I Translation et égalité vectorielle.

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1 I Translation et égalité vectorielle. TRNSLTIONS ET VETEURS a) Translation. éfinition : ire que le point N est l image du point N par la translation qui transforme en, signifie que le quadrilatère NN' est un parallélogramme. On a (NN')//() et NN' =. Si L est sur ( ), son image L' sera également sur () et L L sera un parallélogramme aplati. u b) Ecriture vectorielle d'une translation. oncrètement, appliquer au point M, la translation qui transforme en, signifie que l'on doit faire le même trajet qui va de à en partant de M. e trajet est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur. Les couples (,), (L,L'), (N,N'), (M,M'), (P,P') et (S,S') représentent le même déplacement. On définit ce déplacement par ce qu'on appelle un vecteur noté u. Un vecteur est caractérisé par : sa direction son sens sa longueur Le vecteur est un représentant du vecteur u : Le point est l'origine du vecteur. est l'extrémité du vecteur.

2 La translation qui transforme en sera appelée translation de vecteur. FIRE n 1 p 218. b) Égalités de vecteurs. éfinition: eux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Lorsque = : cela signifie que est l'image de par la translation de vecteur cela signifie que a pour image par la translation de vecteur de. Propriété : Si = alors est un parallélogramme (éventuellement aplati). émonstration: Supposons que parallélogramme: (attention à l'ordre des sommets du parallélogramme) = et montrons que est un On sait que = donc le quadrilatère possède deux côtés opposés [] et [] parallèles (les vecteurs ont la même direction) et égaux (les vecteurs ont la même longueur). Or si un quadrilatère possède deux côtés opposés parallèles de même longueur alors c'est un parallélogramme. onc est un parallélogramme. Propriété réciproque : Si est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors =. (attention à l'ordre des sommets du parallélogramme)

3 émonstration: Supposons que soit un parallélogramme et montrons que =. On sait que est un parallélogramme Or si un quadrilatère est un parallélogramme alors il a les côtés opposés deux à deux parallèles et de même longueur. onc [] et [] sont parallèles et de même longueur c'est-à-dire que les vecteurs et ont donc la même direction et la même longueur. e plus le sens de vers est le même que celui de vers donc et ont le même sens. Finalement, les vecteurs et sont donc égaux. onstruire l'image d'un point. FIRE n 3 p 218. On veut placer le point ', image du point par la translation de vecteur. Pour cela, il faut construire le parallélogramme '. Programme de construction : On trace un arc de cercle de centre de rayon la longueur de []. On trace un autre arc de cercle de centre et de rayon la longueur de []. On place le point ' à l'intersection des deux arcs de cercles. ' FIRE n 9p219. Faire fiche sur construction d'images de points au compas par une translation. Propriété : Si = alors les segments [] et [] ont le même milieu. émonstration: Supposons que [] ont le même milieu. On sait que = donc est un parallélogramme dont les diagonales sont [] et []. Or dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. onc [] et [] ont le = et montrons que les segments [] et

4 même milieu. Propriété réciproque : Si les segments [] et [] ont le même milieu alors = émonstration: Supposons que les segments [] et [] ont le même milieu et montrons que = : On sait que dans le quadrilatère les diagonales [] et [] se coupent en leur milieu. Or si un quadrilatère possède des diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. onc est un parallélogramme. On en déduit que =. Propriété : Si = alors est le milieu du segment []. Propriété réciproque : Si est le milieu du segment [] alors = FIRE n 10 et 11 p219. Faire fiche d'exercices sur la construction de l'image d'un point par deux translations successives. II Somme de vecteurs. a) omposée de deux translations Soient quatre points non alignés,, et M. 1 ) onstruire M 1 l'image de M par la translation de vecteur. 2 ) onstruire M' image de M 1 par la translation de vecteur. 3 ) onstruire N l'image de M par la translation de vecteur. Que remarque-t-on? Effectuer les deux translations de vecteurs et à la suite revient à M M1 M' N

5 effectuer la translation de vecteur.on dit que est la somme des vecteurs et. On note = + ette relation est appelée RELTION de HSLES ette relation permet de transformer un vecteur en une somme de vecteurs et vice-versa. Elle est très utile pour le calcul vectoriel. Exercice d'application : Simplifier les écritures suivantes : u = + v = + + t = + b) Vecteur nul, vecteurs opposés et notations. Pour tout vecteur, on a + = d'après la relation de hasles. Le vecteur est appelé vecteur nul et est noté 0. On a pour tous points,, et : = = = = 0 Pour tout vecteur, on a + = = 0 d'après la relation de hasles. Les vecteurs et sont appelés vecteurs opposés. On note = -. Par commodité, on notera 2 la somme +. onséquences : 2 = + Propriété : Si est le milieu du segment [] alors + = 0. Propriété réciproque : Si + = 0 alors est le milieu de []. Exercice d'application : a. ompléter les égalités vectorielles suivantes : =... ; =... I =... ;... = I est un parallélogramme de centre I I I +... = 0 ; I +...= 0

