1) Calculer les distances MF et MH. 2) Montrer que MF=MH si et seulement si M appartient à P.

Transcription

1 Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, P l oure rerésenttive de l fontion f définie r f(x)=x² D l droite d éqution 1 y = et 4 F 1 0, 4 Soit le oint M(x,y) et H son rojeté orthogonle sur D 1) Cluler les distnes MF et MH ) Montrer que MF=MH si et seulement si M rtient à P Définition : Soit D une droite et F un oint n rtennt s à D our tout oint M du ln on note H son rojeté orthogonle sur l droite D On elle role de foyer F et de diretrie D l ensemle des oints M du ln tels que MF=MH L erendiulire à D ssnt r F est elée xe fol de l role L distne du foyer à l diretrie est elé rmètre de l role Alition: Soit D une droite du ln et F un oint n rtennt s à D 1) Soit H un oint de D ; onstruire le entre M du erle ssnt r F et tngent à D en H que vut M F M H? ) On désigne r P l ensemle des entres des erles ssnt r F et tngents à DM un oint du ln et H son rojeté orthogonl sur D M F ) Montrer que P = M tels que = 1 M H ) Construire P 3) Soit K le rojeté orthogonl de F sur D et O le milieu de [KF] Montrer que O rtient à P wwwzriimthsjimdoom 1

2 P une role de foyer F et de diretrie D ; K le rojeté orthogonl de F dur D 1) Montrer que l role P oue l xe fole en un unique oint S milieu de [FK] ) Montrer que M rtient à P si et seulement si son symétrique r rort à (FK) rtient à P Toute role dmet omme xe de symétrie son xe fol Le sommet d une role de foyer F et de diretrie D est le milieu du segment [FK] ou K est le rojeté orthogonl de F sur D Soit P une role de foyer F, de diretrie D et de sommet S K le rojeté orthogonl de F SF sur D ; FK= ; i = ; le ln est munie du reère orthonormé ( S, i, SF 1) Donner une éqution de l droite D ) Soit M un oint de oordonnées (x,y) Montrer que M rtient à P si et seulement si y²=x D : x = Si P est l role de foyer F, de diretrie D, de sommet S et de rmètre lors l role P our éqution y²=x, l diretrie D our éqution x = et le foyer F our oordonnées, 0 dns le reère SF orthonormé ( S, i, ou i = SF Le ln est rorté à un reère orthonormé ( O, i, F,0, l ensemle des oints M(x,y) tels que y²=x ; >0 est l role de foyer F, 0, de diretrie D : x = ; de sommet O et de rmètre wwwzriimthsjimdoom

3 Remrques : P :y²=-x; >0 dns un reère O, i, j si et seulement si orthonormé ( ) P est l role de foyer F, 0 ; de diretrie D : x = ; de sommet O et de rmètre F,0 D : x = P : x²=y ; >0 dns un reère orthonormé O, i, j si et seulement si P est l role de ( ) F 0, foyer F 0,, de diretrie : D y = de sommet O et de rmètre D : y = P :x²=-y, >0 dns un reère orthonormé O, i, j si et seulement si P est l role de ( ) D : y = foyer F 0,, de diretrie : D y =, de sommet O et de rmètre F 0, Alition : Le ln est munie d un reère orthonormé ( O, i, Rerésenter les roles d éqution : y²=4x ; y²=-4x wwwzriimthsjimdoom 3

4 Le ln P est rorté à un reère orthonormé ( O, i, x²=y et l role P : y²=x on onsidère l role P : 1) Montrer que l éqution de l tngente T en un oint M 0 (x 0 ;y 0 ) de P our éqution : x 0 x=(y+y 0 ) ) En déduire une éqution de l tngente T à P en un oint M 0 (x 0 ;y 0 ) de P Le ln est muni d un reère orthonormé O, i, j ( ) Si P est l role d éqution y²=x lors l tngente à P en un oint M 0 (x 0 ;y 0 ) est l droite d éqution y 0 y=(x+x 0 ) Si P est l role d éqution x²=y lors l tngente à P en un oint M 0 (x 0 ;y 0 ) est l droite d éqution x 0 x=(y+y 0 ) Alition : P une role de foyer F et de diretrie D, M 0 un oint de P et H son rojeté orthogonl sur D T l tngente à P en M 0 Montrer que T est l méditrie de [FH] wwwzriimthsjimdoom 4

5 Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, H l oure rerésenttive de l fontion f définie r f(x)= 1 x on onsidère le oint F (, ) et l droite d éqution x + y = 0 soit M(x,y) un oint du ln et H son rojeté orthogonl sur D 1) Cluler les distnes MF et MH ) En déduire que MF = MH ; si et seulement si ; M rtient à H Définition : Soit D une droite, F un oint n rtennt s à D et e un réel e>1 MF e MH = On elle hyerole de foyer F, de diretrie D et d exentriité e l ensemle des oints M du ln tels que MF = e ou H est le rojeté orthogonl de M sur D MH L erendiulire à D ssnt r F est elée xe fol de l hyerole Alition : Soit D une droite du ln, F un oint n rtennt s à D et K le rojeté orthogonl de F sur D 1) Construire le oint S ryentre de (F,1) et (K,-)Déterminer le rort SF SK ) Construire le oint S ryentre de (F,1) et S ' F (K,); déterminer le rort S ' K M F 3) soit H= M tels que = ou H est MH le rojeté orthogonle de M sur D soit (C) le erle de entre S et ssnt r F ; B un oint de (C)distint de F ; I le oint d intersetion de D et (FB) on désigne r h l homothétie de entre I qui envoie B en F ; M l imge de S r h et H le rojeté orthogonl de M sur D wwwzriimthsjimdoom 5

