Séminaire Henri Cartan

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1 Sémnare Henr Cartan H CARTAN Détermnaton des algèbres H (π,n;z 2 ) et H (π,n;z 2 ) ; groupes stables modulo p Sémnare Henr Cartan, tome 7, n o 1 ( ), exp n o 10, p 1-8 < 7_1_A10_0> Sémnare Henr Cartan (Secrétarat mathématque, Pars), , tous drots réservés Laccès aux archves de la collecton «Sémnare Henr Cartan» mplque laccord avec les condtons générales dutlsaton ( Toute utlsaton commercale ou mpresson systématque est consttutve dune nfracton pénale Toute cope ou mpresson de ce fcher dot contenr la présente menton de copyrght Artcle numérsé dans le cadre du programme Numérsaton de documents ancens mathématques

2 où ~ Sémnare H CARTAN, ENS, 1954/ DETERMINATION DES ALGÈBRES H*(03A0,n;Z2) et H*(03A0,n;Z2) ; GROUPES STABLES modulo p (Exposé de H CARTAN, ) 1- Mots admssbles ; opératons correspondantes Les mots sont formés avec les deux lettres C La hauteur dun mot est égale au nombre de lettres G fgurant dans c~ ; le degré de ~:~ se défnt par récurrence sur le nombre des lettres de ~ ; le degré du mot vde est 0, et on pose La dfférence entre le degré et la hauteur sappelle le degré stable par 6 Un mot admssble est un mot non vde qu commence par G et qu fnt Proposton 1- Sot 03B1 un mot admssble de hauteur n ; pour quun mot sot admssble de hauteur n+1, l faut et l sufft que 03B2 6(~) ~ k enter ~0 quelconque (cest évdent) at la forme Un mot admssble est de premère espèce sl ne se termne pas (à drote) par de 26 ; deuxème espèce sl ee termne A chaque sble 03B1, de premère espèce, on assoce une applcaton n et q désgnent la hauteur et le degré stable de 03B1 La défnton de de o( : se fat par récurrence sur la hauteur s o( est de hauteur 1 (donc cl = 6 ), est la suspenson 6 :TTS)Z~-~H~(TT,1;Z~) ; s o~ = 6(~) stable q, ~ ~ le mot admssble B étant de hauteur n et de degré est lapplcaton composée qu est défne pusque ~ est une opératon défne sur les éléments de ~2 ; or s k ~- 1, on a n+q 2, pusque le mot ~, r!~ -crémère

3 plcaton Théorème A chaque mot admssble 03B1, de deuxème espèce, on assoce une applcaton ~TT -~ H où n et q désgnent la hauteur et le degré stable La défnton de est encore récurrente : f(~~) est Inapplcaton ~Y~r -~ qu est défne pusque est défn sur lmage de ~IT par 6 (Exposé n 7, paragraphe S) récurrence se ensute dune manère évdente Proposton 2- Les applcatons f(03b1) sont lnéares En effet, la suspenson 6 est lnéare ; de plus, sur les éléments do degré )- 2 (et sur les éléments de stués dans lmage de?tt par 6 ), lapplcaton ~~~k est en vertu de la formule (3) ;de lexposé n 7, et du fat que 6 sannule sur les éléments décomposables 2- Les algèbres S(M(n)(03A0) Pour chaque enter n 1, on défnt un Z2-espace vectorel gradué comme sut: s cest la somme drecte dautant dexemplares de 03A0/203A0 qul Y a de mots admssbles de hauteur n et de premère espèce, et dautant dexemplares de 203A0 qul y de deuxème espace Chaque exemplare de TT/2TT (resp de dun degré égal au degré du mot c~ a de mots admssbles de hauteur n et est affecté qu lndexe Les applcatons lnéares f~) défnes c-dessus défnssent une- applcaton lnéare de pace vectorel dans qu conserve le degré Applquons à le théorème 2 bs de lexposé n 8 ; s n > 2 f se prolonge dune seule manère en un homomorphsme g ~ : -~ compatble avec les structures graduées et avec les pussances dvsées Pour n = 1, on peut applquer le théorème s les pussances dvsées des éléments de sont défne~ ce qu exge que TT= ~TI ~ OU, ce qu revent au même, 2TT = o Dans ce derner cas, on trouve un homomorphsme -~ observons dalleurs que =:Tr ~ gradué par le degré 1 2 fondamental : s n 2, lhomomorohsme g(n) est un somorphsme de lalgèbre S(M(n)(03A0)) sur lalgèbre H s de plus 203A0 = 0, g(1) est un somorphsme de S(M(1) (03A0)) sur H*(03A0,1;Z2) 3- Démonstraton du théorème fondamental Le rasonnement est analogue à celu de lexposé n 9, paragraphe 3, Il sufft donc de fare la démonstraton lorsque ff est un groupe cyclque nfn ou une pussance dun nombre premer S TT est cyclque

