Outils mathématiques Analyse de Fourier

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1 Outils mathématiques Analyse de Fourier E. Ouvrard PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT 19 septembre 2017 E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

2 1 Cas des signaux périodiques Mesures associées Décomposition en série de Fourier Termes à connaitre Du modèle mathématique à l étude physique Spectre 2 Cas des signaux non périodiques : Transformée de Fourier Transformée de Fourier Étendue temporelle/spectrale Quelques exemples E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

3 Cas des signaux périodiques Mesures associées E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

4 Cas des signaux périodiques Mesures associées Signal périodique Un signal s(t) est périodique s il se reproduit identiquement à lui-même au bout d une durée T, nommée période, indéfiniment. Période : T en secondes Fréquence : f= 1 T en s 1 ou en Hertz (Hz) Pulsation : ω= 2.π en rad.s 1 T Valeur moyenne : Valeur efficace : s(t) = 1 T. T 0 s(t).dt S eff = s 2 (t) Valeur efficace de la composante alternative : S eff(ac) = (s(t) s(t) ) 2 E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

5 Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

6 Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Décomposition en série de Fourier Toute fonction s(t) périodique, de période T= 1 f 0 peut s écrire sous la forme s(t)=s 0 + n=1 (a n.cos(2.π.n.f 0.t)+b n.sin(2.π.n.f 0.t)) Avec n entier S 0 = s(t) Forme alternative : s(t)=s 0 + n=1 A n.cos(n.ω 0.t+ϕ n ) E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

7 Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Termes à connaitre Tout signal périodique peut donc être vu comme une somme de signaux sinusoïdaux dont le signal de fréquence f 0 est nommé fondamental et les signaux de fréquence n.f 0 les harmoniques de rang n. La connaissance de l amplitude de l ensemble des harmoniques fournit le spectre du signal. E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

8 Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Du modèle mathématique l étude physique En théorie, la somme des signaux sinusoïdaux est infinie. En pratique, la connaissance des premières harmoniques (une dizaine) permet de bien décrire le signal. Voici en exemple la décomposition en série de Fourier s un signal créneau n Max = 1 n Max = 3 n Max = 7 n Max = 15 E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

9 Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Spectre Spectre en amplitude C est la représentation des amplitudes de chacune des composantes fréquentielles de rang n en fonction de la fréquence n.f 0 de cette harmonique, ainsi que de la composante continue A n f 0 3.f 0 5.f 0 7.f 0 9.f 0 f n Théorème de Parseval Pour un signal périodique décomposable en série de Fourier : - S 2 eff = S2 0 + n=1 S 2 n,eff E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

10 Cas des signaux non périodiques : Transformée Transformée de Fourier de Fourier f(t) est un signal temporel non nécessairement périodique. f(t) périodique f(t) non périodique f(t)= n=0.a n.cos(n.ω.t+ϕ n ) f(t)= 0.dA(ω).cos(ω.t + ϕ(ω)) Transformée de Fourier Pour une fonction f(t) non périodique dans le domaine temporel, la transformée de Fourier F(ω) est du type : F(ω)= 1 2.π. + f(t).e iωt.dt On a de même une relation entre ces deux grandeurs, nommée transformée de Fourier inverse : 1 + f(t)=. 2.π F(ω).eiωt.dω E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

11 Cas des signaux non périodiques : Transformée Étendue de temporelle/spectrale Fourier Largeurs spectrale et temporelle Pour un signal temporel d une durée d existence τ, la largeur spectrale associée ω est telle que ω.τ 2.π Étendue temporelle f(t) τ t Étendue spectrale a(ω) ω ω f(t) τ t a(ω) ω ω E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

12 Cas des signaux non périodiques : Transformée Étendue de temporelle/spectrale Fourier Quelques exemples f(t)=f 0.cos( 2.π.t T + ϕ) f(t) F(ν) t ν 0 ν 0 ν T 0 Avec ν 0 = 1 T 0 E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

13 Cas des signaux non périodiques : Transformée Étendue de temporelle/spectrale Fourier Quelques exemples f(t)=f 0 f(t) t F(ν) 0 ν E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

14 Cas des signaux non périodiques : Transformée Étendue de temporelle/spectrale Fourier Quelques exemples f(t)= τ 0 2 < t< τ 0 2 f 0 t > τ f(t) t F(ν) ν 0 = 1 T 0 ν τ 0 2.ν 0 E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

15 Cas des signaux non périodiques : Transformée Étendue de temporelle/spectrale Fourier Quelques exemples f(t) τ 0 T 0 t t< τ 0 f(t)= 2 f 0.[1+cos( 2.π.t T + ϕ)] t > τ 2 0 F(ν) ν 1 0 ν 1 ν 1 = ν 1 = 1 T 0 ν E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

16 Cas des signaux non périodiques : Transformée Étendue de temporelle/spectrale Fourier Quelques exemples f(t) f(t)=f(t+t)= t<τ 0 f 0 τ 0 < t<t 0 T 0 t F(ν) 0 ν 1 ν 2 ν i = i T 0 ν E. Ouvrard (PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT) Outils mathématiques 19 septembre / 14

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