UNIVERSITÉ DE POITIERS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "UNIVERSITÉ DE POITIERS"

Transcription

1 UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des épreuves écrites des années 4-5, 5-6 et 6-7

2 PLAN DU COURS Référence : Mathématiques pour le DEUG. Algèbre er année, cours et exercices, François Liret et Dominique Martinais. Dunod. Définitions et règles de calcul. Définitions. Opérations sur les matrices.3 Propriétés des opérations.4 Matrices inversibles et matrice inverse..5 Matrice transposée, propriétés. Matrices élémentaires. Définitions. Opérations élémentaires sur les colonnes.3 Opérations élémentaires sur les lignes 3 Utilisation des opérations élémentaires Chapitre : MATRICES 4 Systèmes d équations linéaires 4. Matrices inversibles et systèmes d équations linéaires. 4. Méthode de Gauss. 4.3 Méthode de calcul de l inverse d une matrice. Définition. Définition. Exemples. Chapitre : DETERMINANT D UNE MATRICE Propriétés du déterminant. Cas des matrices triangulaires et des matrices élémentaires.. Propriétés de forme alternée..3 Déterminant d un produit, de l inverse et de la transposée. 3 Utilisation du déterminant 3. Inverse d une matrice 3. Systèmes linéaires «inversibles», formules de Cramer

3 Règles de calcul. Opérations. Espace vectoriel produit Chapitre 3 : ESPACES VECTORIELS Sous-espace vectoriel. Définitions.. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.3 Intersection et somme.4 Sous-espace vectoriel supplémentaire. 3 Indépendance linéaire 4 Bases et dimension 4. Définitions. 4. Théorème de la base incomplète 4.3 Applications 4.4 Dimension. 5 Sous-espaces vectoriels de dimensions finies Chapitre 4 : APPLICATIONS LINEAIRES Définitions et premières propriétés. Définitions. Somme d applications linéaires.3 Projection et symétrie.4 Application linéaire et image d une base..5 Applications linéaires et matrices.5 Composition et Isomorphismes Application linéaire et sous-espace vectoriel. Image d un sous-espace vectoriel. Noyau d une application linéaire.3 Théorème de la dimension 3 Matrice d une application linéaire. 3. Définition 3. Opérations. 3.3 Changement de bases. 3.4 Déterminant d un endomorphisme 3

4 EXERCICES Feuille : matrices Feuille : déterminants Feuille 3 : espaces vectoriels Feuille 4 : applications linéaires 4

5 Feuille : EXERCICES SUR LES MATRICES 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 Feuille : EXERCICES SUR LES DÉTERMINANTS

11

12

13 Feuille 3 : EXERCICES SUR LES ESPACES VECTORIELS 3

14 4

15 5

16 6

17 Feuille 4 : EXERCICES SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES 7

18 8

19 9

20

21 ANNÉE 4-5 Contrôle Examen Examen de seconde session

22 Contrôle de Mathématiques du mardi er mars 5, 8h5-h5. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. A. Questions de cours : Soit A = (a ij ) i n, j n une matrice carrée à n lignes et n colonnes. Pour i n, j n, qu appelle t on cofacteur du coefficient a ij? Donner la définition de la comatrice de A. Quelle est la relation entre A et sa comatrice? B. Exercices:. Soit A = Calculer t A.A, A est-elle inversible et quel est son inverse?. Soient a, b et c trois nombres réels. Résoudre le système suivant d abord par la méthode du pivot de Gauss, puis en utilisant les formules de Cramer : x + y + z = a x + 3y z = b 3x + y z = c Montrer que la matrice 3 3 est inversible et calculer son inverse. 3. Soient a, b, c et d quatre nombres réels et soit le déterminant suivant : = d c b a d c b a d c b a. Expliquer pourquoi ce déterminant est nul si deux des réels a, b, c ou d sont égaux. Calculer sous forme factorisée. 4. Calculer le déterminant suivant :

