Contrôle du vendredi (45 minutes) 1 ère S1. II. (3 points) (E). Résoudre dans l équation sin 3x

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1 1 ère S1 Cotrôle du vedredi --01 ( miutes) Préom et om : ote : / 0 II ( poits) 1 Résoudre das l équatio si (E) Il est pas demadé d écrire l esemble des solutios I ( poits) f e foctio de cos et si O doera ue epressio simplifiée Pour tout réel, o pose cos si Eprimer f

2 III (6 poits : 1 ) poits ; ) a) poits ; b) 1 poit ; ) 1 poit) Ue ure cotiet boules blaches et boules oires idiscerables au toucher O cosidère l epériece aléatoire qui cosiste à tirer successivemet au hasard avec remise deu boules das l ure et à oter das l ordre la couleur de chacue d elles 1 ) Calculer la probabilité p d obteir deu boules de couleurs différetes (valeur eacte) p ) O répète l epériece aléatoire 00 fois das des coditios idetiques idépedates a) Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio I au seuil approimatif de % de la fréquece des epérieces où l o obtiet deu boules de couleurs différetes I ) Parmi les dossiers prélevés, 10 correspodet à des appartemets retables Détermier la fréquece observée d appartemets retables das l échatillo prélevé f (u seul résultat) ) Doit-o rejeter l affirmatio du resposable de cette agece? Justifier la répose à l aide des résultats précédets O répodra à l aide d ue phrase b) Calculer l amplitude de I Doer le résultat sas écrire d égalité V ( poits) Soit CDEFGH u cube (e rie écrire sur la figure ci-cotre) Calculer cos DH (valeur eacte) E H F G ) O répète l epériece aléatoire fois ( état u etier aturel supérieur ou égal à 1) das des coditios idetiques idépedates Détermier le plus petit etier aturel tel que l itervalle de fluctuatio au seuil approimatif de %, détermié à l aide de la loi biomiale, de la fréquece des epérieces où l o a obteu deu boules de couleurs différetes ait ue amplitude iférieure ou égale à 0,1 cos DH D C (u seul résultat, sas égalité, sas epliquer) VI ( poits : 1 ) 1 poit ; ) 1 poit) IV ( poits : 1 ) poits ; ) 1 poit ; ) 1 poit) U ivestisseur souhaite acheter u appartemet das l objectif de le louer Pour cela, il s itéresse à la retabilité locative de cet appartemet L ivestisseur se red das ue agece immobilière pour acheter u appartemet et le louer Le resposable de cette agece lui affirme que 60 % des appartemets sot retables Pour vérifier so affirmatio, o a prélevé au hasard 80 dossiers d appartemets loués 1 ) O suppose que l affirmatio du vedeur est vraie Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio I au seuil approimatif de %, obteu à l aide de la loi biomiale, de la fréquece d appartemets retables das u échatillo aléatoire de taille 80 I Soit (O) et (Oy) deu droites perpediculaires e O Soit u poit de (Oy) distict de O O pose O a Pour tout etier aturel k 1, o ote M k le poit de la demi-droite [O) tel que OM k k Pour tout etier aturel 1, o ote L la somme des logueurs des segmets M, M,, 1 ) Compléter l égalité suivate e remplaçat les poitillés par ue epressio e foctio de k et a k k 1 L 1 M ) O pred a À l aide de commade de calculatrice permettat de calculer ue somme, détermier la valeur arrodie au millième de L 0 (u seul résultat)

3 Corrigé du cotrôle du --01 (E) si si 6 I f e foctio de cos et si O doera ue epressio simplifiée Pour tout réel, o pose cos si Eprimer f Développemet d ue epressio trigoométrique (E) (E) k 6 ou k k' 6 k ' k 6 ou k f cos cos si si si cos si cos f cos si cos si f cos cos si si f cos si Il faut peser à quatifier Il y a eu beaucoup d erreurs dues des problèmes de parethèses (E) ou k' k ' k 18 k k' k ' Soit S l esemble des solutios de l équatio (E) k k ' S, k, k ' 18 II 1 Résoudre das l équatio si (E) Il est pas demadé d écrire l esemble des solutios O doit résoudre l équatio par chaîe d équivaleces e utilisat le symbole III Ue ure cotiet boules blaches et boules oires idiscerables au toucher O cosidère l epériece aléatoire qui cosiste à tirer successivemet au hasard avec remise deu boules das l ure et à oter das l ordre la couleur de chacue d elles 1 ) Calculer la probabilité p d obteir deu boules de couleurs différetes (valeur eacte) 0 p 81 Résolutio d ue équatio trigoométrique

