TDC Diffraction de la lumière

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1 PSI Moissn TD Diffrction Février 3 TDC Diffrction de l lumière I Apodistion. On peut écrire, compte tenu de l trnsprence du diphrgme qui s intègre en ż { spα, tq Ks piωtq { pα α qx dx spα, tq Ks piωtq pα α q spα, tq Ks piωtq pα α q spα, tq Ks piωtq pα α q On fit lors ppritre l fonction c j { pα α qx { j iπ iπ pα α q pα α q π ı i pα α q π spα, tq Ks piωtq πpα α q pα α q L intensité diffrctée est lors égle à π Ipαq K s c pα α q π Ks piωtq πpα α q π Ks piωtqc pα α q π I c pα α q pα α q Qund on les deux étoiles dns des directions α et α, on dditionne les intensités puisque les étoiles ne sont ps des sources cohérentes π π I t pαq I c pα α q ` I c pα α q Si les intensité sont identiques, lors le critère à utiliser est celui de Ryleigh : il fut que l lrgeur ngulire à mi huteur de chcun des deux c plus petite que l écrt ngulire entre les deux étoiles ε α α, ε ą Si I! I, lors le critère n est plus vlble cr le mximum principl de l deuxième étoile peut être noyé dns un mximum secondire de l première.

2 PSI Moissn TD Diffrction Février 3. On peut écrire, compte tenu de l trnsprence du diphrgme ż { πx spα, tq Ks piωtq { pα α qx dx On coupe le inus en deux onentielles complexes spα, tq C spα, tq Ks piωtq ż { { iπx ż { { iπx ` iπx ż { pα α qx dx ` { j pα α qx dx iπx pα α qx dx spα, tq C ż { { π ix pα α q ` π ż { π dx ` ix { pα α q π dx qui s intègre en spα, tq Cp i ` π pα α q ` π ` i ` π pα α q π π ix pα α q ` π j { { π ix pα α q π j { q { et spα, tq Cp i ` π pα α q ` π i ` i ` π pα α q π spα, tq Cp` π pα α q ` π `` π pα α q π π i pα α q ` π j π pα α q π j q On reconnit pα π{q pαq et pα ` π{q pαq spα, tq Cp ` π pα α q ` π `` π pα α q π π pα α q ` π ı π pα α q π ı q π ı pα α q π ı pα α q q

3 PSI Moissn TD Diffrction Février 3 et en mettnt en fcteur et en réduisnt u même dénominteur j π spα, tq C ` π pα α q ` π ` ` π pα α q π pα α q» fi π C fl π π pα α q π pα α q En simplifint et en remplçnt C pr s vleur ce qui donne pour l intensité spα, tq C π pα α q spα, tq Ks piωtq π Ipαq K s π pα α q π pα α q pα α q π pα α q π j pα α q L fonction ses minim pour π pα α q π pα α q pk ` q π k étnt exclu cr ce n est ps un minimum. On α α 3 pour le premier minimum. Le pic centrl est plus lrge que dns l ouverture simple. Le mximum principl se trouve dns l direction α α qui permet de mximiser le inus, I mx K s π p q π K s un mximum tténué d un fcteur. pr rpport à l ouverture simple. π On peut lors réécrire π Ipαq I mx j 6 pα α q pα α q Les mximums secondires correspondent à des mximums du inus, hors du pic centrl, π pα α q ce qui donne π pα α q nπ 3

4 PSI Moissn TD Diffrction Février 3 α α n Le premier mximum secondire est le premier à correspondre à cette condition et hors du pic principl L vleur du premier mximum secondire est Ipαq I mx «6 p q α α ff I mx 6 Le mximum secondire est fois plus fible. pq ı I mx 6 5, On peut écrire, compte tenu de l trnsprence du diphrgme «ż { spα, tq Ks e iωt x ż pα α qx dx ` ` x ff { pα α qx dx On trnsforme l deuxième intégrle ż ` x pα α qx dx { ż { et on utilise une nouvelle vrible d intégrtion x x (dx dx ) ż { ` x pα α qx dx On peut réécrire l mplitude complexe ż { spα, tq Ks e iωt x On reconnit le inus, spα, tq Ks e iωt ż { ż { ` x pα α qx dx x pα α qx p qdx pα α qx ` j pα α qx dx x π pα α qx dx On intègre pr prtie spα, tq Ks e iωt r x j π pα { α qx πpα α qx ż { π pα α qx πpα α q dxs Le premier terme est nul cr en x le us est nul et en x { c est le terme x reste ż { π spα, tq Ks e iωt pα α qx πpα α q dx qui est nul. Il