4 dordre pf ( p premer ~ 2 ), on a vu (Exposé n 9, paragraphe 3) que se rédut aux scalares ; or l en est de môme de, Il reste donc à examner le cas où TT est cyclque nfn ou dordre 2 Lemme 1- S TT est cyclque nfn ou dordre 2f, l exste un phsme S(M(2)(03A0)) ~ 03B2(2)(Z2(03A0)) qu, par passage à lhomologe, donne g(2) qu est un somorphsme S de plus cyclque ;1>1 r - te un homomorphsme ~ 03B2(1)(Z2(03A0)), compatble avec les pussances dvsées, et qu, par passage à lhomologe, donnc (1) un somorphsme Démonstraton du lemme 1 : l sufft de reprendre le lemme 1 de lexposé (degré 2), on a un homo morphsme de dans la bar constructon compatble n 9, qu est valable auss pour p = 2 S désgne le,rectorel, somme drecte de 17/2 TT (degré 1) et de 203A0 avec les pussances dvsées des éléments de degré par, et qu par passage a lhomologe donne un somorphsme Dans le cas partculer où 2TT= 0 ~ donc où T e st cyclque dordre 2 ~ sdentfe à S(M~), et on constate que lhomomorphsme ~ 03B2(1)(Z2(03A0)) est alors compatble avec lopératon p sur lélément de degré pour tous les degrés ~> 1 donc avec les pussances dvsées Dans le cas où TT est cyclque nfn, on a obtenu un homomorphsme de lalgèbre extéreure dans 03B2(1)(Z2(03A0)), qu envoe x dans la suspenson du générateur a de 03A0, et qu, par passage à lhomologe, donne un somorphsme Consdérons laconstructon acvclque E2(x,1)~P2(y,2), avec dy = x ; elle défnt un homorphsme spécal P?(y~2) 2014~ ~3~~(Z~(!T)) ~ compatble avec les pussances dvsées, et qu, par passage à lhomcloge, donne un somorphsme (cf théorème 5 de lexposé n 4) Or lmage de y sera 6 6 a, et cec prouve que cet somorphsme nest autre que g de Enfn, s est cyclque dordre 2f, on a déjà obtenu un homomorphsme (dfférentelle nulle) dans ~~(Z~(TT)), qu envoe x dans la suspenson du générateur a de et y dans la transpotence de a2f-1, cest-à-dre 2 6 (a2f-1) Cet homomorphsme, compatble avec les p:;lssances dvsées, défnt un somorphsme en passant à lhomologe On va consdérer une constructon acvclque (A,N,M), dalgèbre ntale - A = E2(x,1)~P2(y,2), doù lon dédure un homomorphsme spécal N " B ~2~~ ~ compatble avec toutes les pussances dvsées~ et qu, par passage à défnra un somorphsme Pour fabrquer N et M ~ on observe que A sécrt

