FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1"

Transcription

1 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L TABLE DES MATIÈRES. Déterminer si un ensemble est un sous espace vectoriel sur R ou non.. Une vérification essentielle.2. La stabilité par combinaisons linéaires 2 2. Etudier la liberté d une famille de vecteurs Cas général Un cas simple : p vecteurs dans R n avec n < p Cas de deux vecteurs dans R Cas de deux vecteurs dans R Cas de trois vecteurs dans R Familles génératrices 3 4. Applications linéaires Montrer qu une application est linéaire ou non Déterminer le noyau d une application linéaire Image d une application linéaire 7. DÉTERMINER SI UN ENSEMBLE EST UN SOUS ESPACE VECTORIEL SUR R OU NON Quelques rappels pour commencer. Soit (E,+, ) un espace vectoriel sur R. Définition.. F est un sous espace vectoriel de E si () F est non vide. (2) F est stable par combinaisons linéaires. Définition.2. Un ensemble F E est dit stable par combinaisons linéaires si () u,v F, u + v F. (2) u F, λ R, λ u F. [() et (2)] est équivalent à (3) u,v F, λ,µ R, λ u + µ v F... Une vérification essentielle. Un sous espace vectoriel contient toujours 0. La première chose à faire est donc de vérifier que 0 F. En effet, () Si 0 / F, F n est pas un sous espace vectoriel. (2) Si 0 F, F est non vide et il est possible que ce soit un espace vectoriel.

2 2 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L.2. La stabilité par combinaisons linéaires. Une fois que l on a vérifié que 0 F, il reste à étudier la stabilité par combinaisons linéaires. La méthode traditionnelle consiste à le faire à la main, c est à dire prendre deux vecteurs quelconques u et v dans F, deux scalaires λ et µ quelconques dans R et montrer que la combinaison linéaire λu + µv est dans F. Le début de votre démonstration sera donc toujours Soient u,v F, soient λ,µ R, montrons que λu + µv F... Exemple. E = R 2, F = {(x,y) R 2 ;y = x}. Montrons que F est un sous espace vectoriel. 0 = (0,0) F, donc F est non vide. Soient u = (x,y),v = (x,y ) F. Soient λ,µ R. Montrons que λu+ µv F. On a λu+ µv = (λx+ µx,λy+ µy ). Comme x = y et x = y, alors λx + µx = λy + µy donc λu + µv F. Ainsi F est un sous espace vectoriel de E. Si au cours de votre démonstration, quelquechose coince, il est possible que F ne soit pas un sous espace vectoriel. Dans ce cas, il faut le montrer RIGOUREUSEMENT. Vous devez expliciter deux vecteurs u et v de F tels que u+v / F ou bien un vecteur u F et un scalaire λ R tels que λu / F. Exemple. E = R, F = Z. On a bien 0 F. L ensemble F est stable pour l addition (la somme de deux entiers est un entier), mais F n est pas stable pour la multiplication par un scalaire. En effet, le nombre appartient à F, tandis que /2 = /2 n appartient pas à F. Il y a d autres méthodes pour montrer qu un ensemble est stable par combinaisons linéaires, mais elles utilisent les applications linéaires (ce qui suppose donc de savoir montrer qu une application est linéaire). Exemple. Le noyau d une application linéaire est un sous espace vectoriel. L image d un sous espace vectoriel par une application linéaire est un sous espace vectoriel. 2. ETUDIER LA LIBERTÉ D UNE FAMILLE DE VECTEURS Soit E un espace vectoriel sur R. Soit L = {u,u 2,...,u p } une famille de p vecteurs de E. Définition 2.. La famille L est dite libre si λ,...,λ p R, (λ u + + λ p u p = 0) (λ = = λ p = 0). 2.. Cas général. Pour étudier la liberté d une famille de vecteurs, on commence donc par Soient λ,...,λ p R, tels que λ u + + λ p u p = 0,... Dans les cas où les vecteurs vivent dans R n, l écriture ci dessus aboutit à un système linéaire. Vous devez donc résoudre le système ou du moins étudier l ensemble de ses solutions. Les inconnues du systèmes sont λ,...,λ p. () Si le système admet 0 = (0,...,0) comme unique solution, la famille est libre. (2) Si le système admet des solutions multiples (une droite, un plan, etc.), la famille n est pas libre (on dit qu elle est liée) Un cas simple : p vecteurs dans R n avec n < p. Si une famille de p vecteurs est libre, l espace qu elle engendre est de dimension p. Mais R n est de dimension n, la famille ne peut donc pas être libre dans ce cas. Exemple. Une famille de trois vecteurs dans R 2 est liée. Une famille de quatre vecteurs dans R 3 est liée.