23 3 Epreuve de Mathématiques du vendredi mai 5, 9h-h. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. B. Questions de cours : Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), de dimension n. Soit f est un endomorphisme de E, c'est-à-dire une application linéaire de E dans E. ) Donner la définition des sous-espaces vectoriels suivants : Im f, Ker f. Quelle relation existe-t-il entre les dimensions de ces deux sous-espaces vectoriels de E? ) Si B = (e, e,, e n ) une base de E, qu appelle t on matrice de f dans la base B? 3) Soit B = (e, e,, e n ) une autre base de E. On pose A = Mat(f, B ) et A = Mat(f, B ). Donner et démontrer la relation existant entre A et A. 4) Démontrer que les matrices A et A ont le même déterminant. B. Exercices: 5. Soit A =, montrer que A est inversible et calculer son inverse. 6. Calculer le déterminant des matrices suivantes : , et :. : : : : a a a a a a a a a a n n n n 7. Dans l espace vectoriel E des applications de R dans R, montrer que l ensemble F des applications paires, et l ensemble G des applications impaires sont des sous-espaces vectoriels, et qu ils sont supplémentaires.

24 8. Soient f et g les deux applications de R 3 dans R définies par : f(x, y, z ) = (x+y+z, x-z) et g(x, y, z ) = (x² - y², y + z ). Les applications f et g sont-elles linéaires? Si oui, donner une base de leurs images et de leurs noyaux. 9. Soit E = (e, e, e 3 ) la base canonique de R 3, et h une application linéaire de R 3 dans R 3 dont la matrice dans la base canonique E est : 3 A = 4. 4 On pose F = (u, u, u 3 ) où u, u et u 3 sont des vecteurs de R 3 dont les coordonnées dans la base canonique sont : u = (,, ), u = (-,, ), et u 3 = (,, ). a) Montrer que F est une base de R 3. b) Ecrire la matrice de h dans la base F. On désigne par B cette matrice. c) Soit n> un nombre entier. Calculer B n. d) Calculer les vecteurs h n (e ), h n (e ), h n (e 3 ), ainsi que la matrice A n. 4

25 Epreuve de Mathématiques du vendredi 7 juin 5, 9h-h. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. C. Questions de cours : Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), de dimension n. ) Qu appelle t on base de E? ) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E. - Que signifie l expression «F et G sont supplémentaires»? - Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant les dimensions de F et de G, pour que F et G soient supplémentaires. D. Exercices:. Dans R 4 on considère les vecteurs u, u, u 3, u 4 et u 5 donnés par : u = (, -,, ), u = (,,, ), u 3 = (,,, ), u 4 = (, -, 3, ), et u 5 = (6,, 8, ). Soit E le sous-espace vectoriel de R 4 engendré par les vecteurs u, u et u 4, et F le sousespace vectoriel de R 4 engendré par u, u 3 et u 5. a) Pour chacun des sous-espaces vectoriels E, F, E + F et E F, donner une base. b) Déterminer un supplémentaire de E dans R 4.. Calculer les déterminants suivants : L L et M M O O O O M M L L 5

26 . a) Trouver les nombres réels x, y, z et t vérifiant le système suivant : x y z - t = x - y - z - t = x y z - t = x y z - t = b) On considère la matrice A de M 4 (R) définie par : A = On désigne par f l endomorphisme de R 4 dont la matrice, dans la base canonique est A. Déterminer une base du noyau de f et une base de son image. 3. Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( avec K = Q, R ou C), on désigne par f un endomorphisme de E. a) Montrer que : Ker( f ) Ker ( f o f ) et Im ( f o f ) Im ( f ). b) En déduire que si E est de dimension finie alors on a: Im ( f o f ) = Im ( f ) si et seulement si Ker( f ) = Ker ( f o f ). 6

27 ANNÉE 5-6 Contrôle Examen Examen de seconde session 7

28 Contrôle de Mathématiques du mercredi 4 mai 6, 4h-6h. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. E. Questions de cours : Soit A = (a ij ) i n, j n une matrice carrée à n lignes et n colonnes. Que signifie la terminologie : «A est inversible»? Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit inversible. Démontrer que s il existe une matrice carrée B, à n lignes et n colonnes, telle que AB = I, alors A et B sont inversibles. F. Exercices: 4. Soit x un nombre réel et soit D(n) le déterminant de la matrice (a ij ) i n, j n définie par : a ii = +x², a ij = x si i-j =, a ij = dans les autres cas ;. Exprimer D(n) en fonction de D(n-), D(n-) et x.. En déduire que D(n) D(n-) = x n-4 (D() D()) 3. En déduire la valeur de D(n). 5. Résoudre le système suivant en fonction du paramètre réel m : x + my + z = mx + y + (m-) z = m x + y + z = m+ 6. On dit qu une matrice carrée A est nilpotente, s il existe un entier k tel que A k =, a) Montrer qu une matrice A = (a ij ) i n, j n telle que a ij = pour i j est nilpotente. b) Soient deux matrices carrées A et B telles que AB = BA. Vérifier que pour tout entier n on a : n p q ( A + B) A B = n! p+ q= n p! q! En déduire que si de plus A et B sont nilpotentes alors leur somme A+B est une matrice nilpotente. c) Si A est qu une matrice carrée nilpotente, telle que A k = pour un entier k, on définit alors l exponentielle de la matrice A, noté e A, par : e A = I + A + A + A A k- ()! ()! (3)! ( k )! Démontrer qui si A et B sont deux matrices nilpotentes telles que AB = BA, alors on a : e A+B = e A e B. 8