5 et par sute on connaît une constructon acyclque ~~ ~ ntale A et dont fnale est avec dfférentelle nulle On a 6 x = v ~ y = (5 (a~ ) Donc lsomorphsme est ben g ~ Et cec achève la démonstraton du lemme 1 Pour prouver le théorème fondamentale l reste à passor de n à pour n ~ 2 Pour cela : Lemme 2- pour tout enter nb 1, l exste une constructon acyclque (sur le corps Z2 ) ayant comne algèbre ntale (avec dfférentelle nulle ), et comme algèbre fnale (avec dfférentelle nulle) ; et cette constructon satsfat à la condton suvante : les éléments de la base de M(n+1) se dédusent des éléments de la base de M(n) par ratons 6 2k, k 0 toutes les Démonstraton du lemme 2 : lalgèbre est le produt tensorel des algèbres de polynômes dvsées construtes sur les éléments de la base de M(n) Le lemme 2 résulte alors de la : Proposton 3- S x est de degré q 1, l exste une constructon acyclque avant comme algèbre ntale (dfférentelle nulle), lalgèbre fnale (dfférentelle nulle) est le produt tensorel et dont Démonstraton : le rasonnement c, comme le produt tensorel dej à été fbt plus haut : on doù sut la concluson Le lemme 2 étant mantenant prouvé, le théorème fondamental sen par récurrence sur n : on trouve des homomorphsmes -~ (Z2(03C0), compatbles avec les pussances dvsées ; par passage a loge, ls donnent des somorphsmes (en vertu du théorème 2 de lexposa n 2), j et lon vot de proche en proche que ces somorphsmes sont précsément les -- momorphsmes g~~ ~ car ls coïncdent avec sur la base de

6 - 4 - Structure ào lalgèbre de cohomologe H*(03A0,n;Z2) On exactement comme da,ns le cas où p est mpar (Exposé ; 1, paragraphe j) ; mcs, compte tenu dé ls, forme partculère du théorème fondamental pour p = 2, on trouve: 1 Théorème 2- Sot 1J (n) (TT) e SOIn*2 1- d :,u:«,nt dexemplares d,e gg]_j_à jr : àe mots admssbles do prap:1=l_gg - - a l ; ;z espèce et d e hauteur n, et d autant d exemplares fe Hom (2 TT, Z2) àe mots admssbles de deuxème e s pè c e gt d e n ; chaque sous-espace Hom(03A0,Z2), resp Hom (203A0,Z2), esà affecté _à undegré égal au degré du zol qu lndexe L somorphsme g (n) du théorème fondamental (valable pa;,r n à 2, et auss pour n = 1 lorsque 2 = 0 ) défnt, par dualté, F morphsme àe lalgèbre de cohomologe H*(W,n;Z ) sur lalgèbre symétrque É lbre de l espace vectorel gradué lff ~~~ (T)) 5- Schémas décrvent les mots admssbles Sot CK un mot a,dmssble Numérotons de gauche à drote, par enters 1, 2, ~, celles des lettres de c qu sont gj " ej à ~ ~ 2 Sot g j, le -ème dentre elles, et sot a le degré du mot ), obtenu en enlevant : mot 03B1 la lettre cz, et toutes celles qu sont à gauche de ce Alors 1;-1 xol; est de CM (3 degré 2a, et a est la dfférence des degrés stables lc = mots 1 1, fl 03B2 et f 1 ; le degré sta,ble change pas par G On défnt a pour tout 1 j 1, en convenant que 1à = 0 s =>s: plus que z nomore des lettres 2 fgurant Un qu ne content qv-e la lettre défnt donc a s: te = 0, az = C, o - - La sute ( a,, ) assocée %- un mot admsable àe hauteur n et Cle degré Stable q sa,tsfat aux condtons : (Il ny c, pas leu d écrre la condton (1) : a est par ou mpar) Récgroocnt, étant donnés n et q, boute sjte (a,,) satsfasant à ces ;:;n:>? - tons est assocée à un mot admssble de hauteur n et de degré stable 1,, ;:,fj c q mot est unque

