UE 4 : Évaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé

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1 UE 4 : Évaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé

2 BIOMATHÉMATIQUES I. Les unités de bases du SI (système international) II. Les 5 M III. Étude d une fonction IV. La linéarisation V. Les incertitudes de mesure

3 I. Les unités de bases du SI Les unités de bases du SI sont au nombre de par cœur. 7 et sont à savoir Nom Unité Symbole Longueur (l) mètre m Masse (m) kilogramme kg Temps, durée (t) seconde s Courant électrique (I) ampère A Température thermodynamique (T) Quantité de matière (n) Intensité lumineuse (I v ) kelvin Mole candela K mol cd

4 À partir des unités de base du SI, on forme les dérivées du SI. unités On peut trouver par exemple, la superficie (m²), le volume (m 3 ), la vitesse (m/s)

5 II. Les 5M Les 5M sont : - moyen - milieu - matière - main d oeuvre - mode opératoire Toute modification des 5M affecte la mesure.

6 III. Étude de fonction Pour trouver le sens de variation d une courbe, on calcule sa dérivée première. Si elle est positive, la courbe est croissante. Si elle est négative, le courbe est décroissante. Si elle est nulle en un point, la courbe présente une tangente horizontale (extremum ou point d inflexion).

7 Pour trouver la concavité d une courbe, on calcule sa dérivée seconde (la dérivée de la dérivée). Si elle est positive, on est content J, la concavité est tournée vers le haut, la courbe est au-dessus de ses tangentes. Si elle est négative, on n est pas content L, la concavité est tournée vers le bas, la courbe est en dessous de ses tangentes. Si elle est nulle en un point et qu il y a un changement de signe de la dérivée 1 ère, il existe un point d inflexion c est-à-dire un changement de concavité.

8 QCM : On s intéresse à la fonction N = N 0 e &3kx, k et N₀ sont des constantes positives. Cochez la ou les réponse exactes A. Le domaine d étude de cette fonction est R. B. Sa dérivée première est : N = 3N. e &012. C.Elle est croissante sur son ensemble de définition. D.Sa dérivée seconde est : N = 9k 5 N. e &012 E. Sa courbe présente une concavité dirigée vers le bas. Réponses : A C E

9 IV. La linéarisation Le but de la linéarisation est d obtenir, à partir de n importe quelle équation, une fonction linéaire d équation Y = ax + b. Exemple : u Prenons la fonction y = 3x² + 5, elle n est pas sous la forme Y = ax + b. On pose alors que X = x², et on obtient y = 3X + 5. On a alors une fonction de type y = ax + b avec Y = y, X = x², a = 3 et b = 5. u Prenons la fonction y = 6 x>2. Pour la mettre sous la forme ax + b, nous allons inverser le quotient : on obtient alors 1 = x>2 = x + 2 = 1 x + 2 y et on obtient bien notre fonction de type Y = ax + b avec Y = 1/y, X = x, a = 1/6 et b = 2/6 u Prenons la fonction y = Ce &kx, pour la mettre sous forme Y = ax + b, on passe par les ln : ln y = ln C kx, on obtient bien une équation de type Y = ax + b avec X = x, Y = lny, a = -k, b = lnc.

10 III. Les incertitudes de mesure Il existe deux méthodes pour calculer une incertitude de mesure : - - La méthode de la différentielle totale La méthode des différentielles logarithmiques

11 1. La méthode de la différentielle totale La méthode de la différentielle totale est applicable dans tous les cas (sommes, différences, multiplication, division). La différentielle totale est la somme des différentielles partielles Prenons la fonction u x, y, z = 2x 0 + y 3z 1. On dérive en fonction de x, c est-à-dire que l on considère y et z comme des constantes : δu δx = 6x² 2. On dérive en fonction de y, c est-à-dire que l on considère x et z comme des constantes : δu δy = 1 3. On dérive en fonction de z, c est-à-dire que l on considère x et y comme des constantes : δu δz = 3 Pour obtenir la différentielle totale, on fait la somme des différentielles partielles : du = 6x 2 dx + 1 dy + 3 dz

