Partie I - Suites et intégrales

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1 SESSION 16 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE MP I.A - Étude d ue itégrale à paramètres Partie I - Suites et itégrales I.A - 1 Soit φ : [, + [ ], + [ R de sorte que pour tout réel x, fx = Φx,t. x,t e xt Pour chaque réel x [, + [, la foctio t Φx, t est cotiue par morceaux sur ], + [ ; Pour chaque réel t ],+ [, la foctio x Φx,t est cotiue sur [,+ [ ; Pour tout x,t [,+ [ ],+ [, Φx,t = ϕ t. De plus, la foctio ϕ est cotiue par morceaux et positive sur ],+ [, prologeable par cotiuité e car 1 t, et domiée par 1 e +. La foctio ϕ est doc itégrable sur ],+ [. D après le théorème d existece et de cotiuité des itégrales à paramètres, f est défiie et cotiue sur [,+ [. Soit a >. Φ admet sur [a+ [ ],+ [ des dérivées partielles d ordre 1 e par rapport à sa première variable x et pour tout x, t [a, + [ ], + [. Φ x x,t = e xt t et Φ x x,t = e xt. Pour k {1,} et x [a,+ [, la foctio t k Φ x,t est cotiue par morceaux sur ],+ [ ; xk Pour k {1,} et t ],+ [, la foctio x k Φ x,t est cotiue sur [a,+ [ ; xk Pour k {1,} et x,t [,+ [ ],+ [, Φ x x,t e at = ϕ 1 t et Φ t x x,t e at = ϕ t. De plus, les foctios ϕ 1 et ϕ sot cotiues par morceaux et positives sur ],+ [, prologeable par cotiuité e par, et égligeables devat 1 e +. Les foctios ϕ 1 et ϕ sot doc itégrables sur ],+ [. D après le théorème de dérivatio des itégrales à paramètres théorème de Leibiz, f est de classe C sur [a,+ [ et ses dérivées successives s obtieet par dérivatio sous le sige somme. Ceci état vrai pour tout a >, f est de classe C sur ],+ [ et pour tout x >, f x = e xt et f x = e xt. I.A - La foctio u : t est cotiue sur ],+ [ et admet des limites réelles e et + à savoir 1 et. O e déduit que cette foctio est borée sur ],+ [. Soit M u majorat de cette foctio sur ],+ [. Pour x >, M Puisque lim x + x fx = e xt M e xt = M x. =, o e déduit que lim fx =. De même, La foctio u : t x + t et par u travail aalogue, lim x + f x =. est borée sur ],+ [ http :// 1 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

2 I.A - 3 Soit x >. f x = Fialemet, e xt lim fx = lim x + x + f x =. coste xt = Re 1 = Re x i + lim 1 = Re = Re x i x+i x +1 coste xt x coste xt puis e x+it = Re t + e x+it x+i car x > et doc = x x +1. [e x+it x >, f x x x x +1. x+i e x+it x+i ] + = e xt x+i x + Par suite, il existe C R tel que pour tout x >, f x = lx 1 l x +1 +C. Quad x ted vers +, lx 1 l x +1 = lx lx 1 l 1+ 1 x = o1, et doc quad x ted vers +, o obtiet C = d après la questio précédete. x >, f x = lx 1 l x +1. I.A - 4 Ue itégratio par parties fourit 1 l x +1 = x l x +1 Doc, de ouveau, il existe λ R tel que pour tout x >, x x +1 dx = x l x +1 x +1 1 x dx = x +1 l x +1 x+arctax+λ fx = x lx x x l x +1 +x Arctax+λ = x lx x l x +1 Arctax+λ. Quad x ted vers +, x lx x l x +1 = x l 1+ 1x 1 x et doc x lx x l x +1 ted vers. Quad x ted vers +, o obtiet doc π +λ = et doc x >, fx = x lx x l x +1 Arctax+ π. Efi, f est cotiue e et doc f = lim fx = π x x> d après u théorème de croissaces comparées. = f = π. I.A - 5 L égalité est vraie quad s =. Soit s >. E posat u = st et doc = du s, o obtiet 1 cosst + 1 cosu = u /s du + s = s 1 cosu u du = π s http :// c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

3 et doc s = s = π Fialemet, 1 cosst. Si s <, π 1 cosst s R, π = π 1 cos st 1 cosst = s. = s = s. I.B - Étude d ue suite d itégrales I.B - 1 Soit N. La foctio t est cotiue et positive sur ],+ [. 1 t +o = = +o1. Doc, la foctio t t se prologe par cotiuité e et e particulier, est itégrable sur u voisiage de. 1 =. O t + Doc, la foctio t est itégrable sur u voisiage de +. t 1 Fialemet, la foctio t est itégrable sur ],+ [ et o e déduit l existece de u. Soit N. cos t 1 cos t u u + = > itégrale d ue foctio cotiue, positive et o ulle. Doc, la suite u N est strictemet décroissate. I.B - u 1 = = f = π. Puis, e posat x = t si + si x + si x + 1 cos x u 1 = = 4x dx = x dx = x dx = u. u 1 = u = π. I.C - Calcul d u équivalet de u u I.C - 1 Soit N 1. E posat t = et doc = u du = 1 1 u du, o obtiet u u 1 cos + 1 cos u = u du = u u du. u I.C - Soit,u N ],1]. O sait que pour tout réel x, six x, et doc 1 cos 1 cos u/ = u/ 1+cos 1 cos u/ = u. u/ u/ = si u/ cos u/ http :// 3 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

