Espaces vectoriels Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

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1 Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2. Espace vectoriel On appelle k-espace vectoriel un ensemble E muni d une loi de composition interne notée + et d une loi de composition externe d ensemble d opérateurs k noté vérifiant 1. (E,+) est un groupe commutatif (d élément neutre noté 0) ; 2. λ (x + y) =λ x + λ y pour tout λ k et tous x, y E ; 3. (λ + µ) x = λ x + µ x pour tous λ,µ k et tout x E ; 4. λ (µ x) = (λµ) x pour tous λ,µ k et tout x E ; 5. 1 x = x pour tout x E (1 étant l élément neutre pour la multiplication de k). Un élément de E est appelé un vecteur et un élément de k un scalaire. Exemple 3. Espaces vectoriels usuels a. L ensemble k est naturellement un k-espace vectoriel. b. Soit n N. L ensemble k n est un espace vectoriel. c. Soit A un ensemble et E un espace vectoriel. L ensemble F(A, E) des applications de A dans E est naturellement muni d une structure d espace vectoriel, les lois étant définies par f, g F(A, E) λ k f + g A E et λf x f(x)+g(x) A E x λf(x) En particulier l ensemble des suites à valeurs dans k et ou l ensemble des applications de k dans k sont des espaces vectoriels. d. L ensemble des polynômes à coefficients dans k est naturellement muni d une structure d espace vectoriel. Proposition 4. Propriétés élémentaires Soit E un espace vectoriel, λ,µ k, x, y E. Alors a. λ 0 E =0 E ; b. 0 k x =0 E ; c. λ ( x) = ( λ) x = (λ x) ; d. λ (x y) =λ x λ y et (λ µ) x = λ x µ x. e. λ x =0 E = λ =0 k ou x =0 E. Preuve a. On a λ (0 E +0 E )=λ 0 E donc λ 0 E + λ 0 E = λ 0 E soit λ 0 E =0 E. b. De même 0 k x = (0 k +0 k ) x =0 k x +0 k x d où 0 k x =0 E. c. On a λ (x +( x)) = λ 0 E donc λ x + λ ( x) = 0 E et λ ( x) = (λ x). Et 0 E =0 k x =(λ +( λ)) x = λ x +( λ) x soit ( λ) x = (λ x). d. On a λ (x y) =λ (x +( y)) = λ x +( λ) y = λ x λ y. e. Supposons que λx =0 E et λ 0. Le scalaire λ admet un inverse dans k et x =1 x =(λ 1 λ) x =0 E D où le résultat.

2 2 Espaces vectoriels Définition 5. Combinaison linéaire Soit E un espace vectoriel sur k. a. Soit u 1,u 2,..., u p des vecteurs de E. Tout vecteur de la forme p λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p = λ k u k où λ 1,..., λ p sont des éléments de k, est appelé combinaison linéaire des vecteurs u 1,u 2,..., u p. Les scalaires λ 1,..., λ p sont les coefficients. b. Une famille de vecteurs (ou un système de vecteurs) de E indexée par un ensemble I est, par définition, une application de I dans E, une telle famille se note usuellement (v i ) i I. (On prendra garde au fait qu une famille de vecteurs de E n est pas, en général, une partie de E car on peut avoir v i = v j avec i j.) c. Soit A une famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire d éléments de A, tout vecteur v E pouvant s écrire sous la forme v = λ 1 v λ p v p avec p N, v 1,..., v p A et λ 1,... λ p k. (Même si A est infinie, les combinaisons linéaires sont toujours finies et si p = 0, alors v = 0.) Définition 6. Application linéaire Soit E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F. a. On dit que f est un homomorphisme d espaces vectoriels ou une application linéaire si elle vérifie les conditions suivantes a.1. f(x + y) =f(x)+f(y) pour tous x, y E ; a.2. f(λ x) =λ f(x) pour tout x E et tout λ k. b. On appelle endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E, forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans k, isomorphisme de E dans F toute application linéaire bijective de E dans F et automorphisme de E toute endomorphisme bijectif de E. S il existe un isomorphisme de E dans F, on dit que E et F sont des espaces vectoriels isomorphes. c. On note L(E, F ) l ensemble des applications linéaires de E dans F, E l ensemble L(E,k) des formes linéaires de E (il est appelé le dual de E), L(E) l ensemble des endomorphismes de E et GL(E) l ensemble des automorphismes de E (qui appelé groupe linéaire). Remarque 7. a. Soit E et F deux espaces vectoriels et f L(E, F ). Alors f(0) = 0, en effet, f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), donc f(0) = 0. b. Soit E un espace vectoriel, l application id E identité de E dans E est linéaire. C est un automorphisme de E. Proposition 8. Caractérisation d une application linéaire Soit E et F deux espaces vectoriels et soit une application f: E F. a. L application f est linéaire si et seulement si k=1 u, v E λ,µ k f(λu + µv) =λf(u)+µf(v) b. Si f est linéaire, pour tous u 1,..., u p E et tous λ 1,..., λ p k on a ( p ) p f(λ 1 u λ p u p )=f λ k u k = λ k f(u k )=λ 1 f(u 1 )+ + λ p f(u p ) Preuve k=0 k=0 a. Si f est une application linéaire, alors pour tous u, v E et λ,µ k f(λu + µv) =f(λu)+f(µv) =λf(u)+µf(v) et par récurrence on montre le deuxième point.

3 Espaces vectoriels 3 b. Réciproquement, soit u, v E et λ k, on a f(u + v) =f(1 u +1 v) = 1 f(u)+1 f(v) =f(u)+f(v) f(λ u) =f(λ u +0 u) =λ f(u)+0 f(u) =λ f(u) Ainsi f est linéaire. Proposition 9. Opérations sur les applications linéaires Soit E, F, G trois espaces vectoriels. a. Soit f: E F et g: E F deux applications linéaires et λ,µ k. L application λf + µg E F x λf(x)+µg(x) est linéaire. b. Si f: E F et g: F G sont deux applications linéaires alors g f: E G est linéaire. c. Si f: E F un isomorphisme alors f 1 : F E est linéaire. Preuve a. Soit u, v E et soit α, β k, on a (λf + µg)(αu + βv) =λf(αu + βv)+µg(αu + µv) = λ ( αf(u)+βf(v) ) + µ ( αg(u)+βg(v) ) ainsi λf + µg est une application linéaire. b. Soit u, v E et soit λ,µ k, on a = α(λf(u)+µg(u) ) + β(λf(v)+µg(v) ) = α(λf + µg)(u)+β(λf + µg)(v) g f(λu + µv) =g ( f(λu + µv) ) = g ( λf(u)+µf(v) ) ainsi g f est une application linéaire. c. Soit u, v F et λ,µ k, on a = λg ( f(u) ) + µg ( f(v) ) = λg f(u)+µg f(v) f 1 (λu + µv) =f 1( λf ( f 1 (u) ) + µf ( f 1 (v) )) = f 1( f ( λf 1 (u) ) + µf 1 (v) )) = λf 1 (u) ) + µf 1 (v) ainsi f 1 est linéaire. Remarque 10. Soit E et F deux espaces vectoriels. L ensemble L(E, F ) est muni, de façon naturelle, d une structure d espace vectoriel et l ensemble L(E) est muni, de façon naturelle, d une structure d algèbre, le produit étant la composée des applications et l unité est l application identique id E. De plus, l ensemble GL(E) est muni naturellement d une structure de groupe, c est le groupe des inversibles de l anneau L(E). Définition 11. Sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel. Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si a. 0 E F ;