12 Ensuite, pour obtenir l incertitude absolue de u, on fait la valeur absolue de la différentielle totale : c est la majoration : Donc si on remplace x = 2,0 ± 0,1 ; y = 7,0 ± 0,2 ; z = 6,0 ± 0,3 L incertitude absolue Δu est égale à : u = 6x² x + y + 3 z = , 1 + 0, , 3 = 2, 4 + 0, 2 + 0, 9 = 3, 5 L incertitude relative est égale à : [ [ = 3,5 5 u = δu δx x + δu δy y + δu δz z u = 6x 2 x + 1 y + 3 z u = 6x² x + y + 3 z = 0, 7 = 70% ATTENTION : L incertitude absolue a les unités de la grandeur mesurée. L incertitude relative n a pas d unité, elle est exprimée en pourcentage.

13 2. La méthode de la différentielle logarithmique La méthode de la différentielle logarithmique n est utilisable que pour les multiplications et les divisions. Prenons la fonction u = xy 1. On passe sous la forme logarithmique : ln u = ln xy = ln x + ln y 2. On fait la différenciation : d (ln u) = du u = 1 x dx + 1 y dy 3. On majore (en utilisant les valeurs absolues) : [ = 1 [ x x + 1 y y Si x = 2,0 ± 0,5 et y = 4,0 ± 0,2, u u = 1 2 0, , 2 = 0, , 05 = 0, 30 = 30% 4 On a obtenu l incertitude relative Pour obtenir l incertitude absolue : u u = 0, 30 or u = 8, 0 donc u = 2, 4

14 APPLICATIONS Application 1 : Soit la fonction y = 5t² + 7, Question 1 : Quel est son domaine de définition? La variable est un temps donc son domaine de définition est R >. Question 2 : Quelle est sa dérivée première, et que peut-on en déduire? y u = 10t > 0, donc la fonction est croissante sur son domaine de définition. Question 3 : Quelle est sa dérivée seconde, et que peut-on en déduire? y u = 10 > 0, donc la courbe a une concavité tournée vers le haut et une courbe au-dessus de ses tangentes. Question 4 : Mettre la fonction sous la forme d une fonction affine. On pose X = t², on obtient alors une équation de type ax + b avec a = 5, X = t² et b = 7

15 La dérivée d une fonction de type u n est n. u n&1. u

16 Application 2 : Soit la fonction y = 0 2²>w5, Question 1 : Quel est son domaine de définition? Elle est définie sur R. Question 2 : Quelle est sa dérivée première, et que peut-on en déduire? On peut mettre la fonction sous la forme y = 3 (x ) &w. On dérive : y u = 1 3 x &5 2x = 6x x &5 = x2 2 y >w5 y < 0 donc la fonction est décroissante. Question 3 : Mettre la fonction sous la forme d une fonction affine. On inverse la fonction : w = 2²>w5 = w w5 x² + = w x² + 4 et on a bien une { fonction de type Y = ax + b avec Y = w, a = w, X = x² et b = 4. } 0

17 BIOSTATISTIQUES A. Rappels de terminale : I. Définitions II. III. IV. Les différents types de variables La répartition des valeurs des variables (vocabulaire) La représentation des variables V. Les paramètres B. Introduction à la statistique inductive : I. Ecart réduit II. III. Intervalle de pari / de confiance Tests

18 A. Rappels de terminale I. Définitions Population : Ensemble fini dont chaque élément peut être observé (ex : les français de 12 à 25 ans) Individu : Échantillon : Variable : Tout élément de la population (peut être un objet) (ex : un français de 21 ans) Sous ensemble de la population prélevé afin d étudier une variable de la population (ex : 100 personnes tirées au sort parmi les français de 12 à 25 ans) Caractère étudié (ex : poids, taille, nombre d enfants, etc)

19 II. Les différents types de variable 1. Une variable est dite qualitative si elle correspond à un état (sexe, état civil ). Elle peut être alors : - À 2 modalités (binaire ou dichotomique) : sexe (masculin/féminin), survie (mort/vivant) - À k > 2 modalités : état civil (célibataire, marié, veuf, concubin, séparé ) couleur des cheveux.