4 Le résultat s obtiet grâce à u arbre de probabilités avec les évéemets : «obteir ue boule blache» et : «obteir ue boule oire» b) Calculer l amplitude de I Doer le résultat sas écrire d égalité 0,1 Ce résultat s obtiet e effectuat la différece etre la bore supérieure et la bore iférieure de l itervalle : ) O répète l epériece aléatoire fois ( état u etier aturel supérieur ou égal à 1) das des coditios idetiques idépedates Détermier le plus petit etier aturel tel que l itervalle de fluctuatio au seuil approimatif de %, détermié à l aide de la loi biomiale, de la fréquece des epérieces où l o a obteu deu boules de couleurs différetes ait ue amplitude iférieure ou égale à 0,1 0 (u seul résultat, sas égalité, sas epliquer) O tâtoe e essayat des valeurs de O peut aussi utiliser u programme sur la calculatrice 0 Pour la loi biomiale de paramètres 0 et p, o obtiet e effet : , O cosidère les chemis - et - 0 p 81 Ue autre méthode cosiste à utiliser la formule de l itervalle de fluctuatio doé e e 1 1 : p ; p 1 1 L amplitude est égale à p p O cherche tel que 0,1 (1) (1) 0 (1) 00 ) O répète l epériece aléatoire 00 fois das des coditios idetiques idépedates a) Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio I au seuil approimatif de % de la fréquece des epérieces où l o obtiet deu boules de couleurs différetes 8 11 I ; I est l itervalle de fluctuatio au seuil approimatif de % de la fréquece de l évéemet «obteir deu boules de couleurs différetes» O costate que p I E effet, 11 0,6 00, 8 0,1 00, 0 0, O cherche doc ue valeur de au aletours de 00 O procède par essais successifs O trouve 0 IV U ivestisseur souhaite acheter u appartemet das l objectif de le louer Pour cela, il s itéresse à la retabilité locative de cet appartemet L ivestisseur se red das ue agece immobilière pour acheter u appartemet et le louer Le resposable de cette agece lui affirme que 60 % des appartemets sot retables Pour vérifier so affirmatio, o a prélevé au hasard 80 dossiers d appartemets loués 1 ) O suppose que l affirmatio du vedeur est vraie Détermier, à l aide de la loi biomiale, l itervalle de fluctuatio I au seuil approimatif de %, obteu à l aide de la loi biomiale, de la fréquece d appartemets retables das u échatillo aléatoire de taille 80

5 1 18 I ; O utilise la loi biomiale de paramètres 80 et p 0,6 O costate que p I ) Parmi les dossiers prélevés, 10 correspodet à des appartemets retables Détermier la fréquece observée d appartemets retables das l échatillo prélevé VI Soit (O) et (Oy) deu droites perpediculaires e O Soit u poit de (Oy) distict de O O pose O a Pour tout etier aturel k 1, o ote M k le poit de la demi-droite [O) tel que OM k k Pour tout etier aturel 1, o ote L la somme des logueurs des segmets M, M,, 1 ) Compléter l égalité suivate e remplaçat les poitillés par ue epressio e foctio de k et a 1 M 10 f (u seul résultat) 80 ) Doit-o rejeter l affirmatio du resposable de cette agece? Justifier la répose à l aide des résultats précédets O répodra à l aide d ue phrase L k k 1 a k O costate que f I doc o peut rejeter l affirmatio du resposable de l agece avec u risque d erreur approimativemet de % (iférieur à %) y a V Soit CDEFGH u cube (e rie écrire sur la figure ci-cotre) Calculer cos DH (valeur eacte) cos DH E D H F G C O a L M1 M M O peut doc écrire : L k M k k 1 M 1 M M Le triagle DH est rectagle e D O a : D a et H a (résultats à savoir par cœur : diagoale d u carré, grade diagoale d u cube ; ces deu résultats se retrouvet aisémet grâce au théorème de Pythagore) Doc D a cos DH H a Or M k a k (obteu grâce au théorème de Pythagore) d où le résultat ) O pred a À l aide de commade de calculatrice permettat de calculer ue somme, détermier la valeur arrodie au millième de L 0 18,8 (u seul résultat) O peut aussi doer le résultat sous la forme 6 mais ce est pas écessaire Sur calculatrice TI, la commade de somme s obtiet e faisat : de listes MTH, puis : somme O doit écrire : sommesuite K, K,1,0 Le triagle DH est pas isocèle doc l agle DH e mesure pas Par coséquet, cos DH est pas égal à ombreuses copies comme je l ai trouvé das de très O obtiet l affichage : 18,770 Il s agit «évidemmet» d ue valeur approchée Les décimales cotiuet de maière quasi évidete (suite ifiie de décimales)

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