Le plan est orienté dans le sens direct.

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1 LSMarsa Elriadh Le plan est orienté dans le sens direct 1) Définitions et propriétés : Activité 1 : 1) Soit ABCD un carré direct de centre O et I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AB],[BC],[CD] et [DA] a) Démontrer que les droites (LK) et (AC) sont parallèles b) Déterminer les images des points D, L, O et K par S (AC) os (LK) c) On note t la translation de vecteur DO ; déterminer les images par t de D, L, O et K Que peut-on conjecturer sur la nature de S (AC) os (LK) 2) Soit les applications du plan dans lui-même suivantes : translations, symétries orthogonales, rotations, homothéties a) Quelles sont les applications qui conservent les angles orientés? b) Quelles sont celles qui transforment une droite D en une droite parallèle à D? c) Quelle sont celles qui conservent les distances Définition : Une isométrie plane est une application du plan dans lui-même qui conserve les distances Ce que signifie : pour tout point M et N d images respectives M et N on a MN=M N Application 1: Activité 2: ( ) 1) A et B deux points du plan ; soit A l image de A par une isométrie f sur quelle ensemble peut-on choisir l image B de B par f construire cet ensemble 2) le plan est muni d un repère orthonormé direct O, u, v on considère l application f du plan dans luimême qui à tout point M d affixe z associe le point M π i 4 d affixe z ' = e z a) montrer que f est une isométrie b) Justifier que f est une rotation que l on caractérisera 1) Soit f une isométrie, A, B et C trois d images respectives A, B et C par f a) Compléter wwwzribimathsjimdocom 1

2 LSMarsa Elriadh 2 BC = ( AC AB) 2 = 2 B ' C ' = b) En déduire que AB AC = A' B ' A' C ' 2) Montrer que si f une application qui conserve le produit scalaire alors f est une isométrie Une application du plan dans lui-même est une isométrie si et seulement si elle conserve le produit scalaire Application 2: Soit A, B et C trois points distincts du plan d image respectives A, B et C par une isométrie f BAC = B ' A ' C ' montrer que ( ) ( ) Une isométrie conserve les mesures des angles géométriques Conséquence : Les images par une isométrie de trois points non alignés sont trois points non alignés Activité 3: Soit f une isométrie du plan ( O, OI, OJ ) un repère orthonormé Soit O =f(o) ; I =f(i) et J =f(j) 1) Montrer que ( O ', O ' I ', O ' J ') 2) Prouver que si M(x,y) dans ( O, OI, OJ ) ( O ', O ' I ', O ' J ') est un repère orthonormé et M =f(m) ; alors que M (x,y) dans f une isométrie du plan ( O, OI, OJ ) un repère orthonormé ; notons O =f(o) ; I =f(i) et J =f(j) ; alors Montrer que ( O ', O ' I ', O ' J ') est un repère orthonormé si M(x,y) dans ( O, OI, OJ ) et M =f(m) ; alors M (x,y) dans ( O ', O ' I ', O ' J ') wwwzribimathsjimdocom 2

3 LSMarsa Elriadh Application 3: Soit f une isométrie du plan muni d un repère orthonormé ( O, OI, OJ ) O =f(o) ; I =f(i) et J =f(j) ; soit N(x,y) dans ( O ', O ' I ', O ' J ') on désigne par notons 1) Montrer que N admet un unique antécédent M par f 2) Soit g la réciproque de f ( c'est-à-dire l application qui à tout N du plan associe son unique antécédent M par f) vérifier que g est une isométrie Une isométrie f est une bijection du plan dans lui-même L application du plan dans lui-même qui à tout point N du plan associe son unique antécédent M par f est une isométrie appelée réciproque de f et noté f -1 f(m) =N si et seulement si f -1 (N)=M f -1 (N)=M f -1 f N=f(M) Conséquences : La réciproque d une symétrie orthogonale est elle-même La réciproque d une translation de vecteur u est la translation de vecteur u La réciproque d une rotation de centre I et d angle α est la rotation de centre I et d angle α Activité 4: Soit f une isométrie du plan muni d un repère orthonormé ( O, OI, OJ ) N(x N,y N ) dans ( O ', O ' I ', O ' J ') soient M(x M,y M ) et on désigne par O =f(o) ; I =f(i), J =f(j), M =f(m) et N =f(n) 1) Montrer que M ' N ' x est de composantes N xm ( dans O ' I ', O ' J ' ) y N y 2) P,Q, R et S des points du plan d images respectives par f P, Q,R et S Montrer que si MN = apq + brs alors M ' N ' = ap ' Q ' + br ' S ' M f une isométrie du plan, A, B, C et D des points d images respectives A, B, C et D par f Si AB = αcd alors A ' B ' = αc ' D ' ou α IR wwwzribimathsjimdocom 3