20 2. Une variable est dite quantitative si elle résulte d une mesure. Elle peut être alors : discrète ou discontinue si elle ne peut prendre que des valeurs entières : le nombre d enfants (1, 2, 3 ) continue si elle peut prendre toute valeur numérique (entière ou non) : glycémie (1,00 ; 1,01 ; 1,02 ; ), taille

21 Enfin, une variable est dite ordinale s il existe un ordre objectif sur ses valeurs : donc toute variable quantitative est ordinale. Une variable qualitative ordinale avec des modalités numériques est dite semi-quantitative. Exemple : la douleur (absente, faible, modérée, forte) est une variablequalitative (résulte d un état) et ordinale (il existe un ordre objectif). Si on y ajoute des modalités numériques tel que : 0 = absente, 1 = faible, 2 = modérée, 3 = forte, alors la variable est dite semi-quantitative.

22 APPLICATIONS Application 1 : Prenons la variable «moyen de transport» (pieds, bus, voiture, mobylette, vélo, hélicoptère), quel est le type de variable? C est une variable qualitative à k = 6 modalités. Application 2 : Prenons la variable «la longueur des pieds en cm», quel est le type de variable? C est une variable quantitative continue et ordinale comme toutes les variables quantitatives. Application 3 : Prenons la variable «le nombre de glace vendue chez Miss Cookie», quel est le type de variable? C est une variable quantitative discrète et ordinale comme toutes les variables quantitatives.

23 III. La répartition des valeurs des variables (vocabulaire) 1. Pour une variable qualitative non ordinale : Pour représenter une variable X, observable chez N individus, on ordonne ses valeurs dans un tableau de fréquences où on retrouve ces paramètres : N : Effectif total n : Fréquence absolue : l effectif n correspondant à la modalité x. f : Fréquence relative : le quotient de l effectif n par l effectif total N.

24 2. Pour une variable qualitative ordinale : Dans le tableau de fréquences représentant une variable qualitative ordinale, on peut ordonner les k modalités et ainsi calculer de nouveaux paramètres : N : Effectif cumulé/ fréquence cumulée absolue : l addition de tous les effectifs simples jusqu à celui d indice i inclus. F : Fréquence cumulée relative : le quotient de la fréquence cumulée absolue par l effectif total.

25 3. Pour une variable quantitative : Pour une variable quantitative discrète, le tableau des fréquences est le même que pour une variable qualitative ordinale. En revanche pour une variable quantitative continue, il est nécessaire de classer les valeurs dans des intervalles contigus en fixant des limites pour les intervalles (l intervalle est ouvert à la limite supérieure). Il existe ainsi d autres paramètres calculables : a : amplitude de classe : limite supérieure limite inférieure. c : centre de la classe: la moyenne de ses limites. Densité d effectif : le quotient d une fréquence absolue n par l amplitude a.

26 IV. La représentation des variables Variable qualitative Histogramme en barres Diagramme circulaire Diagramme figuratif Diagramme cumulatif en barre (seulement pour une variable qualitative ordinale) Variable quantitative discrète Histogramme en bâtons Diagramme cumulatif en escalier Variable quantitative continue Histogramme en rectangle Diagramme cumulatif en ligne brisée

27 V. Les paramètres 1. Les paramètres de position Mode : Médiane : Modalité correspondant au maximum de densité de fréquence ou d effectif. Il peut ne pas exister, ou ne pas être unique (la distribution sera alors dite bimodale, trimodale, etc) Valeur de la variable telle que la fréquence des valeurs qui lui soient inférieures ou égales soit égale à la fréquence des valeurs qui lui sont supérieures. Elle n existe pas pour les variables qualitatives et peut ne pas exister pour les quantitatives discrètes. Moyenne : µ = x j. f j Ces trois paramètres ont pour unité l unité de la variable.

28 2. Les paramètres de dispersion Étendue : Variance : différence entre la plus grande et la plus petite valeur observée. σ² = 1 N x i² μ² = x i² N. μ² N Ecart type : σ = σ² L étendue et l écart type ont pour unité l unité de la variable, mais la variance, elle, a pour unité celle de la variable mise au carré.

29 B. Introduction à la statistique inductive La statistique inductive cherche à approximer les paramètres de la population à partir des paramètres de l échantillon.