4 I.C - 3 Pour N, soit g la foctio défiie par : u >, g u = v = g u du. Chaque foctio g, N, est cotiue par morceaux sur ],+ [ ; Soit u >. 1 cos u e l cos u 1 cos u u u = + 1 e l1 u +o 1 = + 1 e u +o1 de sorte que N, et doc la suite de foctios g N coverge simplemet sur ],+ [ vers la foctio g : u 1 e u u. De plus, la u foctio g est cotiue par morceaux sur ],+ [. Pour tout,u N ],+ [, d après la questio précédete, g u { u/u u si u ],1] /u u si u ]1,+ [ = { 1/ u si u ],1] /u u si u ]1,+ [ = ϕu. La foctio ϕ est cotiue par morceaux sur ],+ [, itégrable sur u voisiage de car 1 < 1 et sur u voisiage de + car 3 > 1. Doc, la foctio ϕ est itégrable sur ],+ [. D après le théorème de covergece domiée, la suite v N coverge, la foctio g est itégrable sur ],+ [ et efi lim v = + gu du = 1 e u u u du. I.C - 4 Soiet et A deux réels tels que < < A. Les deux foctios u 1 e u et u 1 u sot de classe C 1 sur le segmet [,A]. O peut doc effectuer ue itégratio par parties qui fourit : A e u [ ] 1 e u A du = u u + 1 A e A A 1 e + 1 Quad A ted vers +, 1 e A A ted vers et d autre part, 1 e ted vers. Quad A ted vers + et ted vers, o obtiet O e déduit que u = v + l = 1 e u u u du = π. π = 1 e u u u du A 1 e u u u du = et doc 1 e ted vers quad e u u du = π. u = π +. Partie II - Autour du pile ou face II.A - Étude de E S II.A - 1 Pour k 1,, EX k 1 = puis VX k = E X k EXk http :// 4 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

5 Par liéarité de l espérace, ES = EX k = puis, les variables X 1,..., X état mutuellemet idépedates et k=1 e particulier deux à deux idépedates, VS = VX k =. k=1 N, ES = et VS =. II.A - Par liéarité de l espérace, EcosS + T = EcosScosT EsiSsiT. Puisque les variables S et T sot idépedates, il e est de même des variables coss et cost et des variables sis et sit d après le lemme des coalitios. Doc, EcosS+T = EcosSEcosT EsiSEsiT. Puisque T et T ot même lois, les variables sit et si T ot même espérace. Doc, et fialemet, EsiT =. Il reste EsiT = E sit = Esi T = EsiT, EcosS+T = EcosSEcosT. II.A - 3 L égalité est immédiate si t =. Soit t R. Motros par récurrece que N, ϕ t = cost. D après le théorème de trasfert, ϕ 1 t = EcosX 1 t cost+1 cos t = cost. La formule est doc vraie quad. Soit 1. Supposos que ϕ t = cost. D après le lemme des coalitios, les variables X +1 t et S t sot idépedates et doc d autre part, les variables tx +1 et tx +1 ot même lois : PtX = t = PX = PX = 1 = P tx = t et de même PtX = t = PX = 1 = PX = P tx = t. Doc, EcosS +1 T = EcosS t+x +1 t = EcosS tecosx +1 t d après la questio précédete = cost cost par hypothèse de récurrece = cost +1. O a motré par récurrece que N, t R, ϕ t = cost. II.A - 4 Soit N. D après le théorème de trasfert, E S = s S Ω = = π = π = π s S Ω s PS = s + 1 cosst π PS = s d après I.A.5 s S Ω = π u. 1 cosstps = s 1 EcosS t d après II.A.3 = π s S Ω PS = s s S Ω cosstps = s http :// 5 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

6 N, E S = π u. II.A - 5 E S ,..., + { 1,1} + Puisque +1 est impair, et doc, ou bie ou bie Doc, E S ,..., + { 1,1} + 1,..., + { 1,1} ,..., + { 1,1} ,..., + { 1,1} ,..., +1 { 1,1} = E S +1. 1,..., +1 { 1,1} O e déduit que u +1 = π E S +1 = π E S + = u +. 1,..., + { 1,1} ,..., + { 1,1} ,..., +1 { 1,1} II.B - Étude de S 4 II.B - 1 Soit N. S 4 = X k. E développat, o obtiet ue somme de 4 termes. k=1 les termes du type X 4 k d espérace ; ,..., +1 { 1,1} les termes du type X 3 k X l, k l, d espérace E Xk 3 EXl = les variables X 3 k et X l sot idépedates d après le lemme des coalitios; les termes du type X k X l, k < l, d espérace E Xk E X l ; le ombre de ces termes est le ombre de choix de parethèses parmi les 4 das lesquelles o pred X k à savoir 4 = 6. les termes du type X j X kx l, j, k l deux à deux disticts, d espérace ulle ; les termes du type X i X j X k X l, i, j, k l deux à deux disticts, d espérace ulle. Par liéarité de l espérace E S 4 +6 k=1 1 k<l 1 = +6 = +3 1 = 3. N, E S 4 = 3. II.B - Soit N. La variable U est positive. L iégalité de Markov s écrit http :// 6 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