29 Epreuve de Mathématiques du 5 juin 6 Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. G. Questions de cours : - Donner la définition du déterminant d une matrice carrée et énoncer quelques unes de ses propriétés. - Qu appelle t on base d un espace vectoriel sur R? - Soit h est une application R-linéaire de R n dans R n, donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que h soit bijective. H. Exercices: 7. On désigne par M la matrice suivante :. Calculer M M. En déduire que M est inversible et calculer M Déterminer le noyau et l image de l application linéaire f de R 3 dans R 4 dont la matrice A dans les bases canoniques est : A = Donner une base des espaces vectoriels Im f et Ker f. Compléter la base de Im f en une base de R Une application linéaire p de R n dans R n est appelée projecteur si pop = p. a- Montrer que si la matrice A d une application linéaire de R n dans R n dans la base canonique est de la forme: K K K M M O M L M A = K L M L L L L Alors cette application linéaire est un projecteur. b- Soit p un projecteur de R n dans R n. Montrer que si un vecteur x est dans l image de p, alors p(x) = x. 9

30 En déduire que Im(p) Ker(p) = {}. Montrer que R n = Im(p) Ker(p). Soit (e, e,, e k ) une base de Im(p). Montrer qu il existe des vecteurs e k+,, e n de Ker(p) tels que (e, e,, e k, e k+,, e n ) forment une base de R n. Ecrire la matrice de p dans cette base. c- Donner un exemple de deux projecteurs p et q de R n dans R n (n>) tels que p+q soit un projecteur. d- Soient p et q deux projecteurs R n dans R n tels que poq + qop =. Vérifier alors que p+q est un projecteur et que poq = qop =. Monter que : Ker(p+q) = Ker(p) Ker(q) et que Im(p) Im(q) = {}. En déduire que : Im(p+q) = Im(p) Im(q).. 3

31 Epreuve de Mathématiques du 3 août 6 La qualité de la rédaction et la rigueur des raisonnements seront des éléments majeurs d'appréciation de la copie. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. I. Questions de cours : Soit (e, e,, e n ) une base de R n, et soit f est une application R-linéaire de R n dans R n. - Qu appelle t on matrice de f dans la base (e, e,, e n )? On note Mat(f, (e, e,, e n ) ) la matrice définie ci-dessus. Soit (e, e,, e n ) une autre base de R n., et soit P la matrice dont les colonnes sont les coordonnées de (e, e,, e n ) dans la base (e, e,, e n ). - Exprimer la matrice Mat(f, (e, e,, e n ) ) en fonction de la matrice Mat(f, (e, e,, e n ) ) et de la matrice P. - Démontrer que les matrices Mat(f, (e, e,, e n ) ) et Mat(f, (e, e,, e n ) ) ont le même déterminant. Soit R muni de sa base canonique rotation, centrée à l origine, d angle θ. (ε, ε ). Donner dans cette base la matrice de la J. Exercices:. On désigne par M la matrice suivante :. 3 Montrer que M est inversible et calculer son inverse.. Soit n un entier naturel non nul. On désigne par E la matrice carrée à n lignes et n colonnes dont tous les éléments valent. Soient a, a,, a n n nombre réels, on désigne par Diag(a, a,, a n ) la matrice carrée, diagonale, dont les éléments de la diagonale sont successivement a, a,, a n. 3