4 4 Espaces vectoriels b. x, y F x+ y F ; c. λ k, x F λx F. Remarque 12. a. Un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel. En particulier, pour montrer qu un ensemble possède une structure d espace vectoriel, il est souvent plus simple de montrer que c est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel connu. b. Un sous-espace vectoriel n est jamais vide car il contient l élément nul. Exemple 13. a. Si E est un espace vectoriel, E et {0 E } sont des sous-espaces vectoriels de E. b. Soit E un espace vectoriel et a E\{0}. L ensemble D a = {λa; λ k} est un sous-espace vectoriel de E appelé droite vectorielle. c. L ensemble F = {(x, y, z) R 3 ; x y +2z =1} n est pas un sous-espace vectoriel de R 3 car 0 R 3 F. d. Par contre l ensemble F = {(x, y, z) R 3 ; x y +2z =0} est un sous-espace vectoriel de R 3. e. L ensemble C(R, R) des applications continues de R dans R est un sous-espace vectoriel de F(R, R). f. Soit E et F des espaces vectoriels. Alors l ensemble des endomorphismes L(E, F ) est un sous-espace vectoriel de F(E, F ). Proposition 14. Caractérisation d un sous-espace vectoriel Soit E un espace vectoriel et soit F une partie de E. a. La partie F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si a.1. F est non vide ; a.2. u, v F, λ,µ k λu + µv F. b. Si F est un sous-espace vectoriel de E, toute combinaison linéaire de vecteurs de F appartient à F, i.e. p u 1,..., u p F λ 1,..., λ p k λ k u k F Preuve a. Supposons que F soit un sous-espace vectoriel de E. On a 0 F, donc F. Soit x, y F et λ,µ k, alors u = λx et v = µy sont des éléments de F et λx + µy = u + v F. Le deuxième point se déduit alors par récurrence. b. Réciproquement, il existe u F, car F. Alors 0 = 0 u +0 u F. Soit x, y F et λ k, on a x + y =1 x +1 y F et λx = λx +0u F Donc F est un sous-espace vectoriel de E. Proposition 15. Espace vectoriel quotient Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel. La relation x, y E k=1 x y x y F est une relation d équivalence compatible avec les lois d espaces vectoriels. Ainsi l ensemble quotient E/F est muni naturellement d une structure d espace vectoriel. Preuve Soit x, x, y, y E tels que x y et x y et soit λ k. On a x y F, x y F et (x + x ) (y + y ) = (x y)+(x y ) F et λx λy = λ(x y) F donc x + x y + y et λx λy. Ainsi les lois de l espace vectoriel sont compatibles avec la relation d équivalence.

5 Espaces vectoriels 5 Définition 16. Espace vectoriel produit Soit E 1,E 2,..., E n des espaces vectoriels. L ensemble produit E = E 1 E 2 E n est muni d une structure naturelle d espace vectoriel en posant pour (x 1,x 2,..., x n ) E, (y 1,y 2,..., y n ) E et λ k, (x 1,x 2,..., x n )+(y 1,y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1,x 2 + y 2,..., x n + y n ) λ (x 1,x 2,..., x n ) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n ) On dit que E est l espace vectoriel produit ou la somme directe extérieure de E 1,E 2,..., E n et est noté n i=1 E i ou n i=1 E i. L application E ψ i E i x (0,..., 0, x, 0..., 0) (le seul coefficient non nul étant x en position i) est l injection canonique de E i dans E. C est une application linéaire injective d image {0} { 0} {0} E i {0} {0}, elle permet d identifier E i à ce sous-espace vectoriel de E. L application π i E E i (x 1,x 2,..., x n ) x i est la projection canonique de E sur E i. C est une application linéaire surjective de noyau E 1 E 2 E i 1 {0} E i+1 E n. On a n π i ψ i = id Ei ; ψ i π i = id E Remarque 17. On retrouve le fait que k n (n N ) est un espace vectoriel. Définition 18. Noyau d une application linéaire Soit E et F deux espaces vectoriels, ϕ: E F une application linéaire. On appelle noyau de l application linéaire ϕ l ensemble i=1 ker(ϕ) ={x E; ϕ(x) = 0 F } = ϕ 1 ({0 F }) Théorème 19. Noyau et injection Une application linéaire ϕ: E F est injective si et seulement si ker(ϕ) ={0 E }. Preuve a. Si