7 II.B - 3 Z = k déombrable, Z A. Esuite, + k= P U 1 EU E S 4 1/ = = 4 4 = 3 3/. N, P U / U k 1. Puisque chaque évéemet U k 1 est das A et que A est stable par réuio k k PZ + k= P U k k k 3/. 3 k est le reste à l ordre 1 d ue série covergete car 3 > 1 et doc 3/ lim lim PZ =. + k= + + k= 3 =. O e déduit que k3/ II.B - 4 Z est ue itersectio déombrable d élémets de A et doc u élémet de A. Puisque pour tout N, Z +1 Z, o sait que PZ = lim + PZ =. Z est doc u évéemet égligeable. Soit ω / Z. Doc, il existe N tel que ω / Z. Par défiitio de Z, pour tout k, S k ω k = 4 U k ω < 1 k 1 8 e particulier, N, S ω < 1. O e déduit que S ω. + Partie III - D autres sommes aléatoires 1 8 et III.A - Étude de E T III.A - 1 Soiet x et y deux réels tels que y. Si x, x+y + x y = x+y+ x y = Maxx,y et si x, x+y + x y = x y + x+y = Max x,y. Doc, das tous les cas, x+y + x y = Max x,y. Soit N. Doc, E T a a +1 1,..., +1 { 1,1} a a +a a a a +1 1,..., { 1,1} 1,..., { 1,1} Max 1 a a,a ,..., { 1,1} 1 a a = E T. la suite E T N est croissate. http :// 7 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

8 + III.A - Posos Σ = =1 a < +. D après l iégalité de Cauchy-Schwarz, pour N, E T E 1 E T E a i X i = E = = i=1 i=1a i X i + i j a i a j X i X j a i E X i + a i a j EX i EX j car les X i sot deux à deux idépedates i=1 i=1 Σ. a i i j Aisi, la suite E T N est croissate et majorée par Σ et doc la suite E T N coverge. III.A - 3 Soit N. Avec la même démarche qu à la questio III.A.1, E T +1 Or, pour tout tout -uplet,..., +1 { 1,1},,..., +1 { 1,1} Max a a +1,a 1. et doc a a k= a k a 1 E T +1,..., +1 { 1,1} a 1 = a 1. Ceci motre que, pour, si a 1 a +...+a, alors E T = a 1 = E T 1. III.B - Applicatio à ue suite d itégrales III.B - 1 Pour k N, posos a k = E T = u T Ω = = π = π u T Ω u PT = u 1 k 1. Soit N. D après le théorème de trasfert, + 1 cosut π PT = u d après I.A.5 u T Ω 1 cosutpt = u 1 EcosT t = π = π u T Ω PT = u 1 Ecosta 1 X ta X u T Ω. cosutpt = u Les variables X 1,..., X sot mutuellemet idépedates et il est de même des variables a 1 X 1,..., a X. De plus, pour k 1,, les variables a k X k et a k X k ot mêmes lois. D après II.A. et par récurrece, Ecosta 1 X ta X = Ecosta 1 X 1...Ecosta X puis E T = π = π = π J. 1 Ecosta 1 X 1...Ecosta X a 1...costa = π t cos 3 t...cos 1 http :// 8 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

9 N, E T = π J. Ceci motre au passage l existece de chaque J. De plus, la suite J N est croissate d après III.A.1 et covergete d après III.A. car la série de terme gééral a 1 = 1 coverge. 1 III.B - a 1 a +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a =,4.... Doc, E T 7 = E T 1 13 puis, la suite E T N état croissate, 1,7, E T = E T 1 et fialemet 1,7, J = J 1 = π. a 1 a +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 =,... < puis pour 8, a 1 < Soit 7. O repred le calcul de la questio III.A.1. E T +1 a k. k= 1,..., { 1,1} Max 1 a a,a ,..., { 1,1} 1 a a = E T. L iégalité écrite est ue égalité si et seulemet si 1,..., { 1,1}, 1 a a a +1. Pour = 7, o a a 1 a +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 > et doc a 1 a +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 a 8 = a 1 a +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 +a 8 <. Doc, pour 1,..., 7, 1,..., 1, o a 1 a a 7 < a 8. Ceci motre que E T 8 > E T 7 puis que J 8 > J 7. Iachevé. La suite J 7 est strictemet croissate. http :// 9 c Jea-Louis Rouget, 16. Tous droits réservés.

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