent 90. b. Que mesure l angle AIB? Pourquoi? Il mesure 90 parce qu il est inscrit dans un demi-cercle. 3. Quelle figure géométrique est représentée par le quadrilatère ABCD s il est inscrit dans le cercle de centre O. Expliquer. Le quadrilatère ABCD est un rectangle. Comme les diagonales sont deux cordes qui passent par le centre du cercle, elles sont aussi deux diamètres. Les quatre angles formés par les sommets du quadrilatère sont alors inscrits dans des demi-cercles et mesurent chacun Dans le cercle de centre O, OB = BC = 4. Déterminer AC au centième près. AC = 6,93 Mathématiques 9 e année -9-

10 5. Le triangle ABD est inscrit dans un demi-cercle. Si AD = 2 cm et DB = 6 cm, déterminer AB au dixième près. AB = 6,3 5.3 Propriété #3 : Les angles inscrits sous-tendus par le même arc 1. Étant donné le graphique d un angle inscrit, déterminer la mesure des autres angles inscrits. a. LAI 64 b. ABD Pour chacun des deux cercles, dessiner deux autres angles inscrits congruents à l angle inscrit donné. Réponses variées a. b. Mathématiques 9 e année -10-

11 3. Pour le cercle de centre O, déterminer les valeurs des angles a et b. <B = 28 <A = a) Quelle est la mesure de l angle J? Explique ton raisonnement. <FJG = 23 parce que les angles inscrits sous-tendu par le même arc sont congrus. b) Quelle est la mesure de l angle C? Justifie ta réponse. <FCG = 46 parce que l angle au centre est 2 fois l angle inscrit. 5. Trace un cercle, un angle au centre de 60 et deux angles inscrits sous-tendus par le même arc que l angle au centre. Indique toutes les mesures des angles. Diagrammes variés. <ADB = <AEB = 30 Mathématiques 9 e année -11-

12 6. Soit un cercle de centre C et de diamètre AB. La mesure de l angle inscrit ADE est de 14. Quelles sont les mesures des angles ACE et ABE? Dessine la figure. <ABE = 14 <ACE = Propriété #4 : La tangente au cercle 1. Si les droites BD et CD sont deux tangentes au cercle de centre A, déterminer la mesure de BDC. Expliquer le raisonnement. <ABD et <ACD mesurent 90 parce que les rayons sont perpendiculaires aux deux tangentes. <BDC = Quel nom donne-t-on au quadrilatère ABCD si les droites BD cercle de centre A? Expliquer le raisonnement. et CD sont tangentes au <ABD et <ACD mesurent 90 parce que les rayons sont perpendiculaires aux deux tangentes. <BDC = 90 C est un rectangle, mais AB=AC (rayons) alors le quadrilatère ABCD est un carré. Mathématiques 9 e année -12-

13 3. Soit le cercle de centre O et de rayon égal à 6. Si le segment AB est tangent au cercle et qu il vaut 10, déterminer la valeur de CB. CB = 5,7 4. Déterminer la mesure des segments AB et CB s ils sont tangents au cercle de centre O et de rayon 6 et si OB mesure 10. Que peut-on conclure de deux segments tangents à un cercle s ils sont issus d un même point? AB = 8 et BC = 8 Des segments tangents à un cercle issus d un même point sont congrus. 5. Le segment de droite AB est tangent au cercle au point A. Le diamètre AD mesure 7,3 cm. Si la longueur de AB est de 4,2 cm, quelle est la longueur de BD? Trace un schéma pour illustrer ta solution. Arrondis ta réponse au dixième de centième près. DB = 8,4 cm Mathématiques 9 e année -13-

14 5.5 Propriété #5 : La médiatrice d une corde 1. Dans le diagramme, le centre du cercle est à O et OP perpendiculaire à MN. Si PN= 3 cm, trouver : a. MP OP est une médiatrice donc MP = 3 cm b. MN 6 cm 2. Le centre de ce cercle est O, AB= 10, CD = 8 et OE CD. Déterminer les mesures suivantes : a. OD OD = 5 b. CE CE = 4 c. OE OE = 3 3. Soit un cercle de centre O, le rayon mesure 49 et OB = 15. Trouve, au dixième près, la longueur AB. BC = AB = 46,6 Mathématiques 9 e année -14-

15 4. Le centre du cercle est O, OP AB, AP = OP et AC a. Détermine la longueur de OA. OA = 8 b. Détermine la longueur de AP au dixième près. AP = 5,7 = 16. Déterminer la longueur de : c. Détermine la longueur de AB. AB = 11,4 5. Dans le cercle de centre O, OC = 17 m et AC = 30 m. Trouver BD. BD = 25 m 6. Dans le diagramme ci-contre, le centre du cercle est à A,, le triangle ADC est équilatéral et DB = 1. Trouver la longueur du rayon. AD est perpendiculaire à BC Rayon AC = 1 Mathématiques 9 e année -15-

16 7. Déterminer, au dixième près, la longueur du segment OC, si AD = 11, EO = 3 et AB = 10 dans le cercle de centre O. OC = 3,5 8. Le diamètre d un cercle est égale à 50 mm. Une corde mesure 14 mm. Quelle est la plus courte distance du centre C à la corde? Dessine un schéma pour expliquer ta solution. La plus courte distance est 24 mm. Mathématiques 9 e année -16-

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