32 On désigne par n le déterminant de la matrice E+Diag(a, a,, a n ).. Calculer = + a + a et 3 = + a + a + a 3. Pour n> démontrer la relation : En déduire la valeur de n n = a n n- + a.a a n-. Soit f l application linéaire de R 3 dans R 3 définie par : f (x,y,z) = (x-y+z, x+z, x-y+z) Déterminer l image et le noyau de cette application f. Donner une base de Im(f) et de Ker(f). Donner une base (e, e, e 3 ) de R 3 telle que la matrice de f dans cette base s écrive : Mat(f, (e, e, e 3 ) ) =. 3

33 ANNÉE 6-7 Contrôle Examen Examen de seconde session 33

34 Contrôle de Mathématiques du mardi mars, 8h5-h5. Ni les documents, ni les calculatrices ne sont autorisés. A. Questions de cours : ) Soit E un R- espace vectoriel de dimension n et soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. - Que signifie l expression «F et G sont supplémentaires»? - Donner une condition nécessaire et suffisante, utilisant les dimensions de F et de G, pour que F et G soient supplémentaires. ) Dans l espace vectoriel des fonctions de R dans R, montrer que le sous-espace vectoriel des fonctions paires et le sous-espace vectoriel des fonctions impaires sont supplémentaires. B. Problème : On note M 3 (C) le C- espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficients dans C. La matrice unité d ordre trois est notée I. a b b Soit E l ensemble des matrices de M 3 (C) de la forme M(a,b) = b a b avec a et b dans C. b b a ) Montrer que E est un espace vectoriel. Préciser la dimension et une base de E. Calculer le produit M(a,b).M(a,b ) où a, b, a b sont dans C. En déduire que si A et B sont deux matrices de E alors A.B est dans E et A.B = B.A. ) Exprimer le déterminant de M(a,b) sous forme factorisée. 3) Calculer l inverse de M(a,b) quand elle est inversible et montrer alors que l inverse est dans E. On considère, dans C 3, le système : ax + y + z = a² 3 x + ay + z = a 4 x + y + az = Pour quelles valeurs de a le système est-il de Cramer? Résoudre en ce cas le système avec les formules de Cramer. Résoudre le système dans les autres cas. 4) On pose A = M(,-). Montrer que, pour tout entier n, il existe deux entiers u n et v n tels A n = u n A + v n I. Préciser les relations de récurrence donnant u n et v n en fonction de u n- et v n-. 34

35 Examen de Mathématiques du lundi 4 mai, 8h5-h5. L usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit. La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans l appréciation de la copie. Exercice. Calculer le rang de la matrice suivante : Cette matrice est-elle inversible? Exercice. Soit a un paramètre réel quelconque. Résoudre le système suivant : x + 3y + 7z = 8 x 6y + 3z = a 3x + 9y + 5z = 8 Exercice 3. Calculer les deux déterminants suivants : (Indication : on évitera de développer directement) Exercice 4. Soit E un K-espace vectoriel engendré par un nombre fini de vecteurs. (a) Donner la définition d une base et de la dimension de E. Dans la suite on fixe E = R 4. Soient u = (,, 5, 8), u = (4, 6,, ), u 3 =(,, 9, 6), v = (, 4,, 3), v = (, 8, 4, 6) et v 3 = (, 8, 5, 8) des vecteurs de R 4. Notons F le sous-espace vectoriel de R 4 engendré par u, u et u 3 et G le sous-espace vectoriel de R 4 engendré par v, v et v 3. 35

36 (b) Déterminer une base de F et une base de G. (c) En déduire les dimensions de F et de G. (d) Calculer la dimension de F + G. (e) R 4 est-il la somme directe des sous-espaces vectoriels F et G? Exercice 5. Soit f l endomorphisme de R 4 dont la matrice dans la base canonique Ε 4 de R 4 est : Mat (f, Ε 4 ) = (a) Soit (x, y, z, t) un vecteur R 4, exprimer f(x, y, z, t). (b) Donner une base du noyau de f. (c) En déduire le rang de f. (d) Soit g l application de R 3 dans R 4 définie par : g(u, v, w) = ( u, v, -u+ v, w). Vérifier que g est linéaire. Expliquer pourquoi g ne peut pas être surjective. Calculer les matrices de g et de fog lorsque R 3 et R 4 sont munis de leur base canonique. (e) Montrer que l image de g et le noyau de f sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans R

37 37

38 38

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

LISTE DE QUESTIONS DE COURS

LISTE DE QUESTIONS DE COURS LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopié d Algèbre de 2008/2009 Chapitre 1 1. Définition 1.1 : Espace vectoriel. 2. Proposition 1.3 : Espace vectoriel produit. 3. Définition 1.2 : Sous-espaces vectoriels.