4 LSMarsa Elriadh Propriétés : Une isométrie conserve le barycentre de deux points ; en particulier elle conserve le milieu d un segment L image d une droite par une isométrie est une droite L image d un segment par une isométrie est un segment qui lui est isométrique Les images de deux droites parallèles par une isométrie sont deux droites parallèles L image d un parallélogramme par une isométrie est un parallélogramme Les images de deux droites perpendiculaires par une isométrie sont deux droites perpendiculaires L image d un cercle par une isométrie est un cercle qui lui est isométrique L image d une tangente à un cercle en un point M est la tangente au cercle image au point image M Exercice 1 : On considère quatre points A, B, C et D tel que AB = CD et f une isométrie telle que f(a)=a, f(bà)b, f(c)=c et f(d)=d 1) On suppose que A=B montrer que A' B ' = C ' D ' 2) On suppose que A B 3) a) justifier que [AD] et [BC] ont le même milieu Exercice 2: b) en déduire que A' B ' = C ' D ' A, B et C trois points d images respectives A, B et C par une isométrie f 2 2 1) montrer que ( A' B ' α A' C ') = ( AB α AC ) ou α IR 2) en déduire que si AB = α AC alors A ' B ' = α A ' C ' Exercice 3: soit ABC un triangle équilatéral direct I, J et K les milieux respectives de [AB], [BC] et [CA] Soit r la rotation qui transforme B en C a) quelle est l image de I par r b) on note C l image de C par r démontrer que (KC ) est perpendiculaire à (AC) c) en déduire l image de (IC) par r wwwzribimathsjimdocom 4

5 LSMarsa Elriadh 2) Composition d isométries : Activité 5: f et g deux isométries ; montrer que fog est une isométrie La composée de deux isométries est une isométrie Activité 6: Soient f et g deux isométries 1) Supposons que f -1 =g soit N un point du plan et f(m)=n ; déterminer fog(n) ; conclure 2) Supposons que fog=id soit N un point du plan et g(n)=m ; prouver que f(m)=n ; conclure f et g deux isométries f -1 =g si seulement si fog =Id Activité 7: f g et h trois isométrie 1) Determiner (fog)o(g -1 of -1 ); conclure 2) a) prouver que si f=g alors hof=hog b) prouver que si hof=hog alors f=g c) conclure 3) Prouver que si h=fog alors f=hog -1 Propriétés : f, g et h trois isométries : (fog) -1 =g -1 of -1 f=g si et seulement si hof=hog si h=fog alors f=hog -1 wwwzribimathsjimdocom 5

6 LSMarsa Elriadh Activité 8: Soit D et D deux droites parallèles I un point de D et J son projeté orthogonale sur D M un point du plan, on désigne par M 1 =S D (M) et M =S D (M 1 ) a) Déterminer S D os D (M) b) Justifier que t ( M ) M ' ou u = = IJ 2 u c) Conclure d) Préciser S D os D Soit D et D deux droites parallèles La composée de la symétrie orthogonale S D d axe D, par la symétrie orthogonale S D d axe D est la translation de vecteur 2u, ou u = IJ, I un point de D et J son projeté orthogonales sue D : S D os D = t 2u Activité 9: Soit t une translation de vecteur non nul u Choisissant arbitrairement une droite D de vecteur normal u a) Tracer la droite D = t 1 (D) 2 u b) Préciser S D os D Conclure Une translation est la composée de deux symétries orthogonales d axes parallèles u Si t est la translation de vecteur non nul u alors t = S os ou D une droite choisie arbitrairement de vecteur normale u et D = t 1 (D) 2 u u D ' D 1 2 u Application 4: ABC un triangle équilatéral, I le milieu de (AC); la droite perpendiculaire à (BC) en B montrer que S( AI ) ot = S BC wwwzribimathsjimdocom 6

7 LSMarsa Elriadh Activité 10: D et D deux droite sécantes en O et de vecteurs directeurs u et u ' M un point du plan, M 1 =S D (M) et M =S D (M 1 ) ; on pose ( u, u ') θ [ 2π ] a) Déterminer S D os D (M) b) Montrer que OM=OM et en déduire r( O, )( M ) θ ( OM, OM ') 2θ [ 2π ] ; θ c) Conclure d) Préciser S D os D Soit D et D deux droites sécantes en O et de vecteurs directeurs u et u ' La composée de la symétrie orthogonale S D d axe D, par la symétrie orthogonale S D d axe D est la rotation de centre O et d angle 2θ ou u, u ' θ 2π : S D os D = r (O,2θ) Activité 11: ( ) [ ] Soit r une rotation de centre O et d angle θ ; choisissons arbitrairement une droite D passant par O a) Tracer la droite D = r ( D) θ O, 2 b) Préciser S D os D ; conclure Une rotation est la composée de deux symétries orthogonales d axes sécants Si r est la rotation de centre O et d angle θ alors r= S D os D ; ou D une droite choisie arbitrairement et D = r ( D) θ O, 2 Application 5: Soit ABC un triangle équilatéral direct ; on considère la rotation r de centre B et d angle 3 π on note I le milieu de [AC] et J son symétrique par la symétrie d axe (BC) Déterminer les droite 1, 2 et 3 telles que r = S os ; r = S os ; r = S os ( BC) 1 2 ( BI ) 3 ( Bc) wwwzribimathsjimdocom 7