7 , n - Démonstraton : pusque 2a_~~ > 1~ relaton () résulte du frt que a est le saut du degré stable Enfn, s a ~ 0, on a 03B1 =5 203B2, avec == et doù (v) Récproquement~ s des 0 vérfent () et (v)~ posons h, = a - 2a+1 0 ; h est le nombre des lettres 6 qu dovent rer entre o et dans le mot 03B1 cherche Cec détermne 03B1+1 03B1, à près qul reste à détermner le nombre h des lettres 5 venant à do o ; on a h = n+q - 2a1, qu est ben 1 daprès (v) Le degré stabl: q du mot c~ ans obtenu satsfat à () RemarQue : la connassance des enters h+1 ( 1), qu sont 0, détermne la sute des a la formule Autre remarque: pour que le mot cm assocé à une sute (a ) sot - deuxème espèce, l 1 c,ut et l sufft que le derner des a 1 / O sot ;Ù:f>? l - l- ; 6 - Groupes stables Sot p un enter premer S q (p-1)n, toute sute (a ) s«115é=-; 1 aux condtons (1), (), () du théorème 3 de lexposé n 9, satsfat auss à (v) ; l est de même pour p = Autrement dt, les sous-espaces Fl?((W) 2, en se référant ;v- théorème 2 des éléments de degré n+q ;;-; (%), pour un q donné (et premer donné) sont ndépendants Qc r dès uo n > q/(p-1) On les notera À (WjZ ) q P Observons de plus que V (M(n) ( TT) ) se rédut ll (Tr) s 1or 1; q on a donc des somorphsmes naturels +q n +q,, Ces dvers somorphsmes se dédusent les uns des autres suspenson (cf théorème 1 de n H ), Z p -espaces vectorels Aq sont les groupes stables Ils sont décrts par les sutes (a ) qu satsfont à (), (), () ; les détermne entèrement Proposton 4-- Sot b (resp bq) le nombre des mots admssbles (near des mots admssbles de premère espèce) de degré stable q ; cest dmenson de l espace vectorel A lorsque 03A0 est cyclque dordre pf (J :;sd:

8 Cherchons Ces formules, valables auss pour p = 2, devennent dans ce cas : Démonstraton : 03B8 p (t) est la somne des monômes tq attachés à toutes les sutes (a ) satsfasant à (), () Avec les notatons du paragraphe 6 de lexposé n 9~ on a Or les u ( 1) peuvent prendre ndépendamment les valeurs 0 et 1 ; :t les h ( > 2) peuvent prendre toutes les valeurs entères >r 0 que la somme de tous les monômes de la forme (4) est donnée la formula t~:;, Cette formule, étable en supposant p n :par, vaut en fat pour p = 2, le montre un calcul drect mantenant la -Zg (t~ correspondant aux mots admssble de premère espèce A toute sute (a) de premère espèce (sute satsfasons auxcondtons (), (), () du théorème 3 de lexposé n 9, et telles que le derner a non nul correspond une sute de deuxème espace,

9 obtenue on reraplagant par 1 le premer dos a nuls do la sute On en ausstôt que V (btq+btq+1) =03A3 b tq, autrement d t : (l+t)~_(t) = ~ (f) q~o ~ ~ q ~ Cec achève la démonstraton BIBLIOGRAPHIE Une parte des résultats de cet exposé a été étable, par une autre méthode, dans lartcle : JP SERRE, Cohomologe modulo 2 des complexes delenberg-madlane (Comm Math Helv 27, 1953, p ) On y trouve auss le calcul de la composante 2-prmare de lhomologe à coeffcents enters dun groupe cyclque, ans que des formules donnant les séres de Poncaré des espaces vectorels H* (03A0,n;Z2) pour 03A0 cyclque