5 PSI Moissn TD Diffrction Février 3 qui donne et s intègre en et Or pq pq spα, tq Ks e iωt πpα α q ż { spα, tq Ks e iωt πpα α q πpα α q π pα α qx dx j π { pα α qx spα, tq Ks e iωt π π pα α q pα α q j ` On cherche à fire ppritre un us crdinl spα, tq Ks e iωt spα, tq Ks e iωt π ı π pα α q pα α q spα, tq Ks e iωt π π pα α q pα α q π π pα α q pα α q Ks e iωt π c pα α q ce qui donne comme intensité Ipαq K s π c pα α q L intensité mximle est fois plus fible que l ouverture simple. Les minim se situent là où le us est égl à π pα α q π pα α q nπ α α n le premier minimum est deux fois plus loin que dns l ouverture simple. Les mximums secondires correspondent u mximum du us en dehors du pic principl π pα α q π pα α q pn ` q π α α pn ` q 5

6 PSI Moissn TD Diffrction Février 3 n donne une vleur dns le pic principl, le premier mximum secondire est qui pour vleur Ipαq I mx π 3 α α 3 I mx 3π.3 3 On ggné un nouveu fcteur u prix d un élrgissement et d une tténution du pic centrl. II Résolution d une lunette. L L θ O F F F θ D près le schém tn θ h F et tn θ h F F tn θ F tn θ Comme les ngles sont petits, θ θ F 6 8 F Le grossissement est bien évidemment négtif en vleur lgébrique. Le cercle oculire est l imge de l monture à trvers l oculire. Compte tenu du montge focl F F, l distnce entre les deux lentilles vut d 6, m. On peut lors ppliquer l reltion de conjugison pour déterminer l position p du cercle oculire OA OA f p 6, `, p.5 cm, qusiment dns le pln focl imge de L ce qui est cohérent vec le fit que l distnce entre les deux lentilles est très grnde devnt l distnce focle de l lentille L. L objet peut être considéré comme étnt qusiment à l infini (voir réglge du goniomètre vec un objet lointin). Le grndissement est lors égl à γ OA OA. 6 8 le dimètre du cercle oculire est d 8, cm 8 6

7 PSI Moissn TD Diffrction Février 3. Le dimètre ngulire de l tche de diffrction d une ouverture circulire est donné pr θ d, 6,.5 { rd 3. Le critère de Ryleigh impose que l écrt entre les deux étoile doit être supérieur à θ d.67 6 rd.. Il fut que l écrt ngulire θ supérieur à β. Comme θ Gθ d. G {, on ă.g β.8 m III Diffrction pr un défut dns une lme de verre. On pose " tpxq t pn qe x ą t pn qpe hq x ă t pxq t j pn qe ce qui permet d écrire l trnsprence sous l forme " t tpxq x ą t pn qh x ă On peut lors écrire l trnsprence sous l forme tpxq t pxq ` t pxq vec " x ą t pxq t pn qh x ă L mplitude diffrctée spα, tq s écrit lors comme l somme des mplitude diffrctées pr les pupilles de trnsprence t pxq et t pxq spα, tq s pα, tq ` s pα, tq vec ż s pα, tq K s e iωt t pxq αx dx et s pα, tq K s e iωt ż Σ Σ t pxq αx dx On clcule l première intégrle, t étnt une constnte ż s pα, tq K s e iωt t αx dx Cette intégrle étnt une intégrle sur le pln de l pupille vec une trnsprence uniforme t, elle ne donne de contribution non nulle que pour α (imge géométrique). L deuxième intégrle donne s pα, tq K s e iωt ż { { Σ j j t pn qh αx dx 7

8 PSI Moissn TD Diffrction Février 3 Là encore, l trnsprence t est uniforme sur le domine d intégrtion, j j ż { s pα, tq K s e iωt t pn qh ce qui donne { αx j j πα s pα, tq K s e iωt t pn qh c dx On peut lors clculer l intensité en dehors de l imge géométrique πα j Ipαq K s t c pn qh j pn qh ( t ) que l on écrit πα Ipαq K s c ` j pn qh πα j π Ipαq K s c pn qh πα j π Ipαq I c pn qh pn qh j. S il n y ps de cche, l ensemble pl, L 3 q forme l imge de l lme sur l écrn. Comme le sillon ne fit qu introduire un déphsge supplémentire, il n pprit ps sur l imge. Rppel : l figure de diffrction s observe dns le pln de l lentille L! Si le cche est présent, l onde près le cche pour mplitude complexe s s, qui un fcteur près constnt spα, tq K s e iωt t pn qh j j t pn qh j j c πα est l ression de l mplitude diffrctée pr une fente fine infiniment longue sur l xe Oy, de lrgeur sur Ox, dont l mplitude diffrctée est πα spα, tq K s e iωt c L imge d une fente pr le système de lentille pl, L 3 q est une fente nette, puisque le pln de l écrn est le pln conjugué de l fce de sortie de l lme pr pl, L 3 q. On doit observer une imge clire du sillon sur un fond sombre. Le défut, invisible normlement, est mis en évidence pr strioscopie. Il fut, pour que le montge fonctionne, que les défuts soient petits, et donnent un us crdinl très étlé, fin que le cche n bsorbe ps l mplitude diffrctée s en même temps que le fisceu α. L condition est r! f, cr dns l pproximtion des petits ngles. c πα» c πx f jj 8

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