1.3 Produit matriciel

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1 MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans K à n lignes et p colonnes ou matrice à coefficients dans K de taille n p toute famille d éléments de K indexée sur 1, n 1, p ie toute famille d éléments de K du type (a ij ) 1 i n 1 j p Notation 11 Une matrice de taille n p est généralement représentée sous forme d un tableau à n lignes et p colonnes (d où l appellation) : a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p a i1 a i2 a ij a ip a n1 a n2 a nj a np L élément a ij est donc placé sur la i ème ligne et sur la j ème colonne Définition 12 Ensembles de matrices On note M n,p (K) l ensemble des matrices à coefficients dans K de taille n p Lorsque n = p, cet ensemble est plus simplement noté M n (K) On parle alors de matrices carrées de taille n Lorsque p = 1, on parle de matrices colonnes de taille n Lorsque n = 1, on parle de matrices lignes de taille p Remarque Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas n = p, p = 1 et n = 1 12 Structure de K-espace vectoriel M n,p (K) n est autre que K 1,n 1,p ou encore K np On définit donc la loi interne + et la loi interne usuelles de sorte qu on a le résultat suivant Proposition 11 Structure de K-espace vectoriel de M n,p (K) M n,p (K) est un K-espace vectoriel 1

2 Remarque Le vecteur nul de M n,p (K) est la matrice nulle ie le tableau à n lignes et p colonnes rempli de zéros Définition 13 Base canonique de M n,p (K) Pour (i, j) 1, n 1, p, on note E ij la matrice de M n,p (K) dont tous les coefficients sont nuls à l exception de celui de la i ème ligne et de la j ème colonne qui vaut 1 La famille (E ij ) 1 i n est une base de M n,p (K) appelée base canonique de M n,p (K) 1 j p La dimension de M n,p (K) est donc np 13 Produit matriciel On définit également une multiplication sur les matrices qui peut paraître étrange au premier abord mais dont le sens apparaîtra lorsque nous identifierons matrices et applications linéaires Définition 14 Produit matriciel Soient A = (a ij ) 1 i n M n,p (K) et B = (b ij ) 1 i p M p,q (K) On définit le produit AB comme la matrice 1 j p 1 j q C = (c ij ) 1 i n M n,q (K) telle que : 1 j q (i, j) 1, n 1, q, c ij = p a ik b kj k=1 Attention! On ne multiplie que des matrices de taille compatible, c est-à-dire que l on multiplie une matrice à p colonnes par une matrice à p lignes Attention! Non commutativité du produit matriciel Le produit matriciel est non commutatif En effet, si le produit AB est bien défini, le produit BA ne l est généralement pas pour des raisons de non compatibilité de 1 1 taille Quand bien même il serait défini, on n a généralement pas BA AB Il suffit de prendre A = et B = 1 0 Proposition 12 Propriétés du produit matriciel Le produit matriciel est bilinéaire (λ, µ) K 2, (A, B) M n,p (K) 2, C M p,q (K), (λa + µb)c = λac + µbc (λ, µ) K 2, A M n,p (K), (B, C) M p,q (K) 2, A(λB + µc) = λab + µac Le produit matriciel est associatif A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), A(BC) = (AB)C Exercice 11 Soit (E ij ) 1 i,j n la base canonique de M n (K) Montrer que pour tout (i, j, k, l) M n (K) 4, E ij E kl = δ jk E il 2

3 14 Transposition Définition 15 Transposée Soit A = (a ij ) 1 i n M n,p (K) On appelle transposée de A la matrice (a ji ) 1 i p M p,n (K), notée t A 1 j p 1 j n Remarque Concrètement, l opération de transposition échange les lignes et les colonnes des matrices Remarque La transposée d une matrice carrée est une matrice carrée de même taille Proposition 13 Propriétés de la transposition La transposition est linéaire : (λ, µ) K 2, (A, B) M n,p (K) 2, t (λa + µb) = λ t A + µ t B La transposition est involutive : Transposée d un produit : A M n,p (K), t ( t A) = A (A, B) M n,p (K) 2, t (AB) = t B t A 15 Matrices définies par blocs Matrices définies par blocs Soit A M n,q (K), B M p,q (K), C M n,r (K) et D M p,r (K) On peut définir une matrice M M n+p,q+r (K) à l aide de ces quatre matrices de la façon suivante : A C M = B D Produit de matrices définies par blocs Le produit de deux matrices définies par blocs s effectue de la manière suivante : ) ) B ( A C D F ) ( E G H = BE + DF ( AE + CF AG + CH BG + DH Attention! Il faut bien évidemment que les différentes matrices soient de taille compatible : le nombre de colonnes de A et B doit être le nombre de lignes de E et G ; le nombre de colonnes de C et D doit être le nombre de lignes de F et H Remarque La transposée de la matrice B ( A C ) D est la matrice t C ( t A t B ) t D 3