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Programme mat231, 2009 2010

Programme mat231, 2009 2010 Programme mat231, 2009 2010 (2 septembre 2009) Pierre Bérard Université Joseph Fourier Pierre.Berard@ujf-grenoble.fr Le programme de l ue mat231 a été recentré. Il portera cette année uniquement sur l

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. Lycée Louis le grand Année scolaire 2007/2008 Mathématiques Supérieure MPSI Semaine 12 11 mai 2009 1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. On note K le corps R ou C. 1.1 Axiomes d espace vectoriel.

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

Feuille 5 : Exercices sur les déterminants, quelques corrections

Feuille 5 : Exercices sur les déterminants, quelques corrections Université de Poitiers Mathématiques L SPIC, Module 2L2 2/2 Feuille 5 : Exercices sur les déterminants, quelques corrections Exercice 3 : Dans cet exercice, pour obtenir directement les polnômes sous forme

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 171 Matrices et applications

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

19. APPLICATIONS LINÉAIRES

19. APPLICATIONS LINÉAIRES 19. APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Dénitions générales. 1. 1 Applications linéaires. On dit qu'une application d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est linéaire si elle est compatible avec les

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2 Espaces euclidiens Table des matières 1 Définitions et exemples 1 Orthogonalité, norme euclidienne 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 4 Orthogonalisation de Schmidt 3 5 Sous-espaces orthogonaux 3

Plus en détail

22 Cours - Espaces vectoriels.nb 1/8. Espaces vectoriels. I) Généralités II) Applications linéaires III) Sous espaces vectoriels IV) Générateurs

22 Cours - Espaces vectoriels.nb 1/8. Espaces vectoriels. I) Généralités II) Applications linéaires III) Sous espaces vectoriels IV) Générateurs 22 Cours - Espaces vectoriels.nb /8 Espaces vectoriels K -espace vectoriel, loi de composition interne (commutative, associative), élément neutre, symétrique, loi externe, vecteur nul, E, sous espace vectoriel,

Plus en détail

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014 Algèbre Linéaire Victor Lambert 24 septembre 2014 Table des matières 1 Généralités 2 1.1 Espaces vectoriels............................ 2 1.2 Applications linéaires.......................... 4 1.3 Familles

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT Table analytique des matières 1. La structure d'espace vectoriel 1. Espaces

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

Partie I - Valeurs propres de AB et BA SESSION 9 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PSI Partie I - Valeurs propres de AB et BA I.A - Cas de la valeur propre. I.A.) Sp(AB) Ker(AB) {} AB / G L n (R) det(ab) =. I.A.) Sp(AB) det(ab)

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier Mathématiques Méthodes et exercices ECE 2 e année Cécile Lardon Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon Jean-Marie Monier Professeur en classe préparatoire au lycée La Martinière-Monplaisir

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Espaces vectoriels de dimension finie 1 Questions de cours 3 Exercices 1. Énoncer et montrer le théorème de la base incomplète. 2. Soit E de dimension finie n et F un sousespace de E. Montrer que F est

Plus en détail

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire Résumé de Ma Sup et compléments : algèbre linéaire I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels 1) Structure de K-espace vectoriel Soient K un sous-corps de C et E un ensemble non vide muni d une l.d.c.i.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1 Applications linéaires Etude de linéarité a) Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E. b) Exprimer ϕ ψ et ψ ϕ. c) Déterminer images et

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Applications linéaires, matrices, déterminants

Applications linéaires, matrices, déterminants Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit u: R 3 R défini pour tout x = (x 1, x, x 3 R 3 par u(x = (x 1 + x + x 3, x 1 + x x 3 1. Montrer que u est linéaire.. Déterminer ker(u. Allez

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires le 8 Février UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Applications linéaires Exemples et définitions. Soit E et F, espaces vectoriels sur K = R ou C. On s intéresse aux applications qui conservent

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6 Table des matières -1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes.......................................... 5 2 Anneaux.......................................... 5 3 Corps...........................................

