( ) 1 D. PINEL, Site Mathemitec : Terminale S Nouvelle Calédonie, Mars 2009 Sujets de Bac

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1 zd ( ) = + i D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Nouvelle Calédoie, Mars 009 Sujets de Bac

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4 Nouvelle Calédoie, Bac Mars 009 Corrigé (ou élémets seulemet ) Exercice a La rotatio de cetre A() et d agle π π i a pour écriture complexe z ' e ( z ) = π i π π Or e = cos( ) + isi( ) = + i doc l image de B(+4i) a pour affixe zb ' = + + i ( + 4i ) = = + i ( ) doc D est ie l image de B Ue rotatio est ue isométrie, cad que c est ue trasformatio qui coserve les logueurs : cosidéros le cercle de cetre A et de rayo AB Comme r est ue isométrie et qu elle evoie A sur A et B sur D o a AB=AD Aisi, B et D sot sur ce cercle a L homothétie de cetre B(+4i) et de rapport L image F du poit A() a doc pour affixe F ( ) ( ( )) zc + zd Le milieu de [CD] a pour affixe = = i c O a + = + a pour écriture complexe z ' ( 4i) ( z ( 4i) ) z = + 4i i = = i ( ) ( )( ) z ( ) C z + i i F i i i = = = = = i O a doc i π i = e z z ( i) + i + i i A F ( )( ) Passos à l argumet l égalité démotrée ci-dessus, il viet : ( FA, FC ) = ( π ) à (CD) Reste à vérifier que (AF) passe par le milieu de [CD] : comme c est F, c est évidet! π doc (AF) est perpediculaire Doos-ous doc les poits A, B et F > Pour costruire D, rie de plus simple : d après la questio a, o trace le cercle de cetre A et de rayo AB Notos B le symétrique de B par rapport à A Comme D est l image de B par la rotatio d agle π et de cetre A, o a (, π AB AD) = ( π ) Pour tracer cet agle, o peut placer le milieu J de [AB ], sa perpediculaire passat par J et o otiet deux poits d itersectio avec le cercle π π D est le poit tel que ( AB, AD) = ( π ), l autre état le poit M tel que ( AB, AM ) = ( π ) > F état le milieu de [CD], o place esuite le symétrique de D par rapport à F pour oteir C Exercice 4 a Ces poits détermiet u uique pla ssi ils sot o aligés O a AB 0 coliéaires (coordoées o proportioelles) doc les poits e sot pas aligés et 4 AC 0 : ces vecteurs e sot pas 4 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Nouvelle Calédoie, Mars 009 Sujets de Bac

5 Soit 6 : ce vecteur est ormal au pla ssi il est orthogoal à deux sécates Les droites (AB) et (AB) état pas 4 parallèles, elle sot sécates doc il suffit de vérifier que 4 4 est orthogoal à AB et AC O a 6 AB = = 0 et 6 AB 0 = = 0 d où le résultat cherché c Les poits A, B et C défiissat u uique pla, il suffit de vérifier que chacu de ces poits vérifie l équatio x + 6y + 4z = 0 (je vous laisse le faire) Remarque : e fait, le pla ci-dessus admet pour vecteur ormal doc il suffit de vérifier qu u seul de ces poits est das ce pla car il existe u uique pla de vecteur ormal doé passat par u poit A d A l aide la formule rappelée das l éocé, o a a Soit x = + t D : y = t, t R 5 4 z = + t 9 δ E / 9 = = = D admet le vecteur pour vecteur directeur, doc aussi le vecteur 4 ) : D est doc orthogoale au pla (ABC) Preos t = : o otiet comme poit de 6 (o a multiplié les coordoées par 4 x = = 4 D : y =, t R cad E! Doc E est u poit de D 5 4 z = = Par défiitio, G est le poit d itersectio de la perpediculaire à (ABC) qui passe par E, cad de D et (ABC) Résolvos le système 4 / G / x = + t x = + t 4 x t = + x y t y t = = = y = t D : 5 4 z = + t z = + t y = z = + t z = x + 6y + 4z = 0 ( + t) + 6 t t = 0 t = 9 c La distace etre E et la pla est (justemet ou doc) la logueur EG = + ( ) + = = avec = = comme e d! doc 5 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Nouvelle Calédoie, Mars 009 Sujets de Bac