30 I. Ecart réduit Pour comparer des variables, il est important de les standardiser, il faut ainsi centrer-réduire les variables. On dit qu on la centre en comparant son écart à la moyenne (X μ) et qu on la réduit en rapportant cet écart à l écart-type. avec μ= moyenne et σ= écart type U = X μ De la même manière, on peut standardiser la moyenne μ et obtenir l écart réduit. m μ U = σ 2 n L écart réduit Fluctue autour de 0 et respecte la loi normale.. En statistique inductive, on utilise cet écart réduit pour réaliser des paris et ainsi obtenir des intervalles de pari et de confiance. On peut aussi lancer des tests avec l écart réduit. σ

31 II. Intervalle de paris / de confiance On sait que l écart réduit fluctue selon une loi normale qui peut être caractérisé par cette probabilité : Proba( a < U < +a) = 1 α Grace à cette loi, on peut réaliser un pari au risque α et ainsi on obtient : L intervalle de pari qui permet d encadrer la valeur de la moyenne de l échantillon en fonction de la moyenne de la population : μ a σ2 n < m < μ + a L intervalle de confiance qui encadre la moyenne de la population en fonction de la moyenne de l échantillon. σ2 n m a σ2 n < μ < m + a σ2 n

32 III. Tests Les tests sont des tests d hypothèses la vérification d une hypothèse H 0. car ils se basent sur Il existe deux types de tests : Test de conformité : on compare un échantillon à une population afin de voir si l échantillon est représentatif de la population. Test d homogénéité : on compare 2 échantillons entre eux pour voir s ils sont significativement différents ou pas.

33 La démarche à suivre est codifiée : 1) Définition de la population et du/des échantillon(s). 2) Définition de la variable : binaire, qualitative, quantitative,... 3) Choix du type de test : conformité, homogénéité 4) Définir les hypothèses : H. et H w (l hypothèse inverse de H. ). 5) Choisir la loi de probabilité. 6) Faire les calculs sous H.. 7) Prendre la décision de rejeter ou non H. (jamais décider sur H w ). 8) Conclure.

34 ÉPIDÉMIOLOGIE I. Taux de mortalité II. Taux d incidence III. Taux de prévalence

35 I. Le taux de mortalité Il s agit du rapport, pendant une année donnée, des décès enregistrés dans une population à l effectif moyen de cette population (effectif moyen = effectif au milieu de l année, ou moyenne des effectifs en début et fin d année). T = Nombre de décès N. 10 n N : nombre d individus dans la population n : on multiplie les taux par une puissance de 10 pour les rapporter à une population fictive de 1000, , individus.

36 II. Le taux d incidence Il s agit du nombre de nouveaux cas d une maladie apparus dans une population pendant une période donnée. I = Nombre de cas nouveaux pendant une période Nombre d u individus composant la population pendant cette période. 10n

37 III. Le taux de prévalence Il s agit du nombre de cas d une maladie existant dans une population pendant une période donnée. P = Nombre de cas existant pendant une période Nombre d u individus composant la population pendant cette période. 10n

38 BIOPROBABILITÉS I. Quelques définitions II. Opérations III. Probabilité conditionnelle IV.Formule des probabilités totales

39 I. Quelques définitions o Expérience aléatoire : expérience dont le résultat ne peut être prédit à l avance de manière certaine (ex : lancer de dé). o Ensemble fondamentale : ensemble des résultats possibles noté S. o Evénement élémentaire : tout élément de S. o Evénement : toute proposition logique associé aux résultats de l expérience auquel on peut associer un sous-ensemble de S. A B : événement qui se produit si «A ou B» est réalisé. A B : événement qui se produit si «A et B» est réalisé. C(A) : événement complémentaire de A (= A )

40 II. Opérations 0 P A 1 P S = 1 Si A et B s excluent mutuellement : P A B = P A + P B et P A B = 0 Sinon : P A B = P A + P B P A B Si A et B sont indépendants (compatibles mais ils ne s influencent pas entre eux) : P A B = P A P B

41 III. Probabilité conditionnelle Définitions : Probabilité que A se produise sachant que E s est produit auparavant. P A E = P(A E) P(E) Théorème de Bayes : P A B = ¼ ½ ¾ ¼ = P A i P(B A i ) P B

42 IV. Formule des probabilités totales P B = P(A i B)