4 2 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d une matrice 21 Opérations élémentaires et pivot de Gauss Définition 21 Opérations élémentaires On appelle opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice les opérations suivantes : échange de deux colonnes, notée C i C j ; multiplication d une colonne par un scalaire non nul α, notée C i αc i ; addition d un multiple d une colonne à une autre, notée C i C i + αc j On définit de même les opérations élémentaires sur les lignes : échange de deux lignes, notée L i L j ; multiplication d une ligne par un scalaire non nul α, notée L i αl i ; addition d un multiple d une ligne à une autre, notée L i L i + αl j Remarque Un échange peut s écrire à l aide des autres opérations En effet, l échange C i C j peut s écrire comme la suite d opérations C i C i + C j, C j C j C i, C i C i + C j, C j C j De même pour les lignes Proposition 21 On peut échelonner une matrice en colonnes à l aide d opérations élémentaires sur les colonnes On peut échelonner une matrice en lignes à l aide d opérations élémentaires sur les lignes Méthode Pivot de Gauss Le pivot de Gauss consiste à utiliser des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d une matrice pour se ramener à une forme échelonnée en lignes ou en colonnes 22 Interprétation matricielle Proposition 22 Matrices élémentaires Soit n N Pour i, j 1, n avec i j et α K, on pose : P ij = E ij + E ji + I n E ii E ij D i (α) = I n + (α 1)E ii T ij (α) = I n + αe ij Pour une matrice de M p,n (K) : l opération C i C j correspond à la multiplication à droite par P ij ; l opération C i αc i correspond à la multiplication à droite par M i (α) ; l opération C j C j + αc i correspond à la multiplication à droite par T ij (α) Pour une matrice de M n,p (K) : l opération L i L j correspond à la multiplication à gauche par P ij ; l opération L i αl i correspond à la multiplication à gauche par M i (α) ; l opération L i L i + αl j correspond à la multiplication à gauche par T ij (α) Ces matrices sont appelées des matrices élémentaires 4

5 Remarque Les P ij sont des matrices de permutation ou plus exactement de transposition Les D i (α) sont des matrices de dilatation Les T ij (α) sont des matrices de transvection Une matrice de transposition peut s écrire comme un produit de matrices de dilatation et de transvection Remarque Ce qu il faut surtout retenir, c est que les opérations sur les colonnes correspondent à des multiplications à droite et les opérations sur les lignes à des multiplications à gauche 3 L anneau M n (K) 31 Structure d anneau de M n (K) Notation 31 On appelle matrice identité de taille n la matrice carrée de taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres nuls On a donc I n = (δ ij ) 1 i,j n où δ ij est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i = j, 0 sinon Proposition 31 Structure d anneau de M n (K) (M n (K), +, ) est un anneau L élément neutre pour la multiplication est la matrice identité I n Pour n > 1, l anneau M n (K) est non commutatif et non intègre Remarque M n (K) est même une K-algèbre : c est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau et pour λ K et (A, B) M n (K) 2, (λa)b = A(λB) = λ(ab) Exemple Soit A = et B = Alors AB = 0 mais A 0 et B Remarque Comme Ü dans tout ê anneau, une matrice A est dite nilpotente s il existe n N tel que A n = Par exemple, A = est nilpotente Exercice 31 Montrer que le centre de M n (K) est vect(i n ) Méthode Calcul de puissances à l aide d un polynôme annulateur Soient A M n (K) et P K[X] tel que P(A) = 0 En notant R n le reste de la division euclidienne de X n par P, A n = R n (A) Exercice Soit A = Trouver un polynôme P de degré 2 tel que P(A) = 0 En déduire A n pour tout n N

6 Méthode Calcul de puissances à l aide de la formule du binôme M n (K) étant un anneau, la formule du binôme est vraie pour deux matrices carrées qui commutent Exercice 33 a b Soit A = Calculer A n pour tout n N b a Exercice 34 Ü ê Soit A = Calculer A n pour tout n N 32 Matrices particulières de M n (K) 321 Matrices triangulaires Définition 31 Matrices triangulaires inférieures et supérieures On appelle matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) toute matrice carrée dont tous les coefficients situés au-dessous (resp au-dessus) de la diagonale sont nuls On notera T + n (K) (resp T n (K)) l ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) de taille n à coefficients dans K Remarque Soit T = (t ij ) 1 i,j n T est triangulaire supérieure si et seulement si t ij = 0 pour i > j T est triangulaire inférieure si et seulement si t ij = 0 pour i < j Remarque Une matrice est dite triangulaire supérieure (resp inférieure) stricte si elle est triangulaire supérieure (resp inférieure) et si ses coefficients diagonaux sont nuls Soit T = (t ij ) 1 i,j n T est triangulaire supérieure stricte si et seulement si t ij = 0 pour i j T est triangulaire inférieure stricte si et seulement si t ij = 0 pour i j Proposition 32 T + n (K) et T n (K) sont des sous-espaces vectoriels de dimension n(n+1) 2 et des sous-anneaux de M n (K) De plus, les coefficients diagonaux d un produit de matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) sont les produits des coefficients diagonaux de ces matrices Remarque La transposition sur M n (K) induit une involution linéaire (et donc un isomorphisme) de T + n (K) sur T n (K) 6