6 b. En utilisant ces égalités (et éventuellement la relation de hasles), démontrer que : I I + I + I = 0 + = 0 I + I + = + I + I = FIRE n 76 p226 ( i,j,k,l,m). Faire fiche introduction composée de deux symétries centrales.(conjecture du résultat) c) omposée de deux symétries centrales. Soient trois points non alignés M, I et J. 1 ) onstruire M 1 l'image de M par symétrie centrale de centre I. 2 ) onstruire M' image de M 1 par la symétrie centrale de centre J. 3 ) Montrer que MM M1 ' = 2 IJ. M1 I M M émonstration 1: ans le triangle MM 1 M', on a : I est milieu de [MM 1 ] car M 1 est l'image de M par symétrie centrale de centre I. N M' J M' J milieu de [M 1 M'] car M' image de M 1 par la symétrie centrale de centre J onc d'après le théorème des milieux, (IJ) et (MM') sont parallèles et 2IJ = MM'. e plus, le sens pour aller de M à M' est le même que celui pour aller de I en J, on en déduit que MM ' = 2 IJ. émonstration 2 : (plus élégante et puissante!) On a MM ' = MI + IJ + JM ' d'après la relation de hasles. Or I est milieu de [MM 1 ] donc MI = IM 1 et J est milieu de [M 1 M'] donc M 1 J = JM ' donc MM ' = IM 1 + IJ + M 1 J MM ' = IM 1 + M 1 J + IJ MM ' = IJ + IJ MM ' = 2 IJ

7 ppliquer la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J revient à appliquer la translation de vecteur 2 IJ. ttention l'ordre des symétries a une importance!! ppliquer la symétrie de centre J puis I revient à faire la translation de vecteur 2 JI. III. oordonnées d un vecteur dans un repère orthonormé. a) éfinition : Les coordonnées d un vecteur dans un repère orthonormé décrivent le déplacement qu il représente. insi, un déplacement de «4 unités vers la droite, 3 unités vers le bas» sera représenté, dans un repère orthonormé, par un vecteur de coordonnées (4 ;-3), on note (4;-3). Un déplacement de «2 unités vers la gauche, 1 unité vers le haut» sera représenté, dans un repère orthonormé, par un vecteur de coordonnées (-2 ;1), on note (-2;1). Faire n 1 et 2 p238 puis faire n 3 p 231. b) oordonnées d un vecteur : Soit (x ; y ) et (x ; y ) deux points. lors le vecteur a pour coordonnées : (x x ; y y ) Exemple : Si (2 ; 1) et (5 ; -1) lors (5 2 ; -1 1) (3 ; -2) FIRE n 3,4 et 5 p 238 c) Égalité vectorielle : Soit deux vecteurs (x ; y) et (x ; y ). ire que = revient à dire que x = x et y = y. d) oordonnées de la somme de deux vecteurs : Soit deux vecteurs (x ; y) et (x ; y ). Les coordonnées du vecteur + sont ( x + x ; y + y ).

8 e) oordonnées de l'image d'un point par une translation : Soit un vecteur (x ; y) et un point M (x M ; y M ). Les coordonnées du point M' image de M par la translation de vecteur sont ( x + x M ; y + y M ). émonstration : Notons (x M ' ; y M ' ) les coordonnées de M'. M' est l'image de M par la translation de vecteur donc = MM ' or les coordonnées de MM ' sont (x M ' -x M ; y M ' -y M ) et celles de sont (x ; y). On a donc x = x M ' -x M et y = y M ' -y M. On en déduit que x M ' = x + x M et y M ' = y + y M. f) oordonnées de l'image d'un point par symétrie centrale : Soit deux points I(x I ; y I ) et M (x M ; y M ). Les coordonnées du point M' image de M par la symétrie de centre I sont ( 2x I - x M ; 2y I - y M ). émonstration : Notons (x M ' ; y M ' ) les coordonnées de M'. M' est l'image de M par la symétrie centrale de centre I, donc I est le milieu du segment [MM']. Par conséquent, IM = M ' I or les coordonnées de IM sont ( x M -x I ; y M - y I ) et celles de M ' I sont ( x I -x M ' ; y I - y M ' ). 'après l'égalité vectorielle précédente, on a x M -x I = x I -x M ' et y M - y I = y I- y M '.'où le résultat. FIRE EXERIES REVET.

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