3 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L Cas de deux vecteurs dans R 2. On a ici un outil rapide pour vérifier qu une famille de deux vecteurs est libre dans R 2 : le déterminant. Définition 2.2. Soient u = (x,y) et v = (x,y ) deux vecteurs de R 2. Le déterminant de (u,v), noté det(u,v), est donnée par xy x y. On a alors le critère La famille {u,v} est libre si et seulement si det(u,v) Cas de deux vecteurs dans R 3. On dispose d un autre outil pour montrer qu une famille de deux vecteurs est libre dans R 3 : le produit vectoriel. Définition 2.3. Soient u = (x,y,z) et v = (x,y,z ) deux vecteurs de R 3. Le produit vectoriel u v est un vecteur dont les coordonnées sont (yz y z,zx z x,xy x y). On a alors La famille {u,v} est libre si et seulement si u v Cas de trois vecteurs dans R 3. En fait, on a également un critère pour trois vecteurs dans R 3. Soient u,v,w R 3 et, le produit scalaire sur R 3. La famille {u,v,w} est libre si et seulement si u v,w = FAMILLES GÉNÉRATRICES Soit E un espace vectoriel sur R. Soit L = {u,u 2,...,u p } une famille de p vecteurs de E. Définition 3.. La famille L est dite génératrice si l espace vectoriel engendré par L est E tout entier. Le problème est plus compliqué qu il n y paraît. En toute généralité, pour montrer qu une famille est génératrice, il faut montrer que tout élément de E s écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille en question. Cela peut être très pénible. Dans le cas où E = R n, on s en sort sans trop de difficultés. La dimension de R n est n. Cela signifie que l on a besoin de n vecteurs au moins pour engendrer l espace. Toute famille de cardinal inférieur strictement à n ne peut pas être génératrice dans R n. Cela règle un certain nombre de cas. Maintenant dans le cas où le cardinal de la famille est supérieur ou égal à n, on doit en fait résoudre un système linéaire. Traitons deux exemples, ce sera plus parlant. Exemple. Soit E = R 3 et L = {u,u 2,u 3,u 4 } avec u = 0, u 2 = 2, u 3 = 0 et u 4 = Soit v = (a,b,c) R 3. Le vecteur v est une combinaison linéaire de u, u 2, u 3 et u 4 si et seulement si il existe λ, λ 2, λ 3 et λ 4 tels que v = λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 + λ 4 u 4. Ceci est

4 4 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L équivalent au fait que le système (S) ci dessous admet au moins une solution. λ +λ 2 λ 3 = a L (S) : 2λ 2 +λ 4 = b L 2 λ +3λ 2 +λ 3 = c L 3 λ +λ 2 λ 3 = a L 2λ 2 +λ 4 = b L 2 2λ 2 +2λ 3 = c a L 3 L λ +λ 2 λ 3 = a L 2λ 2 +λ 4 = b L 2 2λ 3 λ 4 = c a b L 3 L 2 λ +λ 2 λ 3 = a L 2λ 2 +λ 4 = b L 2 2λ 3 λ 4 = c a b L 3 λ 4 = λ 4 L 4 λ = 2 (c + a 2b) +λ 4 λ 2 = 2 b 2 λ 4 λ 3 = 2 (c a b) + 2 λ 4 λ 4 = λ 4 On constate donc (pour la forme) que le système admet un ensemble de solutions de dimension. En particulier, il y a au moins une solution et ce pour n importe quel triplet (a,b,c). La famille est génératrice. Exemple. Soit E = R 3 et L = {u,u 2,u 3 } avec u = 0, u 2 = 0 0 et u 3 =. On a ici un cas limite : une famille de trois vecteurs dans R 3. On peut se contenter de vérifier si la famille est libre ou non. En effet, () Si la famille est libre, l espace engendré par les trois vecteurs est de dimension 3, ce qui est la taille maximale dans R 3, la famille engendre donc tout l espace. (2) Si la famille n est pas libre, l espace engendré par les trois vecteurs est au plus de dimension 2. En tous cas, on est sûr qu il y a des vecteurs de R 3 qui ne sont pas dans l espace engendré par la famille. Soient λ,λ 2,λ 3 R, tels que λ u + λ 2 u 2 + λ 3 u 3 = 0. On a alors λ +λ 3 = 0 L (S) : λ 2 +λ 3 = 0 L 2 λ +λ 3 = 0 L 3 λ +λ 3 = 0 L λ 2 +λ 3 = 0 L 2 0 = 0 L 3 L 3 L λ = λ 3 λ 2 = λ 3 λ 3 = λ 3 L ensemble des solutions de (S) est de dimension, le système admet donc des solutions non nulles, ce qui fait que la famille L n est pas libre. Elle n est donc pas génératrice non plus.

