Chapitre 2:Nombres complexes

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Amaury Bergeron
il y a 6 ans
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1 haptr :Nombrs complxs I Défnton t rprésntaton Défnton : Un nombr complx st un nombr d la form x+y avc x t y dux réls t un nombr magnar tl qu ² = - L nsmbl ds nombrs complxs st noté Ls règls d calcul dans sont ls mêms qu dans Théorèm (adms : On munt l plan d un rpèr orthonormal drct ( O, u, v tout pont M d coordonnés (x ; y, on assoc d manèr unqu l nombr complx x+y Récproqumnt, à tout nombr complx x+y on assoc d manèr unqu l pont M du plan d coordonnés (x ; y Vocabular : L plan mun du rpèr ( O, u, v st applé plan complx L nombr complx x+y st l affx du pont M t du vctur OM On écrt x y M OM L pont M st l mag du nombr complx x+y S = x+y avc x t y réls alors : x st la part réll d, noté R( y st la part magnar d, noté Im( x+y st la form algébrqu d Tout pont sur l ax ds abscsss st l mag d un nombr complx d la form x 0 x Donc on a L ax ds abscsss st l ax rél Tout pont sur l ax ds ordonnés st l mag d un nombr complx d la form 0 y y L ax ds ordonnés st applé ax ds magnars purs Exmpl : ( ; ( ; ( ; D (

2 haptr : Nombrs complxs Théorèm : Dux nombrs complxs sont égaux ss ls ont la mêm part réll t la mêm part magnar Un nombr complx st nul ss sa part réll t sa part magnar sont nulls Défnton : On consdèr un nombr complx d form algébrqu x+y L nombr complx x-y, noté st l conjugué d M ( st l symétrqu d M ( par rapport à l ax ds abscsss II alculr dans Somm t produt Défnton : On consdèr dux complxs t d forms algébrqus rspctvs x+y t x +y La somm d t d st l complx + = x+x +(y+y S k st un rél, alors l produt d k par st l complx k = kx + ky L produt d t d st l nombr complx = xx -yy +(xy +yx Exmpls : = + 5 (- + 7( - = ² = 4 + = + Rmarqus : Dans l plan complx, on consdèr M ( t M ( On défnt l pont S par OS OM OM lors l affx d S st + Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns

3 haptr : Nombrs complxs Pour k rél non nul, M (k st l mag du pont M par l homothét d cntr O t d rapport k car : OM kom R ( st l mag d M par la rotaton d cntr O t d angl car OM OR x( y yx 0 t OM x² y² ; OR ( y² x² donc OM = OR Proprétés : Pruv vc ls notatons habtulls : ; w t w t S I st l mlu d [] alors ; kw k w I S G st l barycntr d ( ;,( ;,( ; alors G Quotnt Défnton : On consdèr un nombr complx non nul d écrtur algébrqu x+y On chrch un complx tl qu = On rmarqu qu : ( x y( x y x y x y lors donc x² y² Défnton : ( x² y² 0 car non nul x y x² y² Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns

4 haptr : Nombrs complxs On consdèr t dux complxs avc non nul x y On pos t x² y² Exmpl : alors 4² Proprété du conjugué d un complx Proprété : Pour tous complxs t d forms algébrqus = x+y t = x +y : ; R( x ; Im( y ; x² y² ; ; s st non nul st rél ss ; st magnar pur ss III Modul t argumnts Défnton : On consdèr un nombr complx non nul affx d un pont M dans l plan mun d un rpèr orthonormal drct ( O, u, v S M a pour coordonnés polars ( r,, alors r st l modul d noté t st un argumnt d noté arg On a = r = OM t arg = = ( u, OM ( Rmarqus : S = 0 alors OM = 0 donc on pos 0 = 0 mas 0 n a pas d argumnt S st rél, alors son modul st sa valur absolu M OM Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns 4

5 haptr : Nombrs complxs Exmpls : ( ; ( ; ( arg ; ; ² ² 8 arg( ; arg arg 0 ( ; arg arg( ( 4 M cos sn alors cos sn cos ² sn ² Donc M st un pont du crcl trgonométrqu t argcos sn ( Théorèm : Pour tout nombr complx non nul dont l mag M a pour coordonnés cartésnns (x ; y t pour coordonnés polars (r ;, on a : r x² y² x rcos équvaut à y rsn x y cos t sn r r Form algébrqu : x y Form trgonométrqu : r(cos sn Exmpl : Sot Trouvons un form trgonométrqu d alcul du modul d : 9 9 lors cos sn On a arg ( Théorèm : Pruv Un nombr complx st nul ss son modul st nul Dux nombrs complxs non nuls sont égaux ss ls ont l mêm modul t l mêm argumnt modulo Proprétés : Pruv Pour tous complxs t non nuls : t arg( arg arg ( n n Pour tout ntr naturl n : t arg( narg ( n Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns 5

6 haptr : Nombrs complxs t arg arg ( t arg arg arg ( IV Equatons du scond dgré à coffcnts réls Théorèm : Pruv 4 On consdèr a, b t c ds réls avc a 0 On pos b² 4ac st l dscrmnant du trnôm du scond dgré a² + b + c où st un nombr complx S > 0 alors l trnôm a dux racns rélls dstncts : b b t a a S = 0 alors l trnôm a un racn réll : b ( racn doubl a S < 0 alors l trnôm a dux racns complxs : b b t ou st un complx dont l carré st t sont complxs a a réls t conjugués Exmpl : On vut résoudr l équaton ² 5 0 dans On calcul l dscrmnant L équaton a dux solutons : 59 t V Notaton xponntll d un nombr complx Motvatons : On not la foncton défn sur par ( cos sn Pour tous t réls : cos sn ( a pour modul t pour argumnt ( a pour modul t pour argumnt lors ( ( a pour modul t pour argumnt Donc ( ( cos sn Donc ( ( En supposant qu l on put dérvr sur comm s ll état à valurs rélls, pour tout rél : ( sn cos cos sn ( Donc vérf l équaton dfférntll f f s dux ponts nous poussnt à adoptr la notaton suvant : ( avc ( 0 donc ( cos sn Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns

7 haptr : Nombrs complxs Défnton : Pour tout nombr complx non nul d modul r t d argumnt, on pos : r(cos sn r : notaton xponntll d Exmpls : cos sn cos sn ou ncor 0 : formul d Eulr Rmarqus : La notaton xponntll prmt d rtrouvr ls formuls d addton t d duplcaton vus n trgonométr En fft pour tous t réls : ( addton duplcato n cos Rcos sn cos sn cos cos snsn On a ls égaltés : ( ( Exmpls : n n cos sn cos( sn( cos ² cos sn ² sn ² cos ² sn ² cos sn Donc cos( cos ² sn ² t sn( cos sn cos( x cos ² x sn ² x VI pplcaton à la résoluton d problèms géométrqus rgumnts t angls orntés Proprété : Pruv 5, t sont ds ponts du plan dstncts dux à dux d affxs rspctvs, t arg u, Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns 7

8 haptr : Nombrs complxs arg, Rmarqus :, t (dstncts sont algnés ss arg 0, t (dstncts, ( t ( sont prpndculars ss arg M ( appartnt au crcl d cntr En fft : utrmnt dt M r, u, M arg( ( r r r avc t d rayon r ss 0; Exmpl : ( ; ( ; lors, arg arg arg Transformatons plans Théorèm (translaton : Pruv On consdèr M (, M ( t (b L égalté b équvaut à dr qu M st l mag d M par la translaton d vctur O b st l écrtur complx d ctt translaton Théorèm (homothét : Pruv 7 On consdèr M (, M (, t k un rél non nul L égalté k équvaut à dr qu M st l mag d M par l homothét d cntr t d rapport k k st l écrtur complx d ctt homothét Exmpl : ( L homothét d rapport t d cntr transform M ( n M ( tls qu : Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns 8

9 haptr : Nombrs complxs Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns 9 ( ( ( L mag d 7 ( K st l pont d affx 5 4 (7 Théorèm (rotaton : Pruv 8 On consdèr M (, M (, t un rél L égalté équvaut à dr qu M st l mag d M dans la rotaton d cntr t d angl st l écrtur complx d ctt rotaton onséquncs : st un trangl équlatéral ss a pour mag dans la rotaton d cntr t d angl, ss OU a pour mag dans la rotaton d cntr t d angl, ss st rctangl t socèl n ss a pour mag dans la rotaton d cntr t d angl, ss

10 haptr : Nombrs complxs a pour mag dans la rotaton d cntr t d angl, ss Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns 0

11 haptr : Nombrs complxs Très mportant t à rtnr Pour tout nombr complx, st toujours postf t 0 0 S st un nombr rél, alors l modul d coïncd avc la valur absolu d S st un magnar pur, alors l modul d st égal à la valur absolu d sa part magnar S M st l pont d affx, alors OM S st un nombr complx non nul d form trgonométrqu r (cos sn, alors r Pour tout rél, t arg( Pour tous réls t t pour tout ntr naturl n, on a : ( n 4 5 n ( ( Pour tout rél, on a la formul d Eulr : cos t sn Sont t dux nombrs complxs non nuls d forms xponntlls r t r t sot n un ntr naturl non nul lors : r r ( rr n n n r r r r ( ( Formul d Movr (cos sn n cos( n sn( n Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns

12 haptr : Nombrs complxs Exrcc d applcaton Détrmnr l nsmbl ds ponts M du plan dont l affx vérf : 5 Sot l pont d affx 5 lors, pour tout nombr complx, 5 Donc : 5 M On n conclut qu l nsmbl ds ponts M répondant à la quston st l crcl d cntr t d rayon En dédur l nsmbl ds ponts M du plan dont l affx vérf : 5 5 M l nsmbl ds ponts M répondant à la quston st l dsqu d cntr t d rayon Détrmnr l nsmbl ds ponts M du plan complx dont l affx vérf : Il faut tout d abord élmnr l pont d affx, car pour ctt valur d l quotnt précédnt n xst pas Ensut, pour tout, on put écrr : En applant l pont d affx, la drnèr égalté équvaut à : M = M On n conclut qu l nsmbl ds ponts M chrché st la médatrc du sgmnt [] prvé évntullmnt du pont qu a été xclu dès l début Mas comm, l nsmbl ds solutons st tout la drot Exrcc d applcaton Sont t alculons arg(, arg(, arg( t arg : omm ² ², alors arg( 4 D mêm ( lors : cos sn D où 4 4 cos( sn( D où arg( t qu 5 arg arg( arg( Il n découl qu arg( arg( arg( Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns

13 haptr : Nombrs complxs Ls calculs précédnts prmttnt alors d calculr l cosnus t l snus d t d 5 Pour cla, l sufft d détrmnr ls forms algébrqus t trgonométrqus d t d : omm t qu arg(, alors la form trgonométrqu d st : cos sn Mas sa form Par dntfcaton, on algébrqu st obtnt alors : cos t sn En suvant la mêm démarch, on a : ( ( ( ( conclut alors qu 5 cos 4 t qu 5 5 cos sn d un part t d autr part En dntfant, on 4 5 sn alculons n détrmnant son modul t un d ss argumnts : 4 t arg( arg( ( Donc : 4cos sn 4 Hugus SIL ours Nombrs complx pour Préparaton aux concours ds Ingénurs Statstcns

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