8 LSMarsa Elriadh Exercice 1: Soit ABCD un carré direct On considère les rotations r de centre A et d angle 2 π et r de centre B et d angle π on pose f =ror 1) Déterminer f(b) puis f(c) 2) a) déterminer la droite tel que r=s os (AB) b) déterminer la droite tel que r =S (AB) os 3) Déterminer la nature et les élément caractéristique de f Exercice 2: Soit un parallélogramme ABCD, la médiatrice de [AB] et la médiatrice de [CD] On pose P=S (B) et Q=S (D) quelle est la nature du quadrilatère APCQ Exercice 3: (C) et (C ) deux cercles sécants en A et B D et D deux droites parallèles passants par A et B ; rencontrent (C) en P et Q et (C ) en P et Q et les diamètres de (C) et (C ) perpendiculaires à D 1) préciser S os 2) Quelle est la nature du quadrilatère PP Q Q? Exercice 4 : Soit un rectangle ABCD, on désigne par E le symétrique de B par rapport à A et par F le symétrique de B par rapport à C une droite passant par B coupe (AD) en E et (CD) en F 1) Préciser S (DC) os (DA) 2) Montrer que les droites (EE ) et (FF ) sont parallèles Exercice 5: Soit ABCD un carré de sens direct M un point de (BD) et P, Q, R et S ses projetés orthogonales sur les cotés ma médiatrice de [MQ] 1) Préciser la nature et les éléments caractéristique de f= S (BD) os 2) Montrer que les droites (MC) et (PS) sont perpendiculaires wwwzribimathsjimdocom 8

9 LSMarsa Elriadh 3) Isométries et points fixes : Activité 12: f une isométrie du plan différente de l identité, A un point du plan et A =f(a) Montrer que si M est un point fixe par f alors M est un point de la médiatrice de [AA ] Soit f une isométrie différente de l identité, A un point du plan et A son image par f les points fixes de f, s ils existent, sont sur la médiatrice de [AA ] Activité 13: Soit f une isométrie qui fixe deux points distincts A et B ; M appartenant à (AB) et M =f(m) En remarquant que AM = α AB montrer que M=M Conclure Si une isométrie fixe deux points distincts A et B alors elle fixe tout point de la droite (AB) Activité 14: Soit f une isométrie qui fixe trois points non alignés A, B et C M un point du plan et M =f(m) En remarquant que AM = α AB + β AC montrer que M=M Conclure Une isométrie fixe au moins trois points non alignés, si et seulement si, c est l identité du plan Activité 15: A, B et C trois points non alignés f et g deux isométries telles que f(a)=g(a)=a ; f(b)=g(b)=b et f(c)=g(c)=g on pose h= f -1 og ; déterminer h(a) ; h(b) et h(c) Conclure Deux isométries qui coïncident en trois points non alignés coïncident partout On dit qu une isométrie est parfaitement déterminée par la donnée de trois points non alignés et leurs images Activité 16: Soit f une isométrie différente de l identité et qui fixe deux points distincts A et B montrer que f=s (AB) wwwzribimathsjimdocom 9

10 LSMarsa Elriadh Si une isométrie f fixe exactement deux points distincts A et B alors f est la symétrie orthogonale d axe (AB) Activité 17: Soit f une isométrie qui fixe un unique point I ; A un point distinct de I et A =f(a) on note la médiatrice de [AA ] On pose g=s of a) Déterminer g(i) et g(a) ; en déduire la nature et les éléments caractéristiques de g b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f Si une isométrie f fixe un unique point I alors f est une rotation de centre I et d angle non nul Activité 18: O un point du plan, f une isométrie et f(o)=o soit g = t of O' O Vérifier que g est une isométrie qui fixe O Justifier que f se décompose de manière unique en la composée d une translation et d une isométrie qui fixe O Soit f une isométrie et O un point du plan L isométrie f se décompose de manière unique sous la forme tog ou g une isométrie qui fixe O et t = t OO' Activité 19: Soit f une isométrie sans points fixes ; il s agit de montrer que f est soit une translation de vecteur non nul, soit la composée d une translation de vecteur non nul u et d une symétrie orthogonale d axe de vecteur directeur u O un point du plan et O =f(o) ; on sait qu il existe une unique isométrie g qui fixe O tel que f = t og OO' g est donc : soit l identité du plan, soit une rotation d angle non nul, soit une symétrie orthogonale 1) si g =id ; identifier f wwwzribimathsjimdocom 10

11 LSMarsa Elriadh 2) si g = r( I, α ) soit D la droite passant par O et orthogonale à OO ' Déterminer les droite et telles que t = S os et r( ) = S os ' Identifier f conclure 3) si g = S ( O ) OO' D I, α D a) on suppose que OO ' est orthogonale à Identifier f et conclure b) on suppose que OO ' est colinéaire à Montrer que f n a pas de points fixes c) on suppose que OO ' est ni colinéaire, ni orthogonale à Identifier f Toute isométrie sans points fixes est soit une translation de vecteur non nul, soit la composée d une translation de vecteur non nul u et d une symétrie orthogonale d axe de vecteur directeur u Une isométrie se décompose en au plus trois symétries orthogonales wwwzribimathsjimdocom 11

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