6 Exercice a D après l éocé, a = doc = Dressos u arre podéré : D après la formule des proailités totales, o a 5 a = p A = p A A + p A A = + = 4 8 ( ) ( ) ( ) = = 8 Par coséquet p ( A ) Dressos ecore u arre : D après la formule des proailités totales, o a A + a+ = p ( A + ) = p ( A A + ) + p ( A A + ) = a + = a + ( a ) = + a a Soit U 4 = a : U+ = a+ = + a = + a = + a = + a = U Elle est doc géométrique de raiso ¼, et de premier terme U = a = = 6 Par coséquet, U = 6 4 c Comme < <, o a 4 et comme a = U + o a lim = 0 et doc lim a = a = 6 4 d O cherche tel que a = > < < 6 c ( ) l < l(6 c) l(6 c) comme l(05)<0, o otiet > doc dès = 6 l 4 a = a A A 4 4 c A A A + A + A A A A A l ր et Posos ( ) ( ) f x = + x e x Exercice 4 a Ue expoetielle est toujours positive doc f(x) est du sige de +x cad f(x) > 0 ssi x > - (doc égative sio) > O a lim e x = + doc par produit de limites lim f ( x) = x x > O a lim xe 0 x + x = (croissace comparée), o otiet somme de limites ( x x f x e xe ) lim ( ) = lim + = 0 c f est dérivale sur R comme produit de foctios dérivales et o a '( ) ( )( ) ( ) f est doc du sige de -x et o a : x f (x) f (x) ր ց - 0 x + x + f x e x e e x xe x x x x = + + = = 6 D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Nouvelle Calédoie, Mars 009 Sujets de Bac

7 - - y x Posos I = f ( x) dx a La coure suggère que f(x) > pour tout x > - Vérifios cela : o a f(-) = 0 > pour x ] ;0[, f croit et comme f s aule e -, f est strictemet positive sur et itervalle > pour x [0; ], N f décroit, ted vers 0 doc elle est aussi miorée par 0 (strictemet) > aisi, pour tout x ] ; [, f(x) > 0 doc par - -4 itégratio sur cet itervalle I = f ( x) dx > 0 Remarque : o peut aussi parler d aire géométrique d u domaie, doc l itégrale est positive O a Chasles I = f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx = I + f ( x) dx + Par les mêmes argumets, I I > + + f ( x) dx > 0 doc u = + x u ' = a Posos x v ' = e v = e x Par itégratio par parties, o trouve : (foctios dérivales de dérivées cotiues) Pour a = - et =, o otiet I = f ( x) dx = e e ( + ) x x a x f ( x) dx = ( ) ( ) ( ) a + x e a e dx = + a e + e + e a a a a a = ( + a) e ( + ) e + e e = e ( + a) e ( + ) c Comme lim e = 0, o a lim I = e + + d La foctio f état cotiue et positive sur [- ;] pour tout etier aturel, I correspod à l aire géométrique du domaie situé etre la coure et l axe des ascisses pour x das [- ;] Aisi, quad ted vers +ifii, ce domaie deviet «ifii» (cad o oré) mais il admet pourtat ue aire fiie, e (ua)! ( ) = + α = + α = 0 α = α α α 4 Résolvos l équatio f x dx e e e ( ) e e ( ) Ceci dit, ce calcul itégral correspod au calcul de l aire (géométrique) du domaie ci-dessous y x - Itégrale =, D PINEL, Site Mathemitec : Termiale S Nouvelle Calédoie, Mars 009 Sujets de Bac