7 322 Matrices diagonales Définition 32 Matrices diagonales On appelle matrice diagonale toute matrice carrée dont tous les coefficients non diagonaux sont nuls Soit (α 1,, α n ) K n On note diag(α 1,, α n ) la matrice diagonale de taille n dont les coefficients diagonaux sont α 1,, α n L ensemble des matrices diagonales de taille n à coefficients dans K sera noté D n (K) Remarque D n (K) = T + n (K) T n (K) Proposition 33 D n (K) est un sous-espace vectoriel de dimension n et un sous-anneau de M n (K) De plus, les coefficients diagonaux d un produit de matrices diagonales sont les produits des coefficients diagonaux de ces matrices 323 Matrices diagonales par blocs et triangulaires par blocs Définition 33 Matrices triangulaires par blocs On dit qu une matrice carrée A est triangulaire supérieure par blocs s il existe des matrices Définition 34 Matrices diagonales par blocs On dit qu une matrice carrée A est diagonale par blocs s il existe des matrices carrées A 1,, A r telles que â ì A1 0 0 A = 0 A A r 324 Matrices symétriques et antisymétriques Définition 35 Matrice symétrique ou antisymétrique Soit A M n (K) On dit que A est symétrique si t A = A On dit que A est antisymétrique si t A = A On notera S n (K) (resp A n (K)) l ensemble des matrices symétriques (resp antisymétriques) de M n (K) Remarque La dénomination «symétrique» ou «antisymétrique» provient de la symétrie des coefficients par rapport à la diagonale A est symétrique si et seulement si a ji = a ij pour (i, j) 1, n 2 A est symétrique si et seulement si a ji = a ij pour (i, j) 1, n 2 La diagonale d une matrice antisymétrique est nulle 7

8 Attention! Le produit de deux matrices symétriques (resp antisymétriques) n est pas forcément une matrice symétrique (resp antisymétrique) Proposition 34 S n (K) et A n (K) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de M n (K) de dimensions respectives n(n+1) 2 et n(n 1) 2 Exercice 35 Montrer que la transposition dans M n (K) est la symétrie par rapport à S n (K) parallèlement à A n (K) 33 Matrices inversibles Rappel L inversibilité des matrices est à comprendre dans le sens de l inversibilité dans un anneau Soit A M n (K) A est donc inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n Attention! L inversibilité n a de sens que pour les matrices carrées! Remarque On verra plus tard qu il est suffisant d avoir seulement AB = I n ou BA = I n pour affirmer que A est inversible d inverse B Définition 36 Groupe linéaire On appelle groupe linéaire de degré n sur K, noté GL n (K), le groupe des éléments inversibles de M n (K) Proposition 35 Propriétés de l inversion Inversibilité et produit Soit (A, B) GL n (K) 2 Alors AB GL n (K) et (AB) 1 = B 1 A 1 Involution Soit A GL n (K) Alors A 1 est inversible et ( A 1) 1 = A Inversibilité et puissance Soit A GL n (K) Pour tout k N, A k est inversible et ( A k) 1 = ( A 1 ) k (on note A k ) Inversibilité et transposée Soit A M n (K) Alors A GL n (K) si et seulement si t A GL n (K) Dans ce cas, ( t A) 1 = t (A 1 ) Méthode Calcul de l inverse à l aide d un polynôme annulateur Pour déterminer l inverse d une matrice A, on peut déterminer un polynôme annulateur de A ie un polynôme P tel que P(A) = 0 On peut alors déterminer A 1 sous la forme d un polynôme en A 8

9 Exercice 36 Soit Ü ê A = Calculer A 3 A 2 En déduire que A est inversible puis déterminer A 1 Proposition 36 Inversibilité et inverse des matrices triangulaires Une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) T est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls Dans ce cas, T 1 est triangulaire supérieure (resp inférieure) et ses coefficients diagonaux sont les inverses des coefficients diagonaux de T Proposition 37 Inversibilité et inverse des matrices diagonales Une matrice diagonale D est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls Dans ce cas, D 1 est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les inverses des coefficients diagonaux de D Exemple 32 Les matrices de permutation, de dilatation et de transvection sont inversibles : P 1 ij et T ij (α) 1 = T ij ( α) = P ij, M i (α) 1 = M i ( 1 α ) Proposition 38 Toute matrice inversible peut être transformée en la matrice identité à l aide d opérations sur les colonnes uniquement ou à l aide d opérations sur les lignes uniquement 9

10 Méthode Calcul de l inverse par la méthode de Gauss-Jordan Ü ê Supposons que l on ait à inverser la matrice A = On écrit I 3 à droite de A et on effectue les mêmes opérations élémentaires sur les lignes de A et I 3 de manière à transformer A en I 3 La suite d opérations sur les lignes de A correspondra à une multiplication à gauche par A 1 : I 3 sera donc transformé en A 1 Ü ê On annule dans la première colonne Ü ê L 2 L 2 L 1 Puis dans la deuxième ligne Ü ê L 3 L 3 + 2L 2 On met des 1 sur la diagonale Ü ê L 2 L 2 L 3 L 3 On annule au-dessus de la diagonale Ü ê L 1 L 1 2L Ü ê On a donc A 1 = On aurait également pu placer I 3 au-dessous de A et effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes Remarque Si jamais la matrice donnée n est pas inversible, la méthode précédente donnera une ligne ou une colonne nulle, ce qui montre la non inversibilité Attention! Dans la méthode de Gauss-Jordan, on effectue des opérations sur les lignes ou sur les colonnes Jamais sur les deux en même temps! 10

11 Explication de la méthode de Gauss-Jordan Soit A GL n (K) Supposons qu on pivote uniquement sur les lignes d une matrice A La transformation de la matrice A en la matrice I n se traduit par l existence de matrices élémentaires G 1, G k telles que G k G 1 A = I n On a donc G k G 1 = A 1 Comme on effectue les mêmes opérations sur I n, celle-ci est transformée en G k G 1 I n = A 1 Supposons qu on pivote uniquement sur les colonnes d une matrice A La transformation de la matrice A en la matrice I n se traduit par l existence de matrices élémentaires G 1, G k telles que AG 1 G k = I n On a donc G 1 G k = A 1 Comme on effectue les mêmes opérations sur I n, celle-ci est transformée en I n G 1 G k = A 1 Remarque L algorithme du pivot de Gauss permet de montrer que toute matrice de GL n (K) peut s écrire comme un produit de matrices de dilatation et de transvection On dit que ces matrices engendrent le groupe GL n (K) Exercice 37 Déterminer l inverse de la matrice : n n n Exercice 38 Matrices diagonales par blocs A 0 Soient A M n (K) et B M p (K) Montrer que la matrice M = est inversible si et seulement 0 B si A et B le sont et déterminer M 1 dans ce cas Étendre ce résultat à une matrice diagonale par blocs Exercice 39 Matrices triangulaires par blocs A C Soient A M n (K), B M p (K) et C M n,p (K) Montrer que la matrice M = est inversible si 0 B et seulement si A et B le sont Étendre ce résultat à une matrice triangulaire par blocs 34 Trace Définition 37 Trace Pour A M n (K), on appelle trace de A, notée tr(a), la somme des coefficients diagonaux de A Proposition 39 Propriétés de la trace (i) La trace est une forme linéaire sur M n (K) (ii) Pour tout A M n (K), tr( t A) = tr(a) (iii) Pour tout (A, B) M n (K) 2, tr(ab) = tr(ba) 11

12 Attention! Si (A, B, C) M n (K) 3, on peut affirmer que d une part tr(abc) = tr(cab) = tr(bca) et, d autre part que tr(cba) = tr(acb) = tr(bac) Mais en général tr(abc) = tr(cab) = tr(bca) tr(cba) = tr(acb) = tr(bac) Remarque On peut également montrer que si (A, B) M n,p (K) M p,n (K), alors tr(ab) = tr(ab) même si les matrices A et B ne sont pas carrées 4 Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires 41 Matrices et vecteurs Définition 41 Matrice d un vecteur dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, B = (e 1,, e n ) une base de E et x E On appelle matrice de x dans la base B la matrice colonne de taille n, notée mat B (x), formée des coordonnées de x dans la base B : â ì mat B (x) = a 1 a 2 a n n avec x = a i e i i=1 Exemple 41 La matrice de (1, 2, 4, 3) dans la base canonique de R 4 est à í Exemple 42 à í 5 La matrice de 4X 3 + 3X 2 2X 5 dans la base canonique de R 3 [X] est Proposition 41 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1 et B une base de E L application est un isomorphisme { E Mn,1 (K) x mat B (x) Remarque En particulier, si on considère la base canonique de K n, on peut associer à une matrice colonne de taille n un unique vecteur de K n On identifiera souvent les matrices colonnes de M n,1 (K) aux vecteurs de K n 12

13 Définition 42 Matrice d une famille de vecteurs dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, B = (e 1,, e n ) une base de E et F = (x 1,, x p ) une famille de vecteurs de E On appelle matrice de F dans la base B la matrice de taille n p, notée mat B (F), formée des coordonnées des vecteurs de F dans la base B : mat B (F) = (a ij ) 1 i n avec j 1, p, x j = 1 j p n a ij e i i=1 Exemple 43 ÜLa matrice de la êfamille ((1, 2, 3), (0, 1, 2), ( 2, 1, 3), (4, 5, 1)) dans la base canonique de R 3 est Exemple 44 La matrice de la famille ( X 3 + X 2 1, 2X 2 3, 4X 3 + 3X 2 2X 5) dans la base canonique de R 3 [X] est à í Proposition 42 Matrices et bases Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, B = (e 1,, e n ) une base de E et F = (x 1,, x n ) une famille de vecteurs de E Alors F est une base de E si et seulement si mat B (F) est inversible 42 Matrices et applications linéaires Définition 43 Matrice d une application linéaire dans des bases Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n Soient B 1 = (e 1,, e p ) et B 2 = (f 1,, f n ) des bases respectives de E et F Soit enfin u L(E, F) On appelle matrice de u dans les bases B 1 et B 2 la matrice de taille n p : mat B1,B 2 (u) = mat B2 (u(e 1 ),, u(e p )) Exemple 45 { R Soit f : 3 R 2 On vérifie que f est bien une application linéaire Notons (x, y, z) (x + y z, 2x y + 3z) B 3 et B 2 les bases canoniques ( respectives ) de R 3 et R 2 Alors f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (1, 1) et f(0, 0, 1) = ( 1, 3) donc mat B3,B 2 (f) =

14 Exemple 46 { R4 [X] R Soit T : 5 [X] P X 4 P (3) On vérifie que T est bien une application linéaire Notons + P(2) + P( X) B 4 et B 5 les bases canoniques respectives de R 4 [X] et R 5 [X] Alors T(1) = 2, T(X) = 2 X, T(X 2 ) = X 2 + 4, T(X 3 ) = 6X 4 X et T(X 4 ) = 24X 5 + X donc mat B4,B 5 (T) = Proposition 43 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives { p et n Soient B 1 = (e 1,, e p ) et B 2 = L(E, F) Mn,p (K) (f 1,, f n ) des bases respectives de E et F L application est un isomorphisme u mat B1,B 2 (u) Corollaire 41 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie Alors dim L(E, F) = dim E dim F Définition 44 Soit A M n,p (K) On appelle application linéaire canoniquement associée à A l unique application f L(K p, K n ) dont la matrice dans les bases canoniques de K p et K n est A Remarque { Quitte à identifier matrices colonnes et vecteurs, l application linéaire canoniquement associée à K p K A est n X AX Exemple L application linéaire canoniquement associée à la matrice est { K 3 K 2 (x, y, z) (2x 3y + 4z, x + 2z) Proposition 44 Interprétation matricielle de l image d un vecteur Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie Soient B 1 et B 2 des bases respectives de E et F Soient x E, y F et u L(E, F) On pose X = mat B1 (x), Y = mat B1 (y) et U = mat B1,B 2 (u) Alors y = u(x) Y = UX 14

15 Exemple Soit u L(R 3, R 2 ) de matrice U = où B 3 et B 2 sont les bases canoniques respectives de R 3 et Ü ê 1 0 R 2 Soit x = (1, 2, 3) R 3 La matrice de x dans B 3 est X = 2 Puisque UX =, u(x) = (0, 9) 9 3 Proposition 45 Interprétation matricielle d une composée d applications linéaires Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie Soient B 1, B 2, B 3 des bases respectives de E, F, G Soient u L(E, F) et v L(F, G) Alors mat B1,B 3 (v u) = mat B2,B 3 (v) mat B1,B 2 (u) Remarque Ces deux dernières propositions nous disent tout simplement que toute l algèbre linéaire en dimension finie peut être interprété en termes de matrices Proposition 46 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension de bases respectives B 1 et B 2 Soit u L(E, F) Alors u est bijective si et seulement si mat B1,B 2 (u) est inversible, et dans ce cas : (mat B1,B 2 (u)) 1 = mat B2,B 1 (u 1 ) Matrices de Vandermonde Soit (x 0,, x n ) K n+1 On pose M = (x j i ) 0 i,j n M est inversible { si et seulement si les x i sont distincts Kn [X] K entre eux deux à deux car M est la matrice de l application linéaire n+1 dans P (P(x 0 ),, P(x n )) les bases canoniques de K n [X] et K n+1 43 Matrices et endomorphismes Dans le cas des endomorphismes, on utilise souvent la même base de départ et d arrivée pour la représentation matricielle Définition 45 Matrice d un endomorphisme dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, B une base de E et u L(E) On appelle matrice de u dans la base B la matrice carrée de taille n : mat B (u) = mat B,B (u) Exemple 49 Matrice de l identité Soit E un espace vectoriel de dimension n N La matrice de Id E dans toute base de E est I n Exemple 410 Matrice d un projecteur La matrice d un projecteur p d un espace vectoriel ( de dimension ) finie E dans une base adaptée à la décomposition en somme directe E = Im p Ker p est avec q = dim Im p et r = dim Ker p Iq 0 q,r 0 r,q 0 q 15

16 Exemple 411 Matrice d une symétrie La matrice d une symétrie s d un espace vectoriel de dimension ( finie E dans ) une base adaptée à la décomposition Iq 0 q,r en somme directe E = Ker(s Id E ) Ker(s + Id E ) est avec q = dim Ker(s Id E ) et r = 0 r,q I r dim Ker(s + Id E ) Exemple 412 Sous-espace stable Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel de dimnension finie E Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires dans E On note B une base adaptée à la ( décomposition ) en somme directe E = F G A C Si F est stable par u, la matrice de u dans B est de la forme où A et B sont des matrices carrées 0 B de tailles respectives dim F et dim G Plus précisément, A est la matrice de l endomorphisme induit par u sur F dans la base de F extraite de B A 0 Si F et G sont stables par u, la matrice de u dans B est de la forme où A et B sont à nouveau 0 B des matrices carrées de tailles respectives dim F et dim G Plus précisément, A et B sont respectivement les matrices des endomorphismes induits par u sur F et G dans les bases de F et G extraites de B Proposition 47 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et B une base de E L application un isomorphisme d anneaux { L(E) Mn (K) u mat B (u) est Remarque Comme précédemment, on peut associer à toute matrice de M n (K) un unique endomorphisme de K n Exercice 41 Montrer qu une matrice triangulaire stricte est nilpotente à l aide de l endomorphisme qui lui est canoniquement associé Proposition 48 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et de base B L application isomorphisme de groupes { GL(E) GLn (K) u mat B (u) est un Corollaire 42 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et de base B Soit u L(E) Alors u est un automorphisme si et seulement si mat B (u) est inversible et, dans ce cas, mat B (u 1 ) = mat B (u) 1 Exercice 42 Montrer que l application { R2 [X] R 2 [X] P P(X + 1) + P(X) est un automorphisme de R 2 [X] 16

17 Exercice 43 On pose A = Ä ( j i )ä0 i,j n en convenant que ( j i) = 0 pour i > j En remarquant que A est la matrice d un endomorphisme de K n [X], montrer que A est inversible et déterminer son inverse Corollaire 43 Soit (A, B) M n (K) 2 Si AB = I n, alors A et B sont inversibles et inverses l une de l autre Remarque En toute généralité, on devrait prouver que AB = I n et BA = I n La proposition précédente nous dit donc, que dans le cadre de l anneau M n (K), il suffit de vérifier l une des deux conditions Exercice 44 Soient A et B dans M n (C) telles que Montrer que AB = BA AB = I n + A + A 2 Méthode Inversibilité et inversion d une matrice Pour déterminer l inversibilité d une matrice A M n (K) et calculer A 1 le cas échéant, on écrit le système Y = AX avec X = t (x 1,, x n ) et Y = t (y 1,, y n ) où les inconnues sont x 1,, x n Si le système admet une solution, elle est du type X = A 1 Y ce qui permet d identifier A 1 44 Matrices et formes linéaires Définition 46 Matrice d une forme linéaire dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension p et B = (e 1,, e p ) une base de E Soit enfin ϕ E On appelle matrice de ϕ dans la base B la matrice ligne de taille p : mat B (u) = mat B (ϕ(e 1 ),, ϕ(e p )) Remarque En particulier, si on considère la base canonique de K p, on peut associer à toute matrice ligne de taille p une unique forme linéaire sur K p On identifiera souvent les matrices lignes de M 1,p (K) aux formes linéaires sur K p Définition 47 Matrice d une famille de formes linéaires dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension p 1, B = (e 1,, e p ) une base de E et F = (ϕ 1,, ϕ n ) une famille de formes linéaires sur E On appelle matrice de F dans la base B la matrice de taille n p, notée mat B (F) : mat B (F) = (ϕ i (e j ) 1 i n 1 j p 17

18 5 Noyau, image et rang d une matrice 51 Noyau et image Définition 51 Pour A M n,p (K), on pose : Ker A = {X M p,1 (K) AX = 0} Im A = {AX, X M p,1 (K)} { Mp,1 (K) M Remarque L application n,1 (K) est une application linéaire Ker A et Im A sont X AX respectivement le noyau et l image de cette application linéaire Ker A et Im A sont donc des sous-espaces vectoriels respectifs de M p,1 (K) et M n,1 (K) Remarque Quitte à identifier les matrices colonnes de taille p et n aux vecteurs de K p et K n, on peut dire que Ker A et Im A sont les noyau et image de l application linéaire canoniquement associée à A Proposition 51 Soit A M n,p (K) Im A est le sous-espace vectoriel de M n,1 (K) engendré par les colonnes de A Méthode Calcul du noyau et de l image Pour déterminer le noyau d une matrice A M n,p (K), il suffit de résoudre le système correspondant à l équation AX = 0 L image d une matrice A est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de A Méthode Critère d inversibilité En particulier, pour montrer qu une matrice carrée A est inversible, il suffit de montrer que l équation AX = 0 admet comme unique solution X = 0 Proposition 52 Lien entre noyau, image d une application linéaire et de sa matrice Soient B 1 et B 2 des bases respectives de deux K-espaces vectoriels E et F de dimension n et p Soient u L(E, F) et A = mat B1,B { 2 (u) E Mp,1 (K) L application induit un isomorphisme de Ker u sur Ker A x mat B1 (x) { F Mn,1 (K) L application induit un isomorphisme de Im u sur Im A x mat B2 (x) Méthode Détermination d une base du noyau et de l image d une application linéaire grâce à sa matrice Soit u une application linéaire de matrice A dans deux bases On sait déterminer une base de Ker A et Im A Les isomorphismes précédents nous permettent d en déduire une base de Ker u et Im u 18

19 Exemple 51 Déterminer le noyau et l image de l application { R3 [X] R 3 [X] P P(X + 1) + P(X 1) 2P(X) Proposition 53 Les opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice laissent son image inchangée Les opérations élémentaires sur les lignes d une matrice laissent son noyau inchangé 19

20 Méthode Déterminer le noyau et l image d une matrice en même temps! Ü ê Supposons que l on veuille déterminer le noyau et l image de A = On écrit A puis on ajoute au-dessous une matrice identité Puis on pivote sur les colonnes Encore une fois pour avoir la dernière colonne nulle On a alors Im A = vect ÜÜ ê Ü 1 2 1, êê C 2 C 2 2C 1 C 3 C 3 C 1 C 3 C 3 C 2 et Ker A = vect ÜÜ êê Attention! Pour appliquer cette méthode, on pivote uniquement sur les colonnes 20

21 52 Rang Définition 52 Rang d une matrice Soit A une matrice On pose rg(a) = dim Im A Remarque Le rang d une matrice est également le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ou encore de l application linéaire qui lui est canoniquement associée Remarque Si A M n,p (K), alors rg(a) min(n, p) Remarque On verra plus tard que rg(a) = rg( t A) Le rang d une matrice est aussi le rang des vecteurs lignes de A Proposition 54 Théorème du rang matriciel Soit A M n,p (K) Alors p = rg(a) + dim Ker(A) Proposition 55 Rang d une famille de vecteurs et de sa matrice Soient B une base d un K-espace vectoriel E de dimension finie et F une famille vecteurs de E Alors rg F = rg mat B (F) Proposition 56 Rang d une application linéaire et de sa matrice Soient B 1 et B 2 des bases respectives de deux K-espaces vectoriels E et F de dimension finie Soit u L(E, F) Alors rg u = rg mat B1,B 2 (u) Proposition 57 Rang d un endomorphisme et de sa matrice Soient B une base d un K-espace vectoriel E de dimension finie Soit u L(E) Alors rg u = rg mat B (u) Proposition 58 Rang et inversibilité Soit A M n (K) A est inversible si et seulement si rg A = n Lemme 51 Soient α K, A M n,p (K), C M n,1 (K) et L M 1,p (K) Alors α L α 0 rg = rg = 1 + rg A 0 A C A 21

22 Méthode Calcul du rang On utilise le pivot de Gauss (sur les lignes ou les colonnes) pour annuler des coefficients sur la première ligne et le lemme précédent pour se ramener à une matrice de taille inférieure On supprime également les lignes ou colonnes nulles apparaissant au cours des opérations de pivot à í à í rg = rg = 1 + rg = 1 + rg = 1 + rg Ü ê Ü ê Ü L 2 L 2 + 3L 1 L 3 L 3 + L 1 L 4 L L 1 L 1 L 2 ê L 2 L 2 8L 1 L 3 L 3 55L = 2 + rg = 2 + rg L L = 2 + rg L 2 L L = 3 Remarque Pour le calcul du rang, on peut effectuer des opérations de pivot sur les lignes et les colonnes en même temps 6 Changements de bases, équivalence et similitude 61 Changement de base Définition 61 Matrice de passage Soient B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie On appelle matrice de passage de la base B à la base B la matrice mat B (B ), notée P B B Proposition 61 Soient B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie Alors P B B est inversible et Ä ä P B 1 B = P B B 22

23 Remarque On peut remarquer que P B B = mat B,B(Id E ) Proposition 62 Changement de base pour les vecteurs Soit B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie Soit x E On pose X = mat B (x), X = mat B (x) et P = P B B Alors X = PX Attention! La formule de changement de base est bien X = PX et non X = PX Proposition 63 Changement de base pour les applications linéaires Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie de bases E et E Soit également F un K-espace vectoriel de dimension finie de bases F et F Soit enfin u L(E, F) On note P = P E E, Q = PF F, A = mat E,F (u) et A = mat E,F (u) Alors A = Q 1 AP Proposition 64 Changement de base pour les endomorphismes Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie de bases E et E Soit u L(E) On note P = P E E, A = mat E (u) et A = mat E (u) Alors A = P 1 AP Méthode Se souvenir des formules de changement de base Soient u L(E), x E, y = u(x) E et B, B deux bases de E Notons respectivement A, X, Y les matrices de u, x, y dans la base B et A, X, Y les matrices de u, x, y dans la base B Notons enfin P la matrice de passage de B vers B On a Y = AX, X = PX et Y = PY On en déduit Y = P 1 APX Or Y = A X donc A = P 1 AP Proposition 65 Changement de base pour les formes linéaires Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie de bases E et E Soit ϕ E On note P = P E E, L = mat E (ϕ) et L = mat E (va) Alors L = LP 62 Matrices équivalentes et rang Définition 62 Matrices équivalentes Soient A et A deux matrices de M n,p (K) On dit que A est équivalente à A si et seulement si il existe P GL p (K) et Q GL n (K) telle que A = Q 1 AP Proposition 66 La relation «être équivalente à» est une relation d équivalence Remarque On pourra alors dire sans ambiguïté que deux matrices sont équivalentes plutôt que de dire que l une est équivalente à l autre 23

24 Proposition 67 Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans deux couples de bases Notation 61 Lorsque l on travaille dans M n,p (K), pour 0 r min(n, p), on note J n,p,r la matrice suivante : Ir 0 r,p r Il est clair que la matrice J n,p,r est de rang r 0 n r,r 0 n r,p r Proposition 68 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et p et u L(E, F) Alors u est de rang r si et seulement si il existe des bases B et B de E et F telles que mat B,B (u) = J n,p,r Corollaire 61 Caractérisation du rang Soit M M n,p (K) Alors M est de rang r si et seulement si M est équivalente à J n,p,r Exercice 61 â Soient A = que UAV = J r ì et r = rg A Déterminer U GL 4 (R) et V GL 5 (R) telles Corollaire 62 Deux matrices ont même rang si et seulement si elles sont équivalentes Proposition 69 Invariance du rang par transposition Soit M M n,p (K) Alors rg t A = rg A Corollaire 63 Le rang d une matrice est égal au rang de la famille de ses vecteurs lignes Définition 63 Matrice extraite Soit A = (a ij ) 1 i n une matrice de M n,p (K) On appelle matrice extraite de A toute matrice de la forme 1 j p (a ij ) (i,j) I J où I 1, n et J 1, p 24

25 Remarque Plus prosaïquement, une matrice extraite est une matrice obtenue en conservant certaines ou toutes les lignes ou colonnes de la matrice initiale ou, de manière équivalente, en supprimant éventuellement certaines lignes ou colonnes de la matrice initiale Exemple 61 Ü ê La matrice est une matrice extraite de la matrice conservé les colonnes 1, 3, 4 et les lignes 1, 3, 4 à í On a en effet Proposition 610 Le rang d une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice dont elle est extraite Proposition 611 Le rang d une matrice est égale à la taille de la plus grande matrice carrée inversible que l on peut extraire de cette matrice 63 Matrices semblables et trace Définition 64 Matrices semblables Soient A et B deux matrices de M n (K) On dit que B est semblable à A si et seulement si il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP Exemple 62 La seule matrice semblable à la matrice identité est la matrice identité elle-même La seule matrice semblable à la matrice nulle est la matrice nulle Proposition 612 La relation de similitude («être semblable à») est une relation d équivalence Remarque On pourra alors dire sans ambiguïté que deux matrices sont semblables plutôt que de dire que l une est semblable à l autre Remarque Deux matrices semblables sont équivalentes La réciproque est fausse Remarque Si deux matrices sont semblables, l une est inversible si et seulement si l autre l est Remarque Si A et B sont semblables, alors A n et B n sont semblables pour tout n N (pour tout n Z si A est inversible) Plus précisément, s il existe une matrice inversible P telle que B = P 1 AP, alors B n = P 1 A n P pour tout n N (pour tout n Z si A est inversible) 25

26 Exercice Soit A = Montrer que A est semblable à une matrice diagonale En déduire A n pour tout n N 1 4 Proposition 613 Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases Proposition 614 Deux matrices semblables ont la même trace Attention! La réciproque est fausse Deux matrices de même trace ne sont même pas nécessairement équivalentes Définition 65 Trace d un endomorphisme Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension finie Alors la trace de mat B (u) est indépendante de la base choisie On l appelle la trace de l endomorphisme u et on la note tr(u) Exemple 63 Trace d un projecteur La trace d un projecteur est égale à son rang Proposition 615 Propriétés de la trace Soit E un espace vectoriel de dimension finie Soient u et v deux endomorphismes d un même K-espace vectoriel de dimension finie (i) La trace est une forme linéaire sur L(E) (ii) Pour tout (u, v) L(E) 2, tr(u v) = tr(v u) 7 Systèmes linéaires Interprétation matricielle d un système linéaire Un système linéaire (S) de n équations à p inconnues peut toujours se mettre sous la forme AX = B avec A M n,p (K) B M n,1 (K) et où X M p,1 (K) est l inconnue B est alors appelé le second membre de ce système d équations Le système linéaire homogène ou sans second membre associé à S est le système AX = 0 Remarque Résoudre un système linéaire, c est également rechercher les coefficients des combinaisons linéaires des vecteurs colonnes de A égales à B Si on note ϕ 1,, ϕ p les formes linéaires canoniquement associées aux lignes de A, c est également rechercher les vecteurs x K n tels que ϕ i (x) = b i pour 1 i n C est également déterminer l intersection des hyperplans affines d équations ϕ i (x) = b 26

27 Définition 71 Le rang du système linéaire AX = B est le rang de A Un système linéaire est dit compatible s il admet au moins une solution Proposition 71 Structure de l ensemble des solutions L ensemble des solutions du système AX = 0 où A M n,p (K) est Ker A C est un sous-espace vectoriel de M p,1 (K) de dimension n rg(a) Le système AX = B où A M n,p (K) et B M n,1 (K) n a de solution que si B Im A Dans ce cas, l ensemble des solutions est le sous-espace affine X 0 + Ker A où X 0 est une solution particulière Méthode La résolution d un système linéaire peut se faire de la manière suivante On forme une nouvelle matrice C = (A B) en plaçant B à droite de A On effectue un pivot de Gauss sur les lignes de C de manière à se ramener à une matrice C = (A B ) Les solutions de AX = B sont les solutions de A X = B La résolution du second système est plus simple car A est sous forme triangulaire Définition 72 Système de Cramer On dit que le système AX = B est de Cramer si A est inversible (en particulier n = p) Proposition 72 Le système AX = B possède une unique solution si et seulement si A est inversible Dans ce cas, cette unique solution est A 1 B Remarque En pratique, on ne calcule jamais A 1 pour obtenir la solution On triangularise le système avec la méthode décrite précédemment Exercice 71 Résoudre le système d équations suivant d inconnues complexes : x 1 + x 2 + x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 2x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x nx n =

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