ϕ est injective, alors, pour x E, x ker(ϕ) ϕ(x) = 0 ϕ(x) =ϕ(0) x =0 donc ker(ϕ) ={0 E }. b. Supposons que ker(ϕ) ={0 E } et soit x 1 et x 2 deux éléments tels que ϕ(x 1 )=ϕ(x 2 ). Comme ϕ est linéaire, on obtient ϕ(x 1 x 2 )=ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )=0 E, soit x 1 x 2 ker(ϕ) donc x 1 x 2 = 0, x 1 = x 2. Ainsi ϕ est injective. Proposition 20. Image et image réciproque de sous-espaces vectoriels Soit E et F deux espaces vectoriels, ϕ: E F une application linéaire, A un sous-espace vectoriel de E et B un sous-espace vectoriel de F. Alors

6 6 Espaces vectoriels a. l ensemble ϕ(a) est un sous-espace vectoriel de F ; b. l image im(ϕ) =ϕ(e) est un sous-espace vectoriel de F ; c. l ensemble ϕ 1 (B) est un sous-espace vectoriel de E ; d. le noyau ker(ϕ) =ϕ 1 ({0 F }) est un sous-espace vectoriel de E. Preuve a. La partie A contient 0 E, donc ϕ(a) contient 0 F. Soit x, y ϕ(a) et λ,µ k. Il existe a, b A tels que x = ϕ(a) et y = ϕ(b). Alors λx + µy = λϕ(a)+µϕ(b) =ϕ(λa + µb). Puisque A est un sous-espace vectoriel, λa + µb est un élément de A et donc λx + µy est un élément de ϕ(a). Par conséquent, ϕ(a) est un sous-espace vectoriel de F. b. Cas particulier du précédent. c. De ϕ(0 E ) = 0 F et 0 F B, on en déduit que 0 E ϕ 1 (B). Soit x, y ϕ 1 (B) et soit λ,µ k. On a ϕ(λx + µy) =λϕ(x)+µϕ(y) et ϕ(x), ϕ(y) B, donc λϕ(x)+µϕ(y) B. On en déduit que λx + µy appartient à ϕ 1 (B). Par conséquent, ϕ 1 (B) est un sous-espace vectoriel de E. d. Cas particulier du précédent. Proposition 21. Intersection de sous-espaces vectoriels Soit E un espace vectoriel. Toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel de E. Preuve Soit (F i ) i I une famille de sous-espaces vectoriels et soit F = i F i = {x E; i Ix F i } Pour tout i I, on a 0 E F i, donc 0 E F. Soit x, y F et λ,µ k. Pour tout i I, x, y F i. Comme F i est un sous-espace vectoriel, λx + µy F i. Ainsi, λx + µy F. Donc F est un sous-espace vectoriel. Remarque 22. Réunion de sous-espaces vectoriels La réunion de sous-espaces vectoriels n est pas, en général, un sous-espace vectoriel. Par exemple, si F 1 = {(x, 0) R 2 ; x R} et F 2 = {(0,x) R 2 ; x R} alors F 1 F 2 n est pas un sous-espace vectoriel de R 2, il ne contient pas (1, 0) + (0, 1), or (1, 0) F 1 et (0, 1) F 2. Proposition 23. Sous-espace vectoriel engendré Soit E un espace vectoriel et A une famille non vide de vecteurs de E. On note Vect(A) l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de A. Par convention, on pose Vect( ) ={0 E }. a. La partie Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E. b. Soit F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors Vect(A) F. Le sous-espace vectoriel Vect(A) est appelé sous-espace vectoriel engendré par A, c est le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l inclusion) contenant A. Preuve a. Si A =, Vect(A) ={0 E } est un sous-espace vectoriel de E. Supposons maintenant A =. Alors Vect(A) est non vide, il contient A. Soit u, v Vect(A) et λ,µ k. Il existe a 1,..., a p A et λ 1,..., λ p,µ 1,..., µ p k tels que u = λ 1 a λ p a p et v = µ 1 a µ p a p (à priori les vecteurs de A constituant les combinaisons linéaires de u et v n ont aucune raison d être identiques, mais on peut le supposer quitte à mettre devant un coefficient nul). Alors λu + µv = λ(λ 1 a λ p a p )+µ(µ 1 a µ p a p ) = (λλ 1 + µµ 1 )a 1 + +(λλ p + µµ p )a p C est donc un élément de Vect(A) qui est ainsi un sous-espace vectoriel de E.