5 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L 5 Soient E et F deux espaces vectoriels sur R. 4. APPLICATIONS LINÉAIRES Définition 4.. Une application f : E F est dite linéaire si () u,v E, f (u + v) = f (u) + f (v). (2) u E, λ R, f (λu) = λ f (u). () et (2) est équivalent à (3) u,v F, λ,µ R, f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v). 4.. Montrer qu une application est linéaire ou non. Ce premier critère permet d éliminer beaucoup d applications que l on suspecte de ne pas être linéaires : Une application linéaire vérifie toujours f (0) = 0. Toutefois, contrairement à la démonstration pour les sous espaces vectoriels, cette étape n est pas obligatoire pour montrer qu une application est linéaire. Il n y a qu une chose à faire, vérifier la linéarité. Votre démonstration commence donc par Soient u,v F, soient λ,µ R, vérifions que f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v)... Exemple. Soit f : R 2 R 3, définie par f (x,y) = (x + y,x,x y). Montrons que f est linéaire. Soient u = (x,y),v = (x,y ) R 2, soient λ,µ R, vérifions que f (λu + µv) = λ f (u) + µ f (v). On a λu + µv = (λx + µx,λy + µy ) et donc f (λu + µv) = (λx + µx + λy + µy,λx + µx,λx + µx (λy + µy )) = (λx + λy,λx,λx λy) + (µx + µy, µx, µx µy ) = λ(x + y,x,x y) + µ(x + y,x,x y ) = λ f (u) + µ f (v) Déterminer le noyau d une application linéaire. Définition 4.2. Soit f : E F une application linéaire. On appelle noyau de f l ensemble noté ker( f ) et défini par ker( f ) = {x E; f (x) = 0}. Pour déterminer un noyau, il faut chercher les vecteurs de E qui s envoient sur 0 par f. Dans le cas où E = R n et F = R p, il faut et il suffit de résoudre un système linéaire.

6 6 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L Exemple. Soit f : R 3 R 3 définie par f (x,y,z) = (x + y + z,x y + 2z,3x + y + 4z). Déterminons le noyau de f. On en déduit que u = (x,y,z) ker( f ) f (u) = 0 x +y +z = 0 L x y +2z = 0 L 2 3x +y +4z = 0 L 3 x +y +z = 0 L 2y +z = 0 L 2 L 2 L 2y +z = 0 L 3 L 3 3L x +y +z = 0 L 2y +z = 0 L 2 L 2 0 = 0 L 3 L 3 L 2 x +y +z = 0 L 2y +z = 0 L 2 L 2 z = z L 3 L 3 L 2 x = 3z/2 y = z/2 z = z u = z( 3/2,/2,) ker( f ) = {z( 3/2,/2,);z R} = vect[( 3/2,/2,)]. Exemple. Soit g : R 4 R 3 définie par g(x,y,z,t) = (x + y + z + t,x y + 2z t,3x + y + 4z +t,). Déterminons le noyau de g. u = (x,y,z,t) ker(g) g(u) = 0 x +y +z +t = 0 L x y +2z t = 0 L 2 3x +y +4z +t = 0 L 3 x +3y +3t = 0 L 4 x +y +z +t = 0 L 2y +z 2t = 0 L 2 L 2 L 2y +z 2t = 0 L 3 L 3 3L 2y z +2t = 0 L 4 L 4 L x +y +z +t = 0 L 2y +z 2t = 0 L 2 0 = 0 L 3 L 3 L 2 0 = 0 L 4 L 4 + L 2 x +y +z +t = 0 L 2y +z 2t = 0 L 2 z = z L 3 L 3 L 2 t = t L 4 L 4 + L 2 x = 3z/2 y = z/2 t z = z t = t u = z( 3/2,/2,,0) +t(0,,0,)