6 ) Montrer que h envoie K en H M F ) Déterminer le rort et en déduire que M H M H ) Construire quelques oints deh Soit H une hyerole de foyer F, de diretrie D et d exentriité e K le rojeté orthogonl de F sur D 1) Montrer que l intersetion de H ve l xe fol est deux oints ) Montrer que M rtient à H si et seulement si son symétrique r rort à l xe fol rtient à H Soit H une hyerole de foyer F, de diretrie D et d exentriité e K le rojeté orthogonl de F sur D L xe fol de H est un xe de symétrie de H H oue l xe fol en deux oints elés sommets de l hyerole et ils sont les ryentres de (F,1), (K,e) et (F,1), (K,-e) Soit H une hyerole de foyer F de diretrie D et d exentriité e On désigne r K le rojeté orthogonl de F sur D et on noté S et S les sommets de H et O le milieu de [SS ] 1 1) Montrer que OF = eos et OK = OS ; ou S est le ryentre de (F,1) et e (K,e) OF ) On ose i = et ( O, i, un reère orthonormé diret ; on désigne r (,0) OF O, i, j les oordonnées de F et (,0) les oordonnées de S dns ( ) ² ) Montrer que e = et OK = ) Soit M(x,y) montrer que M rtient à H, si et seulement si, = 1 ² ² ² wwwzriimthsjimdoom 6

7 Soit H une hyerole de foyer F, de diretrie D, d exentriité e et de sommets OF S et S, on ose i = et ( O, i, un OF reère orthonormé diret Si S our oordonnées (,0), F our oordonnées O, i, j lors H our (,0) dns ( ) éqution = 1 ve ²=²-² ² ² x² y² H : = 1 ² ² e = S (-,0) Le ln est muni d un reère orthonormé diret ( O, i, S(,0), l ensemle des oints M(x,y) tels que = 1 (>0,>0) est une hyerole de entre O, de foyer ² ² ² F( ² + ²,0), de diretrie D : x =, d exentriité e = ve = ² + ² et de sommets S(,0) et S (-,0) ² D : x = ( ² + ², 0) F Remrque : H : 1 ² + ² = (>0,>0) dns un reère O, i, j si et seulement si H est orthonormé ( ) l hyerole de entre O, de foyer F(0, ² + ² ), ² de diretrie D : y =, d exentriité e = ve = ² + ² et de sommets S(0,) et S (0,-) ² D : y = x² y² H : 1 ² + ² = S(0,) S (0,-) ( 0, ² + ² ) F e = Toute hyerole dmet un entre de symétrie, qui est le milieu des sommets ; elé entre de l hyerole Toute hyerole dmets deux xes de symétrie qui sont l xe fol et l xe erendiulire à l xe fole et ssnte r le entre de l hyerole Conséquenes : Soit H une hyerole de diretrie D et de foyer F wwwzriimthsjimdoom 7

8 Le fit que l hyerole dmet un entre de symétrie imlique qu elle dmet une deuxième diretrie D et un deuxième foyer F symétriques resetives de D et F On dit que F est le foyer ssoié à D et que F le foyer ssoié à D Alition : Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, oints M(x,y) tel que = ; on onsidère l ensemle H des 1) Montrer que H est une hyerole de foyer F(5,0), de diretrie D : d exentriité 5 e = 3 9 x = et 5 x² ) ) étudier l fontion f définie r f ( x) = 4 1 ; x 3 9 ) rerésenter Cf l oure rerésenttive de f et en déduire une rerésenttion grhique de H Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, H : = 1 ² ² ; on onsidère l hyerole 1) soit H1 l ensemle des oints M(x,y) rtennt à H tels que x 0 et y 0 ) Montrer que M H1 si et seulement si y = x² ² ) Montrer que l droite d éqution y = x est une symtote de H1 ) En déduire les symtotes à H ) Soit M(x0,y0) un oint de H Montrer que l tngente àh en M0 our éqution : xx0 yy0 = 1 ² ² wwwzriimthsjimdoom 8

9 Le ln est muni d un reère orthonormé O, i, j ; on onsidère l hyerole ( ) H : = 1 ² ² y = x y = x xx yy T ² ² 0 0 : = 1 H dmet deux symtotes d équtions y = x et y x = L tngente à H u oint M0 (x0,y0) xx0 yy0 our éqution : = 1 ² ² Remrque : L tngente à une hyerole en son sommet S our éqution x= Alition : Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, 1) Déterminer l éqution réduite de l hyerole H de entre O, de sommet S(5,0) et dont l une de ses symtotes est l droite d éqution 5xy+3x=0 Rerésenter H ) On dns l figure i-ontre le foyer F et les sommets s et S d une hyerole H Construire les symtotes de H et H Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, d éqution = 1 ; les veteurs u ² ² on onsidère l hyerole H et u M un oint du ln de oordonnées (x,y) dns ( O, i, et (X,Y) dns ( O, u, v ) Montrer que x = ( X + Y ) y = ( Y X ) wwwzriimthsjimdoom 9

10 Montrer que M(x,y) H si et seulement si XY= 1 4 Toute hyerole rortée à ses symtotes une éqution de l forme XY=k ou k un réel non nul Alition : Le ln est muni d un reère orthonormé ( O, i, entre O, de foyer F(,0) et de diretrie ssoiée l droite D : 1) ) donner l forme réduite de H )Construire H on onsidère l hyerole H de 1 x = ) Soit les veteurs ( O, u, v ) 1 1 u et u 3 3 érire une éqution de H dns le reère wwwzriimthsjimdoom 10

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