7 Espaces vectoriels 7 b. Soit x Vect(A), il existe u 1,..., u n A et λ 1,..., λ n k tels que x = λ 1 u 1 + +λ n u n. Alors, comme A F, on a u 1,..., u n F et x = λ 1 u λ n u n F Donc Vect(A) F. Exemple 24. Soit E un espace vectoriel et u, v deux vecteurs de E. Le sous-espace vectoriel engendré par u est Vect(u) ={λu E; λ k} et celui engendré par u et v est Vect(u, v) ={λu + µv E; λ,µ k}. Définition 25. Famille génératrice Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel. On dit qu une famille A de vecteurs de E est une famille génératrice de F si F = Vect(A). On dit encore que A engendre F. Exemple 26. Famille génératrice des espaces vectoriels usuels a. Pour i =1,..., n, on pose e i = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0), le 1 étant la i-ème coordonnée du vecteur. La famille (e 1,e 2,..., e n ) engendre l espace k n. En effet si x k n on a x =(x i ) 1 i n =(x 1,x 2,..., x n )=x 1 e 1 + x 2 e x n e n = n x k e k b. La famille (X n ) n N est une famille génératrice de k[x], en effet pour tout polynôme P k[x], il existe n N et a 0,..., a n k tels que P = a 0 + a 1 X + + a n X n = n a k X k c. Soit p N, la famille (1, X,..., X p ) est une famille génératrice de k p [X] l espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p. Théorème 27. Somme de sous-espaces vectoriels Soit F et G des sous-espaces vectoriels de E. Alors k=0 Vect(F G) ={u + v; u F et v G} On dit que c est la somme des sous-espaces vectoriels F et G, et on le note F + G. Preuve On pose A = Vect(F G) et B = {u + v; u F et v G}. Comme A est l ensemble des combinaisons linéaires d éléments de F G, on a B A. Inversement, soit v A. Le vecteur v est combinaison linéaire d éléments de F et de G, donc il existe λ 1,..., λ n,µ 1,..., µ p k, u 1,..., u n F et v 1,..., v p G tels que v = λ 1 u λ n u n + µ 1 v µ p v p En posant x = λ 1 u λ n u n F et y = µ 1 v µ p v p G, on a v = x + y B. Ainsi A B. Par conséquent A = B. Définition 28. Somme directe et supplémentaire Soit F et G des sous-espaces vectoriels de E. a. On dit que F et G sont en somme directe, ou que la somme F + G est directe, si F G = {0}. S il en est ainsi, on note la somme F G. k=1

8 8 Espaces vectoriels b. On dit que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires (dans E) si la somme de F et G est directe et est égale à E (i.e. F + G = E et F G = {0}), et on note E = F G. Remarque 29. Ne pas confondre les notions de supplémentaire et de complémentaire. Théorème 30. Somme directe et unicité de l écriture Soit F et G des sous-espaces vectoriels d un espace vectoriel de E. Ils sont supplémentaires si et seulement si pour tout u E, il existe un unique couple (v, w) F G tel que u = v + w et dans ce cas E est isomorphe à F G en tant qu espace vectoriel. Preuve a. Supposons que F et G soient supplémentaires. Soit u E. Comme F + G = E, il existe (v, w) F G tel que u = v + w. Supposons qu il existe un autre couple (v,w ) F G tels que u = v + w. Il vient v v = w w. Or v v F et w w G. On en déduit que v v F G = {0}, donc v = v, puis w = w. Ainsi (v, w) = (v,w ). On a montrer que l application qui à (u, v) F G associe u + v E est une bijection de F G sur E, il est clair qu elle est linéaire, c est donc un isomorphisme d espaces vectoriels. b. Réciproquement, F + G étant la somme des éléments de F et de G, on a F + G = E. Soit u F G. Alors 0 = u +( u) = avec u, 0 F et u, 0 G. Comme il y a