7 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L 7 On en déduit que ker( f ) = {z( 3/2,/2,,0) +t(0,,0,); z,t R} 4.3. Image d une application linéaire. = vect[( 3/2,/2,,0),(0,,0,)]. Définition 4.3. Soit f : E R, une application linéaire. On appelle image de f l ensemble noté Im( f ) et défini par Im( f ) = f (E). Pour déterminer une image dans le cas général, on procède par analyse-synthèse. On cherche des conditions et on vérifie que ce sont les bonnes. Tout va se dérouler à travers un système linéaire dans le cas où E = R n et F = R p. Quelle est la signification du fait que v est dans l image de f? Ca veut dire qu il existe u E tel que v = f (u), et on aboutit à un système linéaire qui va nous donner des conditions sur v. Exemple. Soit f : R 3 R 3 définie par f (x,y,z) = (x + y + z,x y + 2z,3x + y + 4z). Déterminons l image de f. v = (a,b,c) Im( f ) u = (x,y,z) tel que f (u) = v x +y +z = a L admet (S) : x y +2z = b L 2 au moins 3x +y +4z = c L 3 une solution On étudie donc le système linéaire (S). Les inconnues sont x, y et z. Les paramètres sont a, b et c. x +y +z = a L (S) 2y +z = b a L 2 L 2 L 2y +z = c 3a L 3 L 3 3L x +y +z = a L 2y +z = b a L 2 L 2 0 = 2a b + c L 3 L 3 L 2 On voit donc apparaître une condition sur a, b et c. En effet, (S) admet au moins une solution si et seulement si 2a b + c = 0. Cela nous dit donc que v = (a,b,c) admet un antécédent par f si et seulement si 2a b + c = 0. On a alors Im( f ) = {(a,b,c) R 3 ; 2a b + c = 0}. C est un espace de dimension 2 (donc un plan dans R 3 ). On peut en donner une base pour le vérifier. Un vecteur (a,b,c) Im( f ) s écrit (a,b,2a+b) = a(,0,2)+b(0,,). La famille {(,0,2),(0,,)} est donc génératrice de Im( f ) et c est une famille libre. On en déduit donc que c est une base de Im( f ). Exemple. Soit g : R 4 R 3 définie par g(x,y,z,t) = (x + y + z + t,x y + 2z t,3x + y + 4z +t,). Déterminons l image de g. v = (a,b,c,d) Im( f ) u = (x,y,z,t) tel que f (u) = v x +y +z +t = a L admet x y +2z t = b L (S) : 2 au moins 3x +y +4z +t = c L 3 une x +3y +3t = d L 4 solution

8 8 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L On étudie donc le système linéaire (S). Les inconnues sont x, y, z et t. Les paramètres sont a, b, c et d. x +y +z +t = a L 2y +z 2t = b a L (S) 2 L 2 L 2y +z 2t = c 3a L 3 L 3 3L 2y z +2t = d a L 4 L 4 L x +y +z +t = a L 2y +z 2t = b a L 2 0 = 2a b + c L 3 L 3 L 2 0 = 2a + b + d L 4 L 4 + L 2 On voit donc apparaître deux conditions sur a, b, c et d. En effet, (S) admet au moins une solution si et seulement si 2a b + c = 0 et 2a + b + d = 0. Cela nous dit donc que v = (a,b,c,d) admet un antécédent par g si et seulement si 2a b+c = 0 et 2a+b+d = 0. On a alors Im(g) = {(a,b,c,d) R 3 ; 2a b + c = 0 et 2a + b + d = 0}. C est un espace de dimension 2. On peut en donner une base pour le vérifier. Un vecteur (a,b,c,d) Im(g) s écrit (a,b,2a + b,2a b) = a(,0,2,2) + b(0,,, ). La famille {(,0,2,2),(0,,, )} est donc génératrice de Im(g) et c est une famille libre. On en déduit donc que c est une base de Im(g).