Plus en détail

Réduction. Sous-espaces stables. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1

Réduction. Sous-espaces stables. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1 Réduction Sous-espaces stables Exercice 1 [ 00755 ] [Correction] Soient u et v deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. On suppose

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012 1 Rappel de l épisode précédent

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Calcul matriciel. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Calcul matriciel. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Calcul matriciel Bernard Ycart Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths. UFR MIME, Université Lille 3.

Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths. UFR MIME, Université Lille 3. Algèbre 2 - L1 MIASHS/Lettres-Maths AMIRI Aboubacar UFR MIME, Université Lille 3. 10 avril 2015. Université Lille 3 1 Définitions et notations Quelques matrices particulières Matrice d une famille sur

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Les astuces de Maths. par Isabelle Blejean C OLLECTION LES MÉMENTOS DE L INSEEC MÉMENTO N 9

Les astuces de Maths. par Isabelle Blejean C OLLECTION LES MÉMENTOS DE L INSEEC MÉMENTO N 9 C OLLECTION LES MÉMENTOS DE L INSEEC CAHIERS MÉTHODOLOGIQUES POUR LES CLASSES PRÉPARATOIRES AUX GRANDES ÉCOLES DE COMMERCE Les astuces de Maths par Isabelle Blejean MÉMENTO N 9 Les Mémentos de l INSEEC

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire

Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire Agrégation de Mathématiques Exercices d algèbre linéaire P. HUBERT La plupart des exercices ci-dessous se trouvent dans les livres suivants : - E. Leichtnam, X. Schaeur, Exercices corrigés de mathématiques

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4

Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Université Paris I, Panthéon - Sorbonne Licence M.A.S.S. 203-204 Feuilles de TD du cours d Algèbre S4 Jean-Marc Bardet (Université Paris, SAMM) Email: bardet@univ-paris.fr Page oueb: http://samm.univ-paris.fr/-jean-marc-bardet-

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent.

Exercice oral des mines : pour voir si vous avez compris l analogie de l exercice précédent. Lycée Pierre de Fermat 203/204 MPSI Devoir maison Devoir maison n 20 Exercice : utilisation du produit matriciel par blocs. Dans l exercice K est un corps commutatif quelconque de caractéristique différente

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition.

Algèbre linéaire. 1 Espaces vectoriels R n. Jean-Paul Davalan. 1.1 Les ensembles R n. 1.2 Addition dans R n. (R n, +) désigne R n muni de l addition. Algèbre linéaire. Jean-Paul Davalan 2001 1 Espaces vectoriels R n. 1.1 Les ensembles R n. Définition 1.1 R 2 est l ensemble des couples (x, y) de deux nombres réels x et y. D une manière générale, un entier

Plus en détail

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI Espace vectoriel de dimensions finies MPSI 22 juin 2008 Table des matières 1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice 2 1.1 Partie finie liée.......................... 2 1.1.1 Vecteurs colinéaires....................

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Feuille d exercices n 14 : corrigé

Feuille d exercices n 14 : corrigé Feuille d exercices n 4 : corrigé PTSI B Lycée Eiffel avril 3 Exercice (*) Commençons déjà par constater que la fonction nulle vérifie toutes les conditions de l exercice, il nous restera donc à regarder

Plus en détail

UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009. Le déterminant d une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = définition le nombre réel (ou complexe)

UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009. Le déterminant d une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = définition le nombre réel (ou complexe) UNIVERSITE PAUL SABATIER 2008/2009 YjY L1 - PCP - DETERMINANTS (COURS-EXERCICES) YjY 1 Déterminant, définition, propriètés Le déterminant d une matrice carrée à deux lignes et colonnes A = définition le

Plus en détail

TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES

TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES 22-10- 2011 JFC Mat p 1 TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES 2011-2012 LES NOTIONS Généralités (définition, matrices particulières) Opérations sur les matrices Matrice d une application linéaire

Plus en détail

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie 133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie Pierre Lissy March 8, 2010 On considère un espace vectoriel euclidien de dimension nie n, le produit scalaire sera noté

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Matrices,systèmes et déterminants

Matrices,systèmes et déterminants Matrices,systèmes et déterminants Exercice 1 1 Donner la matrice des endomorphismes suivants dans les bases canoniques de R 2 et R 3 : (a f(x, y = (ax + by, cx + dy (b g(x, y, z = (2x y, 5x 3y + z (c h(x,

Plus en détail