unicité de l écriture, on obtient u = 0. Donc la somme F + G est directe. Ainsi F et G sont supplémentaires. Définition 31. Projection vectorielle Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d un espace vectoriel E. On appelle projection de E sur F parallèlement à G, l application de E dans F qui à un élément u E associe l unique élément v F tel que u v G (cet élément existe et est unique d après 30). Proposition 32. Caractérisation d une projection Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d un espace vectoriel E. projection p de E sur F parallèlement à G est une application linéaire qui vérifie p p = p p F = id F ker(f) =G im(f) =F Réciproquement, toute application linéaire p: E E telle que p p = p est appelée un projecteur de E, c est la projection de E sur im(p) parallèlement à ker(p) (qui sont par conséquent supplémentaires dans E). Preuve a. Soit u, v E et soit λ,µ k. On a λp(u)+µp(v) F et (λu + µv) ( λp(u)+µp(v) ) = λ ( u p(u) ) + µ ( v p(v) ) G donc p(λu + µv) = λp(u) + µp(v). Ainsi p est une application linéaire. Soit u F, on a u u =0 G, donc p(u) =u. Ainsi la restriction de p à F est l identité de F. Par définition de p, on a im(p) F. Et comme l image d un élément de F est lui-même, on a F im(p). Ainsi im(p) =F. De plus, pour tout u E, p(u) F, donc p p(u) =p ( p(u) ) = id F ( p(u) ) = p(u) Ainsi p p = p. Soit u E. On a u p(u) G, donc si u ker(p), alors u G. Réciproquement, si u G, alors 0 F et 0 u G, donc p(u) = 0 et u ker(p). Ainsi ker(p) =G. La

9 Espaces vectoriels 9 b. Soit p L(E) telle que p p = p. Soit u ker(p) im(p), il existe v E tel que u = p(v) et alors u = p(v) =p p(v) =p ( p(v) ) = p(u) = 0 Donc ker(p) im(p) ={0} et ker(p) et im(p) sont en somme directe. Soit u E, on a u = p(u)+ ( u p(u) ) et p étant linéaire p ( u p(u) ) = p(u) p ( p(u) ) = p(u) p p(u) = 0 donc u p(u) ker(p) et comme p(u) im(p), la somme de ker(p) et de im(p) est E. Par conséquent im(p) et ker(p) sont supplémentaires dans E. De plus pour tout u E, p(u) vérifie p(u) im(p) et u p(u) ker(p), donc p est la projection de E sur im(p) parallèlement à ker(p). Remarque 33. De manière générale, le noyau et l image d un endomorphisme ne sont pas supplémentaires. Proposition 34. Supplémentaire et quotient Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Alors tout sous-espace vectoriel supplémentaire de F dans E est isomorphe à E/F. Preuve Soit G un supplémentaire de F dans E. Il suffit de considérer la projection de E sur G parallèlement à F, son image est G et son noyau F. Par passage au quotient, elle induit un isomorphisme entre E/F et G. Proposition 35. Isomorphisme entre l image et un supplémentaire du noyau Soit E et F deux espaces vectoriels, f L(E, F ) une application linéaire et E un supplémentaire de ker(f) dans E. L application est un isomorphisme d espaces vectoriels. f E im(f) x f(x) Preuve Puisque f est linéaire, il est clair que f l est. Soit x E, x ker( f) f(x) = 0 f(x) = 0 x ker(f) x =0 car E ker(f) ={0}. Ainsi ker( f) ={0} et f est injective. Soit y im(f). Il existe x E tel que y = f(x). Et puisque E est un supplémentaire de ker(f) dans E, il existe (x 1,x 2 ) ker(f) E tel que x = x 1 + x 2 et alors y = f(x) =f(x 1 + x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )= f(x 2 ) Donc f est surjective. Ainsi f est un isomorphisme d espaces vectoriels de E sur im(f).

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