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Chapitre 3. Espaces vectoriels

Chapitre 3. Espaces vectoriels Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 3 Espaces vectoriels Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver.

Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver. Bonjour à tous, les colles de mardi m'ont permis de vérifier que les notions de base du chapitre espaces vectoriels sont loin d'être acquises. Comme je vous le disais, il est essentiel d'apprendre régulièrement

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. Lycée Louis le grand Année scolaire 2007/2008 Mathématiques Supérieure MPSI Semaine 12 11 mai 2009 1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. On note K le corps R ou C. 1.1 Axiomes d espace vectoriel.

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin.

Exo7. Espaces vectoriels. 1 Définition, sous-espaces. Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Exo7 Espaces vectoriels Fiche amendée par David Chataur et Arnaud Bodin. Définition, sous-espaces Exercice Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : E = { f : [,] R } :

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. b) On suppose rga + rgb n. Montrer qu il existe U, V GL n (K) tels que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. b) On suppose rga + rgb n. Montrer qu il existe U, V GL n (K) tels que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 204 Enoncés Rang d une matrice Exercice [ 0070 ] [correction] Soit A M n K une matrice carrée de rang. a Etablir l existence de colonnes X, Y M n, K vérifiant

Plus en détail

Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires

Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Adrien REISNER 1 Abstract. We here study a couple of algebraic and analytic properties of certain binary matrices in the spaces M n(r). In particular,

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Second degré : Résumé de cours et méthodes

Second degré : Résumé de cours et méthodes Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Espaces vectoriels. Plan du chapitre

Espaces vectoriels. Plan du chapitre Espaces vectoriels Plan du chapitre 1 Espaces vectoriels page 2 11 Définitions page 2 12 Exemples fondamentaux page 3 13 Quelques règles de calcul page 4 14 Produits d espaces vectoriels page 5 2 Sous-espaces

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET

COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1 Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le

Plus en détail

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure?

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure? Chapitre Applications linéaires Testez vos connaissances Pourquoi s intéresse-t-on au applications linéaires en économie? Qu est-ce qu un noyau, un rang et une image d une application linéaire? Donner

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

E3A PC 2009 Math A. questions de cours. t C). On véri e que

E3A PC 2009 Math A. questions de cours. t C). On véri e que E3A PC 29 Math A questions de cours. Soit C 2 M 3 (R) Analyse : Si C = S + A, S 2 S 3 (R) et A 2 A 3 (R) alors t C = t S + t A = S A d où S = 2 (C +t C) et A = 2 (C t C). L analyse assure l unicité (sous

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J = Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0

Plus en détail

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire

Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire Cours de mathématiques M22 Algèbre linéaire λ u u + v u v u Exo7 Sommaire Systèmes linéaires 3 Introduction aux systèmes d équations linéaires 3 2 Théorie des systèmes linéaires 7 3 Résolution par la méthode

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr Géométrie Cours de Licence Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1 Version du 19 janvier 2004 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr 2 Table des matières Table des matières 4 Introduction 5 1 Rappels d algébre

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014 Algèbre Linéaire Victor Lambert 24 septembre 2014 Table des matières 1 Généralités 2 1.1 Espaces vectoriels............................ 2 1.2 Applications linéaires.......................... 4 1.3 Familles

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40

Espaces vectoriels euclidiens. () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40 Espaces vectoriels euclidiens () Espaces vectoriels euclidiens 1 / 40 1 Produit scalaire, norme, espace euclidien 2 Orthogonalité Dans tout ce cours, E désigne un R espace vectoriel. () Espaces vectoriels

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université de Nice SL2M 2009-10 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère l ensemble

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.

Outils mathématiques pour la physique et la chimie. Introduction. 1.1 Espaces vectoriels. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon. Nicolas Chéron : nicolas.cheron@ens-lyon.fr Tél : 87 14 Outils mathématiques pour la physique et la chimie Introduction Ce document est un rappel de notions de mathématiques de base (i.e. niveau L1/L).

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Licence Sciences, Technologies, Santé Enseignement de mathématiques des parcours Informatique ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE - Notes de cours et de travaux

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail