1.3 Produit matriciel
|
|
- Sophie Marion
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans K à n lignes et p colonnes ou matrice à coefficients dans K de taille n p toute famille d éléments de K indexée sur 1, n 1, p ie toute famille d éléments de K du type (a ij ) 1 i n 1 j p Notation 11 Une matrice de taille n p est généralement représentée sous forme d un tableau à n lignes et p colonnes (d où l appellation) : a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p a i1 a i2 a ij a ip a n1 a n2 a nj a np L élément a ij est donc placé sur la i ème ligne et sur la j ème colonne Définition 12 Ensembles de matrices On note M n,p (K) l ensemble des matrices à coefficients dans K de taille n p Lorsque n = p, cet ensemble est plus simplement noté M n (K) On parle alors de matrices carrées de taille n Lorsque p = 1, on parle de matrices colonnes de taille n Lorsque n = 1, on parle de matrices lignes de taille p Remarque Les appellations «matrices carrées», «matrices colonnes» et «matrices lignes» proviennent bien évidemment de la forme des tableaux représentant ces matrices dans les cas n = p, p = 1 et n = 1 12 Structure de K-espace vectoriel M n,p (K) n est autre que K 1,n 1,p ou encore K np On définit donc la loi interne + et la loi interne usuelles de sorte qu on a le résultat suivant Proposition 11 Structure de K-espace vectoriel de M n,p (K) M n,p (K) est un K-espace vectoriel 1
2 Remarque Le vecteur nul de M n,p (K) est la matrice nulle ie le tableau à n lignes et p colonnes rempli de zéros Définition 13 Base canonique de M n,p (K) Pour (i, j) 1, n 1, p, on note E ij la matrice de M n,p (K) dont tous les coefficients sont nuls à l exception de celui de la i ème ligne et de la j ème colonne qui vaut 1 La famille (E ij ) 1 i n est une base de M n,p (K) appelée base canonique de M n,p (K) 1 j p La dimension de M n,p (K) est donc np 13 Produit matriciel On définit également une multiplication sur les matrices qui peut paraître étrange au premier abord mais dont le sens apparaîtra lorsque nous identifierons matrices et applications linéaires Définition 14 Produit matriciel Soient A = (a ij ) 1 i n M n,p (K) et B = (b ij ) 1 i p M p,q (K) On définit le produit AB comme la matrice 1 j p 1 j q C = (c ij ) 1 i n M n,q (K) telle que : 1 j q (i, j) 1, n 1, q, c ij = p a ik b kj k=1 Attention! On ne multiplie que des matrices de taille compatible, c est-à-dire que l on multiplie une matrice à p colonnes par une matrice à p lignes Attention! Non commutativité du produit matriciel Le produit matriciel est non commutatif En effet, si le produit AB est bien défini, le produit BA ne l est généralement pas pour des raisons de non compatibilité de 1 1 taille Quand bien même il serait défini, on n a généralement pas BA AB Il suffit de prendre A = et B = 1 0 Proposition 12 Propriétés du produit matriciel Le produit matriciel est bilinéaire (λ, µ) K 2, (A, B) M n,p (K) 2, C M p,q (K), (λa + µb)c = λac + µbc (λ, µ) K 2, A M n,p (K), (B, C) M p,q (K) 2, A(λB + µc) = λab + µac Le produit matriciel est associatif A M n,p (K), B M p,q (K), C M q,r (K), A(BC) = (AB)C Exercice 11 Soit (E ij ) 1 i,j n la base canonique de M n (K) Montrer que pour tout (i, j, k, l) M n (K) 4, E ij E kl = δ jk E il 2
3 14 Transposition Définition 15 Transposée Soit A = (a ij ) 1 i n M n,p (K) On appelle transposée de A la matrice (a ji ) 1 i p M p,n (K), notée t A 1 j p 1 j n Remarque Concrètement, l opération de transposition échange les lignes et les colonnes des matrices Remarque La transposée d une matrice carrée est une matrice carrée de même taille Proposition 13 Propriétés de la transposition La transposition est linéaire : (λ, µ) K 2, (A, B) M n,p (K) 2, t (λa + µb) = λ t A + µ t B La transposition est involutive : Transposée d un produit : A M n,p (K), t ( t A) = A (A, B) M n,p (K) 2, t (AB) = t B t A 15 Matrices définies par blocs Matrices définies par blocs Soit A M n,q (K), B M p,q (K), C M n,r (K) et D M p,r (K) On peut définir une matrice M M n+p,q+r (K) à l aide de ces quatre matrices de la façon suivante : A C M = B D Produit de matrices définies par blocs Le produit de deux matrices définies par blocs s effectue de la manière suivante : ) ) B ( A C D F ) ( E G H = BE + DF ( AE + CF AG + CH BG + DH Attention! Il faut bien évidemment que les différentes matrices soient de taille compatible : le nombre de colonnes de A et B doit être le nombre de lignes de E et G ; le nombre de colonnes de C et D doit être le nombre de lignes de F et H Remarque La transposée de la matrice B ( A C ) D est la matrice t C ( t A t B ) t D 3
4 2 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d une matrice 21 Opérations élémentaires et pivot de Gauss Définition 21 Opérations élémentaires On appelle opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice les opérations suivantes : échange de deux colonnes, notée C i C j ; multiplication d une colonne par un scalaire non nul α, notée C i αc i ; addition d un multiple d une colonne à une autre, notée C i C i + αc j On définit de même les opérations élémentaires sur les lignes : échange de deux lignes, notée L i L j ; multiplication d une ligne par un scalaire non nul α, notée L i αl i ; addition d un multiple d une ligne à une autre, notée L i L i + αl j Remarque Un échange peut s écrire à l aide des autres opérations En effet, l échange C i C j peut s écrire comme la suite d opérations C i C i + C j, C j C j C i, C i C i + C j, C j C j De même pour les lignes Proposition 21 On peut échelonner une matrice en colonnes à l aide d opérations élémentaires sur les colonnes On peut échelonner une matrice en lignes à l aide d opérations élémentaires sur les lignes Méthode Pivot de Gauss Le pivot de Gauss consiste à utiliser des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d une matrice pour se ramener à une forme échelonnée en lignes ou en colonnes 22 Interprétation matricielle Proposition 22 Matrices élémentaires Soit n N Pour i, j 1, n avec i j et α K, on pose : P ij = E ij + E ji + I n E ii E ij D i (α) = I n + (α 1)E ii T ij (α) = I n + αe ij Pour une matrice de M p,n (K) : l opération C i C j correspond à la multiplication à droite par P ij ; l opération C i αc i correspond à la multiplication à droite par M i (α) ; l opération C j C j + αc i correspond à la multiplication à droite par T ij (α) Pour une matrice de M n,p (K) : l opération L i L j correspond à la multiplication à gauche par P ij ; l opération L i αl i correspond à la multiplication à gauche par M i (α) ; l opération L i L i + αl j correspond à la multiplication à gauche par T ij (α) Ces matrices sont appelées des matrices élémentaires 4
5 Remarque Les P ij sont des matrices de permutation ou plus exactement de transposition Les D i (α) sont des matrices de dilatation Les T ij (α) sont des matrices de transvection Une matrice de transposition peut s écrire comme un produit de matrices de dilatation et de transvection Remarque Ce qu il faut surtout retenir, c est que les opérations sur les colonnes correspondent à des multiplications à droite et les opérations sur les lignes à des multiplications à gauche 3 L anneau M n (K) 31 Structure d anneau de M n (K) Notation 31 On appelle matrice identité de taille n la matrice carrée de taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres nuls On a donc I n = (δ ij ) 1 i,j n où δ ij est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i = j, 0 sinon Proposition 31 Structure d anneau de M n (K) (M n (K), +, ) est un anneau L élément neutre pour la multiplication est la matrice identité I n Pour n > 1, l anneau M n (K) est non commutatif et non intègre Remarque M n (K) est même une K-algèbre : c est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau et pour λ K et (A, B) M n (K) 2, (λa)b = A(λB) = λ(ab) Exemple Soit A = et B = Alors AB = 0 mais A 0 et B Remarque Comme Ü dans tout ê anneau, une matrice A est dite nilpotente s il existe n N tel que A n = Par exemple, A = est nilpotente Exercice 31 Montrer que le centre de M n (K) est vect(i n ) Méthode Calcul de puissances à l aide d un polynôme annulateur Soient A M n (K) et P K[X] tel que P(A) = 0 En notant R n le reste de la division euclidienne de X n par P, A n = R n (A) Exercice Soit A = Trouver un polynôme P de degré 2 tel que P(A) = 0 En déduire A n pour tout n N
6 Méthode Calcul de puissances à l aide de la formule du binôme M n (K) étant un anneau, la formule du binôme est vraie pour deux matrices carrées qui commutent Exercice 33 a b Soit A = Calculer A n pour tout n N b a Exercice 34 Ü ê Soit A = Calculer A n pour tout n N 32 Matrices particulières de M n (K) 321 Matrices triangulaires Définition 31 Matrices triangulaires inférieures et supérieures On appelle matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) toute matrice carrée dont tous les coefficients situés au-dessous (resp au-dessus) de la diagonale sont nuls On notera T + n (K) (resp T n (K)) l ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) de taille n à coefficients dans K Remarque Soit T = (t ij ) 1 i,j n T est triangulaire supérieure si et seulement si t ij = 0 pour i > j T est triangulaire inférieure si et seulement si t ij = 0 pour i < j Remarque Une matrice est dite triangulaire supérieure (resp inférieure) stricte si elle est triangulaire supérieure (resp inférieure) et si ses coefficients diagonaux sont nuls Soit T = (t ij ) 1 i,j n T est triangulaire supérieure stricte si et seulement si t ij = 0 pour i j T est triangulaire inférieure stricte si et seulement si t ij = 0 pour i j Proposition 32 T + n (K) et T n (K) sont des sous-espaces vectoriels de dimension n(n+1) 2 et des sous-anneaux de M n (K) De plus, les coefficients diagonaux d un produit de matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) sont les produits des coefficients diagonaux de ces matrices Remarque La transposition sur M n (K) induit une involution linéaire (et donc un isomorphisme) de T + n (K) sur T n (K) 6
7 322 Matrices diagonales Définition 32 Matrices diagonales On appelle matrice diagonale toute matrice carrée dont tous les coefficients non diagonaux sont nuls Soit (α 1,, α n ) K n On note diag(α 1,, α n ) la matrice diagonale de taille n dont les coefficients diagonaux sont α 1,, α n L ensemble des matrices diagonales de taille n à coefficients dans K sera noté D n (K) Remarque D n (K) = T + n (K) T n (K) Proposition 33 D n (K) est un sous-espace vectoriel de dimension n et un sous-anneau de M n (K) De plus, les coefficients diagonaux d un produit de matrices diagonales sont les produits des coefficients diagonaux de ces matrices 323 Matrices diagonales par blocs et triangulaires par blocs Définition 33 Matrices triangulaires par blocs On dit qu une matrice carrée A est triangulaire supérieure par blocs s il existe des matrices Définition 34 Matrices diagonales par blocs On dit qu une matrice carrée A est diagonale par blocs s il existe des matrices carrées A 1,, A r telles que â ì A1 0 0 A = 0 A A r 324 Matrices symétriques et antisymétriques Définition 35 Matrice symétrique ou antisymétrique Soit A M n (K) On dit que A est symétrique si t A = A On dit que A est antisymétrique si t A = A On notera S n (K) (resp A n (K)) l ensemble des matrices symétriques (resp antisymétriques) de M n (K) Remarque La dénomination «symétrique» ou «antisymétrique» provient de la symétrie des coefficients par rapport à la diagonale A est symétrique si et seulement si a ji = a ij pour (i, j) 1, n 2 A est symétrique si et seulement si a ji = a ij pour (i, j) 1, n 2 La diagonale d une matrice antisymétrique est nulle 7
8 Attention! Le produit de deux matrices symétriques (resp antisymétriques) n est pas forcément une matrice symétrique (resp antisymétrique) Proposition 34 S n (K) et A n (K) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de M n (K) de dimensions respectives n(n+1) 2 et n(n 1) 2 Exercice 35 Montrer que la transposition dans M n (K) est la symétrie par rapport à S n (K) parallèlement à A n (K) 33 Matrices inversibles Rappel L inversibilité des matrices est à comprendre dans le sens de l inversibilité dans un anneau Soit A M n (K) A est donc inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n Attention! L inversibilité n a de sens que pour les matrices carrées! Remarque On verra plus tard qu il est suffisant d avoir seulement AB = I n ou BA = I n pour affirmer que A est inversible d inverse B Définition 36 Groupe linéaire On appelle groupe linéaire de degré n sur K, noté GL n (K), le groupe des éléments inversibles de M n (K) Proposition 35 Propriétés de l inversion Inversibilité et produit Soit (A, B) GL n (K) 2 Alors AB GL n (K) et (AB) 1 = B 1 A 1 Involution Soit A GL n (K) Alors A 1 est inversible et ( A 1) 1 = A Inversibilité et puissance Soit A GL n (K) Pour tout k N, A k est inversible et ( A k) 1 = ( A 1 ) k (on note A k ) Inversibilité et transposée Soit A M n (K) Alors A GL n (K) si et seulement si t A GL n (K) Dans ce cas, ( t A) 1 = t (A 1 ) Méthode Calcul de l inverse à l aide d un polynôme annulateur Pour déterminer l inverse d une matrice A, on peut déterminer un polynôme annulateur de A ie un polynôme P tel que P(A) = 0 On peut alors déterminer A 1 sous la forme d un polynôme en A 8
9 Exercice 36 Soit Ü ê A = Calculer A 3 A 2 En déduire que A est inversible puis déterminer A 1 Proposition 36 Inversibilité et inverse des matrices triangulaires Une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) T est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls Dans ce cas, T 1 est triangulaire supérieure (resp inférieure) et ses coefficients diagonaux sont les inverses des coefficients diagonaux de T Proposition 37 Inversibilité et inverse des matrices diagonales Une matrice diagonale D est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls Dans ce cas, D 1 est diagonale et ses coefficients diagonaux sont les inverses des coefficients diagonaux de D Exemple 32 Les matrices de permutation, de dilatation et de transvection sont inversibles : P 1 ij et T ij (α) 1 = T ij ( α) = P ij, M i (α) 1 = M i ( 1 α ) Proposition 38 Toute matrice inversible peut être transformée en la matrice identité à l aide d opérations sur les colonnes uniquement ou à l aide d opérations sur les lignes uniquement 9
10 Méthode Calcul de l inverse par la méthode de Gauss-Jordan Ü ê Supposons que l on ait à inverser la matrice A = On écrit I 3 à droite de A et on effectue les mêmes opérations élémentaires sur les lignes de A et I 3 de manière à transformer A en I 3 La suite d opérations sur les lignes de A correspondra à une multiplication à gauche par A 1 : I 3 sera donc transformé en A 1 Ü ê On annule dans la première colonne Ü ê L 2 L 2 L 1 Puis dans la deuxième ligne Ü ê L 3 L 3 + 2L 2 On met des 1 sur la diagonale Ü ê L 2 L 2 L 3 L 3 On annule au-dessus de la diagonale Ü ê L 1 L 1 2L Ü ê On a donc A 1 = On aurait également pu placer I 3 au-dessous de A et effectuer des opérations élémentaires sur les colonnes Remarque Si jamais la matrice donnée n est pas inversible, la méthode précédente donnera une ligne ou une colonne nulle, ce qui montre la non inversibilité Attention! Dans la méthode de Gauss-Jordan, on effectue des opérations sur les lignes ou sur les colonnes Jamais sur les deux en même temps! 10
11 Explication de la méthode de Gauss-Jordan Soit A GL n (K) Supposons qu on pivote uniquement sur les lignes d une matrice A La transformation de la matrice A en la matrice I n se traduit par l existence de matrices élémentaires G 1, G k telles que G k G 1 A = I n On a donc G k G 1 = A 1 Comme on effectue les mêmes opérations sur I n, celle-ci est transformée en G k G 1 I n = A 1 Supposons qu on pivote uniquement sur les colonnes d une matrice A La transformation de la matrice A en la matrice I n se traduit par l existence de matrices élémentaires G 1, G k telles que AG 1 G k = I n On a donc G 1 G k = A 1 Comme on effectue les mêmes opérations sur I n, celle-ci est transformée en I n G 1 G k = A 1 Remarque L algorithme du pivot de Gauss permet de montrer que toute matrice de GL n (K) peut s écrire comme un produit de matrices de dilatation et de transvection On dit que ces matrices engendrent le groupe GL n (K) Exercice 37 Déterminer l inverse de la matrice : n n n Exercice 38 Matrices diagonales par blocs A 0 Soient A M n (K) et B M p (K) Montrer que la matrice M = est inversible si et seulement 0 B si A et B le sont et déterminer M 1 dans ce cas Étendre ce résultat à une matrice diagonale par blocs Exercice 39 Matrices triangulaires par blocs A C Soient A M n (K), B M p (K) et C M n,p (K) Montrer que la matrice M = est inversible si 0 B et seulement si A et B le sont Étendre ce résultat à une matrice triangulaire par blocs 34 Trace Définition 37 Trace Pour A M n (K), on appelle trace de A, notée tr(a), la somme des coefficients diagonaux de A Proposition 39 Propriétés de la trace (i) La trace est une forme linéaire sur M n (K) (ii) Pour tout A M n (K), tr( t A) = tr(a) (iii) Pour tout (A, B) M n (K) 2, tr(ab) = tr(ba) 11
12 Attention! Si (A, B, C) M n (K) 3, on peut affirmer que d une part tr(abc) = tr(cab) = tr(bca) et, d autre part que tr(cba) = tr(acb) = tr(bac) Mais en général tr(abc) = tr(cab) = tr(bca) tr(cba) = tr(acb) = tr(bac) Remarque On peut également montrer que si (A, B) M n,p (K) M p,n (K), alors tr(ab) = tr(ab) même si les matrices A et B ne sont pas carrées 4 Représentation matricielle des vecteurs et des applications linéaires 41 Matrices et vecteurs Définition 41 Matrice d un vecteur dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, B = (e 1,, e n ) une base de E et x E On appelle matrice de x dans la base B la matrice colonne de taille n, notée mat B (x), formée des coordonnées de x dans la base B : â ì mat B (x) = a 1 a 2 a n n avec x = a i e i i=1 Exemple 41 La matrice de (1, 2, 4, 3) dans la base canonique de R 4 est à í Exemple 42 à í 5 La matrice de 4X 3 + 3X 2 2X 5 dans la base canonique de R 3 [X] est Proposition 41 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1 et B une base de E L application est un isomorphisme { E Mn,1 (K) x mat B (x) Remarque En particulier, si on considère la base canonique de K n, on peut associer à une matrice colonne de taille n un unique vecteur de K n On identifiera souvent les matrices colonnes de M n,1 (K) aux vecteurs de K n 12
13 Définition 42 Matrice d une famille de vecteurs dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, B = (e 1,, e n ) une base de E et F = (x 1,, x p ) une famille de vecteurs de E On appelle matrice de F dans la base B la matrice de taille n p, notée mat B (F), formée des coordonnées des vecteurs de F dans la base B : mat B (F) = (a ij ) 1 i n avec j 1, p, x j = 1 j p n a ij e i i=1 Exemple 43 ÜLa matrice de la êfamille ((1, 2, 3), (0, 1, 2), ( 2, 1, 3), (4, 5, 1)) dans la base canonique de R 3 est Exemple 44 La matrice de la famille ( X 3 + X 2 1, 2X 2 3, 4X 3 + 3X 2 2X 5) dans la base canonique de R 3 [X] est à í Proposition 42 Matrices et bases Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, B = (e 1,, e n ) une base de E et F = (x 1,, x n ) une famille de vecteurs de E Alors F est une base de E si et seulement si mat B (F) est inversible 42 Matrices et applications linéaires Définition 43 Matrice d une application linéaire dans des bases Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et n Soient B 1 = (e 1,, e p ) et B 2 = (f 1,, f n ) des bases respectives de E et F Soit enfin u L(E, F) On appelle matrice de u dans les bases B 1 et B 2 la matrice de taille n p : mat B1,B 2 (u) = mat B2 (u(e 1 ),, u(e p )) Exemple 45 { R Soit f : 3 R 2 On vérifie que f est bien une application linéaire Notons (x, y, z) (x + y z, 2x y + 3z) B 3 et B 2 les bases canoniques ( respectives ) de R 3 et R 2 Alors f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (1, 1) et f(0, 0, 1) = ( 1, 3) donc mat B3,B 2 (f) =
14 Exemple 46 { R4 [X] R Soit T : 5 [X] P X 4 P (3) On vérifie que T est bien une application linéaire Notons + P(2) + P( X) B 4 et B 5 les bases canoniques respectives de R 4 [X] et R 5 [X] Alors T(1) = 2, T(X) = 2 X, T(X 2 ) = X 2 + 4, T(X 3 ) = 6X 4 X et T(X 4 ) = 24X 5 + X donc mat B4,B 5 (T) = Proposition 43 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives { p et n Soient B 1 = (e 1,, e p ) et B 2 = L(E, F) Mn,p (K) (f 1,, f n ) des bases respectives de E et F L application est un isomorphisme u mat B1,B 2 (u) Corollaire 41 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie Alors dim L(E, F) = dim E dim F Définition 44 Soit A M n,p (K) On appelle application linéaire canoniquement associée à A l unique application f L(K p, K n ) dont la matrice dans les bases canoniques de K p et K n est A Remarque { Quitte à identifier matrices colonnes et vecteurs, l application linéaire canoniquement associée à K p K A est n X AX Exemple L application linéaire canoniquement associée à la matrice est { K 3 K 2 (x, y, z) (2x 3y + 4z, x + 2z) Proposition 44 Interprétation matricielle de l image d un vecteur Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie Soient B 1 et B 2 des bases respectives de E et F Soient x E, y F et u L(E, F) On pose X = mat B1 (x), Y = mat B1 (y) et U = mat B1,B 2 (u) Alors y = u(x) Y = UX 14
15 Exemple Soit u L(R 3, R 2 ) de matrice U = où B 3 et B 2 sont les bases canoniques respectives de R 3 et Ü ê 1 0 R 2 Soit x = (1, 2, 3) R 3 La matrice de x dans B 3 est X = 2 Puisque UX =, u(x) = (0, 9) 9 3 Proposition 45 Interprétation matricielle d une composée d applications linéaires Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie Soient B 1, B 2, B 3 des bases respectives de E, F, G Soient u L(E, F) et v L(F, G) Alors mat B1,B 3 (v u) = mat B2,B 3 (v) mat B1,B 2 (u) Remarque Ces deux dernières propositions nous disent tout simplement que toute l algèbre linéaire en dimension finie peut être interprété en termes de matrices Proposition 46 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de même dimension de bases respectives B 1 et B 2 Soit u L(E, F) Alors u est bijective si et seulement si mat B1,B 2 (u) est inversible, et dans ce cas : (mat B1,B 2 (u)) 1 = mat B2,B 1 (u 1 ) Matrices de Vandermonde Soit (x 0,, x n ) K n+1 On pose M = (x j i ) 0 i,j n M est inversible { si et seulement si les x i sont distincts Kn [X] K entre eux deux à deux car M est la matrice de l application linéaire n+1 dans P (P(x 0 ),, P(x n )) les bases canoniques de K n [X] et K n+1 43 Matrices et endomorphismes Dans le cas des endomorphismes, on utilise souvent la même base de départ et d arrivée pour la représentation matricielle Définition 45 Matrice d un endomorphisme dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, B une base de E et u L(E) On appelle matrice de u dans la base B la matrice carrée de taille n : mat B (u) = mat B,B (u) Exemple 49 Matrice de l identité Soit E un espace vectoriel de dimension n N La matrice de Id E dans toute base de E est I n Exemple 410 Matrice d un projecteur La matrice d un projecteur p d un espace vectoriel ( de dimension ) finie E dans une base adaptée à la décomposition en somme directe E = Im p Ker p est avec q = dim Im p et r = dim Ker p Iq 0 q,r 0 r,q 0 q 15
16 Exemple 411 Matrice d une symétrie La matrice d une symétrie s d un espace vectoriel de dimension ( finie E dans ) une base adaptée à la décomposition Iq 0 q,r en somme directe E = Ker(s Id E ) Ker(s + Id E ) est avec q = dim Ker(s Id E ) et r = 0 r,q I r dim Ker(s + Id E ) Exemple 412 Sous-espace stable Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel de dimnension finie E Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires dans E On note B une base adaptée à la ( décomposition ) en somme directe E = F G A C Si F est stable par u, la matrice de u dans B est de la forme où A et B sont des matrices carrées 0 B de tailles respectives dim F et dim G Plus précisément, A est la matrice de l endomorphisme induit par u sur F dans la base de F extraite de B A 0 Si F et G sont stables par u, la matrice de u dans B est de la forme où A et B sont à nouveau 0 B des matrices carrées de tailles respectives dim F et dim G Plus précisément, A et B sont respectivement les matrices des endomorphismes induits par u sur F et G dans les bases de F et G extraites de B Proposition 47 Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et B une base de E L application un isomorphisme d anneaux { L(E) Mn (K) u mat B (u) est Remarque Comme précédemment, on peut associer à toute matrice de M n (K) un unique endomorphisme de K n Exercice 41 Montrer qu une matrice triangulaire stricte est nilpotente à l aide de l endomorphisme qui lui est canoniquement associé Proposition 48 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et de base B L application isomorphisme de groupes { GL(E) GLn (K) u mat B (u) est un Corollaire 42 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et de base B Soit u L(E) Alors u est un automorphisme si et seulement si mat B (u) est inversible et, dans ce cas, mat B (u 1 ) = mat B (u) 1 Exercice 42 Montrer que l application { R2 [X] R 2 [X] P P(X + 1) + P(X) est un automorphisme de R 2 [X] 16
17 Exercice 43 On pose A = Ä ( j i )ä0 i,j n en convenant que ( j i) = 0 pour i > j En remarquant que A est la matrice d un endomorphisme de K n [X], montrer que A est inversible et déterminer son inverse Corollaire 43 Soit (A, B) M n (K) 2 Si AB = I n, alors A et B sont inversibles et inverses l une de l autre Remarque En toute généralité, on devrait prouver que AB = I n et BA = I n La proposition précédente nous dit donc, que dans le cadre de l anneau M n (K), il suffit de vérifier l une des deux conditions Exercice 44 Soient A et B dans M n (C) telles que Montrer que AB = BA AB = I n + A + A 2 Méthode Inversibilité et inversion d une matrice Pour déterminer l inversibilité d une matrice A M n (K) et calculer A 1 le cas échéant, on écrit le système Y = AX avec X = t (x 1,, x n ) et Y = t (y 1,, y n ) où les inconnues sont x 1,, x n Si le système admet une solution, elle est du type X = A 1 Y ce qui permet d identifier A 1 44 Matrices et formes linéaires Définition 46 Matrice d une forme linéaire dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension p et B = (e 1,, e p ) une base de E Soit enfin ϕ E On appelle matrice de ϕ dans la base B la matrice ligne de taille p : mat B (u) = mat B (ϕ(e 1 ),, ϕ(e p )) Remarque En particulier, si on considère la base canonique de K p, on peut associer à toute matrice ligne de taille p une unique forme linéaire sur K p On identifiera souvent les matrices lignes de M 1,p (K) aux formes linéaires sur K p Définition 47 Matrice d une famille de formes linéaires dans une base Soient E un K-espace vectoriel de dimension p 1, B = (e 1,, e p ) une base de E et F = (ϕ 1,, ϕ n ) une famille de formes linéaires sur E On appelle matrice de F dans la base B la matrice de taille n p, notée mat B (F) : mat B (F) = (ϕ i (e j ) 1 i n 1 j p 17
18 5 Noyau, image et rang d une matrice 51 Noyau et image Définition 51 Pour A M n,p (K), on pose : Ker A = {X M p,1 (K) AX = 0} Im A = {AX, X M p,1 (K)} { Mp,1 (K) M Remarque L application n,1 (K) est une application linéaire Ker A et Im A sont X AX respectivement le noyau et l image de cette application linéaire Ker A et Im A sont donc des sous-espaces vectoriels respectifs de M p,1 (K) et M n,1 (K) Remarque Quitte à identifier les matrices colonnes de taille p et n aux vecteurs de K p et K n, on peut dire que Ker A et Im A sont les noyau et image de l application linéaire canoniquement associée à A Proposition 51 Soit A M n,p (K) Im A est le sous-espace vectoriel de M n,1 (K) engendré par les colonnes de A Méthode Calcul du noyau et de l image Pour déterminer le noyau d une matrice A M n,p (K), il suffit de résoudre le système correspondant à l équation AX = 0 L image d une matrice A est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de A Méthode Critère d inversibilité En particulier, pour montrer qu une matrice carrée A est inversible, il suffit de montrer que l équation AX = 0 admet comme unique solution X = 0 Proposition 52 Lien entre noyau, image d une application linéaire et de sa matrice Soient B 1 et B 2 des bases respectives de deux K-espaces vectoriels E et F de dimension n et p Soient u L(E, F) et A = mat B1,B { 2 (u) E Mp,1 (K) L application induit un isomorphisme de Ker u sur Ker A x mat B1 (x) { F Mn,1 (K) L application induit un isomorphisme de Im u sur Im A x mat B2 (x) Méthode Détermination d une base du noyau et de l image d une application linéaire grâce à sa matrice Soit u une application linéaire de matrice A dans deux bases On sait déterminer une base de Ker A et Im A Les isomorphismes précédents nous permettent d en déduire une base de Ker u et Im u 18
19 Exemple 51 Déterminer le noyau et l image de l application { R3 [X] R 3 [X] P P(X + 1) + P(X 1) 2P(X) Proposition 53 Les opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice laissent son image inchangée Les opérations élémentaires sur les lignes d une matrice laissent son noyau inchangé 19
20 Méthode Déterminer le noyau et l image d une matrice en même temps! Ü ê Supposons que l on veuille déterminer le noyau et l image de A = On écrit A puis on ajoute au-dessous une matrice identité Puis on pivote sur les colonnes Encore une fois pour avoir la dernière colonne nulle On a alors Im A = vect ÜÜ ê Ü 1 2 1, êê C 2 C 2 2C 1 C 3 C 3 C 1 C 3 C 3 C 2 et Ker A = vect ÜÜ êê Attention! Pour appliquer cette méthode, on pivote uniquement sur les colonnes 20
21 52 Rang Définition 52 Rang d une matrice Soit A une matrice On pose rg(a) = dim Im A Remarque Le rang d une matrice est également le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ou encore de l application linéaire qui lui est canoniquement associée Remarque Si A M n,p (K), alors rg(a) min(n, p) Remarque On verra plus tard que rg(a) = rg( t A) Le rang d une matrice est aussi le rang des vecteurs lignes de A Proposition 54 Théorème du rang matriciel Soit A M n,p (K) Alors p = rg(a) + dim Ker(A) Proposition 55 Rang d une famille de vecteurs et de sa matrice Soient B une base d un K-espace vectoriel E de dimension finie et F une famille vecteurs de E Alors rg F = rg mat B (F) Proposition 56 Rang d une application linéaire et de sa matrice Soient B 1 et B 2 des bases respectives de deux K-espaces vectoriels E et F de dimension finie Soit u L(E, F) Alors rg u = rg mat B1,B 2 (u) Proposition 57 Rang d un endomorphisme et de sa matrice Soient B une base d un K-espace vectoriel E de dimension finie Soit u L(E) Alors rg u = rg mat B (u) Proposition 58 Rang et inversibilité Soit A M n (K) A est inversible si et seulement si rg A = n Lemme 51 Soient α K, A M n,p (K), C M n,1 (K) et L M 1,p (K) Alors α L α 0 rg = rg = 1 + rg A 0 A C A 21
22 Méthode Calcul du rang On utilise le pivot de Gauss (sur les lignes ou les colonnes) pour annuler des coefficients sur la première ligne et le lemme précédent pour se ramener à une matrice de taille inférieure On supprime également les lignes ou colonnes nulles apparaissant au cours des opérations de pivot à í à í rg = rg = 1 + rg = 1 + rg = 1 + rg Ü ê Ü ê Ü L 2 L 2 + 3L 1 L 3 L 3 + L 1 L 4 L L 1 L 1 L 2 ê L 2 L 2 8L 1 L 3 L 3 55L = 2 + rg = 2 + rg L L = 2 + rg L 2 L L = 3 Remarque Pour le calcul du rang, on peut effectuer des opérations de pivot sur les lignes et les colonnes en même temps 6 Changements de bases, équivalence et similitude 61 Changement de base Définition 61 Matrice de passage Soient B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie On appelle matrice de passage de la base B à la base B la matrice mat B (B ), notée P B B Proposition 61 Soient B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie Alors P B B est inversible et Ä ä P B 1 B = P B B 22
23 Remarque On peut remarquer que P B B = mat B,B(Id E ) Proposition 62 Changement de base pour les vecteurs Soit B et B deux bases d un espace vectoriel E de dimension finie Soit x E On pose X = mat B (x), X = mat B (x) et P = P B B Alors X = PX Attention! La formule de changement de base est bien X = PX et non X = PX Proposition 63 Changement de base pour les applications linéaires Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie de bases E et E Soit également F un K-espace vectoriel de dimension finie de bases F et F Soit enfin u L(E, F) On note P = P E E, Q = PF F, A = mat E,F (u) et A = mat E,F (u) Alors A = Q 1 AP Proposition 64 Changement de base pour les endomorphismes Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie de bases E et E Soit u L(E) On note P = P E E, A = mat E (u) et A = mat E (u) Alors A = P 1 AP Méthode Se souvenir des formules de changement de base Soient u L(E), x E, y = u(x) E et B, B deux bases de E Notons respectivement A, X, Y les matrices de u, x, y dans la base B et A, X, Y les matrices de u, x, y dans la base B Notons enfin P la matrice de passage de B vers B On a Y = AX, X = PX et Y = PY On en déduit Y = P 1 APX Or Y = A X donc A = P 1 AP Proposition 65 Changement de base pour les formes linéaires Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie de bases E et E Soit ϕ E On note P = P E E, L = mat E (ϕ) et L = mat E (va) Alors L = LP 62 Matrices équivalentes et rang Définition 62 Matrices équivalentes Soient A et A deux matrices de M n,p (K) On dit que A est équivalente à A si et seulement si il existe P GL p (K) et Q GL n (K) telle que A = Q 1 AP Proposition 66 La relation «être équivalente à» est une relation d équivalence Remarque On pourra alors dire sans ambiguïté que deux matrices sont équivalentes plutôt que de dire que l une est équivalente à l autre 23
24 Proposition 67 Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent la même application linéaire dans deux couples de bases Notation 61 Lorsque l on travaille dans M n,p (K), pour 0 r min(n, p), on note J n,p,r la matrice suivante : Ir 0 r,p r Il est clair que la matrice J n,p,r est de rang r 0 n r,r 0 n r,p r Proposition 68 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et p et u L(E, F) Alors u est de rang r si et seulement si il existe des bases B et B de E et F telles que mat B,B (u) = J n,p,r Corollaire 61 Caractérisation du rang Soit M M n,p (K) Alors M est de rang r si et seulement si M est équivalente à J n,p,r Exercice 61 â Soient A = que UAV = J r ì et r = rg A Déterminer U GL 4 (R) et V GL 5 (R) telles Corollaire 62 Deux matrices ont même rang si et seulement si elles sont équivalentes Proposition 69 Invariance du rang par transposition Soit M M n,p (K) Alors rg t A = rg A Corollaire 63 Le rang d une matrice est égal au rang de la famille de ses vecteurs lignes Définition 63 Matrice extraite Soit A = (a ij ) 1 i n une matrice de M n,p (K) On appelle matrice extraite de A toute matrice de la forme 1 j p (a ij ) (i,j) I J où I 1, n et J 1, p 24
25 Remarque Plus prosaïquement, une matrice extraite est une matrice obtenue en conservant certaines ou toutes les lignes ou colonnes de la matrice initiale ou, de manière équivalente, en supprimant éventuellement certaines lignes ou colonnes de la matrice initiale Exemple 61 Ü ê La matrice est une matrice extraite de la matrice conservé les colonnes 1, 3, 4 et les lignes 1, 3, 4 à í On a en effet Proposition 610 Le rang d une matrice extraite est inférieur au rang de la matrice dont elle est extraite Proposition 611 Le rang d une matrice est égale à la taille de la plus grande matrice carrée inversible que l on peut extraire de cette matrice 63 Matrices semblables et trace Définition 64 Matrices semblables Soient A et B deux matrices de M n (K) On dit que B est semblable à A si et seulement si il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP Exemple 62 La seule matrice semblable à la matrice identité est la matrice identité elle-même La seule matrice semblable à la matrice nulle est la matrice nulle Proposition 612 La relation de similitude («être semblable à») est une relation d équivalence Remarque On pourra alors dire sans ambiguïté que deux matrices sont semblables plutôt que de dire que l une est semblable à l autre Remarque Deux matrices semblables sont équivalentes La réciproque est fausse Remarque Si deux matrices sont semblables, l une est inversible si et seulement si l autre l est Remarque Si A et B sont semblables, alors A n et B n sont semblables pour tout n N (pour tout n Z si A est inversible) Plus précisément, s il existe une matrice inversible P telle que B = P 1 AP, alors B n = P 1 A n P pour tout n N (pour tout n Z si A est inversible) 25
26 Exercice Soit A = Montrer que A est semblable à une matrice diagonale En déduire A n pour tout n N 1 4 Proposition 613 Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases Proposition 614 Deux matrices semblables ont la même trace Attention! La réciproque est fausse Deux matrices de même trace ne sont même pas nécessairement équivalentes Définition 65 Trace d un endomorphisme Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension finie Alors la trace de mat B (u) est indépendante de la base choisie On l appelle la trace de l endomorphisme u et on la note tr(u) Exemple 63 Trace d un projecteur La trace d un projecteur est égale à son rang Proposition 615 Propriétés de la trace Soit E un espace vectoriel de dimension finie Soient u et v deux endomorphismes d un même K-espace vectoriel de dimension finie (i) La trace est une forme linéaire sur L(E) (ii) Pour tout (u, v) L(E) 2, tr(u v) = tr(v u) 7 Systèmes linéaires Interprétation matricielle d un système linéaire Un système linéaire (S) de n équations à p inconnues peut toujours se mettre sous la forme AX = B avec A M n,p (K) B M n,1 (K) et où X M p,1 (K) est l inconnue B est alors appelé le second membre de ce système d équations Le système linéaire homogène ou sans second membre associé à S est le système AX = 0 Remarque Résoudre un système linéaire, c est également rechercher les coefficients des combinaisons linéaires des vecteurs colonnes de A égales à B Si on note ϕ 1,, ϕ p les formes linéaires canoniquement associées aux lignes de A, c est également rechercher les vecteurs x K n tels que ϕ i (x) = b i pour 1 i n C est également déterminer l intersection des hyperplans affines d équations ϕ i (x) = b 26
27 Définition 71 Le rang du système linéaire AX = B est le rang de A Un système linéaire est dit compatible s il admet au moins une solution Proposition 71 Structure de l ensemble des solutions L ensemble des solutions du système AX = 0 où A M n,p (K) est Ker A C est un sous-espace vectoriel de M p,1 (K) de dimension n rg(a) Le système AX = B où A M n,p (K) et B M n,1 (K) n a de solution que si B Im A Dans ce cas, l ensemble des solutions est le sous-espace affine X 0 + Ker A où X 0 est une solution particulière Méthode La résolution d un système linéaire peut se faire de la manière suivante On forme une nouvelle matrice C = (A B) en plaçant B à droite de A On effectue un pivot de Gauss sur les lignes de C de manière à se ramener à une matrice C = (A B ) Les solutions de AX = B sont les solutions de A X = B La résolution du second système est plus simple car A est sous forme triangulaire Définition 72 Système de Cramer On dit que le système AX = B est de Cramer si A est inversible (en particulier n = p) Proposition 72 Le système AX = B possède une unique solution si et seulement si A est inversible Dans ce cas, cette unique solution est A 1 B Remarque En pratique, on ne calcule jamais A 1 pour obtenir la solution On triangularise le système avec la méthode décrite précédemment Exercice 71 Résoudre le système d équations suivant d inconnues complexes : x 1 + x 2 + x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 2x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x x n = 1 x 1 + 2x 2 + 3x nx n =
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailLicence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)
Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailComment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise
Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailAxiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailRAPHAËL ROUQUIER. 1. Introduction
CATÉGORIES DÉRIVÉES ET GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Trois exposés à la semaine «Géométrie algébrique complexe» au CIRM, Luminy, décembre 2003 1. Introduction On étudie dans un premier temps les propriétés internes
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailIntroduction à MATLAB R
Introduction à MATLAB R Romain Tavenard 10 septembre 2009 MATLAB R est un environnement de calcul numérique propriétaire orienté vers le calcul matriciel. Il se compose d un langage de programmation, d
Plus en détailÉquations d amorçage d intégrales premières formelles
Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailCalcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3
Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailTests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA
Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université
Plus en détail