CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U"

Transcription

1 CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B. On appelle B la base de M et p sa projection. On appelle fibre de M en un point b B le sous-ensemble M b = p 1 (b) de M. Pour toute partie A de B, on note p A l application p 1 (A) A induite par p. On appelle carte vectorielle du B -ensemble M un triplet t = (U, ϕ, F), où U est un ouvert de B, F est un espace vectoriel réel de dimension finie et ϕ : p 1 (U) U F est une bijection qui applique M b sur {b} F pour tout b U. On dit que U est le domaine de t, et que t est une carte vectorielle en a si a U. Pour tout b U, on note ϕ b bijection M b F définie par ϕ(x) = (b, ϕ b (x)) pour x M b. Deux cartes vectorielles (U, ϕ, F) et (U, ϕ, F ) de M sont dites C -compatibles, ou simplement compatibles, si la bijection ϕ b ϕ 1 b : F F est linéaire pour tout b U U, et que l application b ϕ b ϕ 1 b de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. Remarque. Si l application b b 1 de U U b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b 1 b de U U dans Hom(F,F) l est aussi : en effet l application u u 1 de GL n (R) dans GL n (R) est de classe C. On appelle atlas vectoriel (de classe C ) du B -ensemble M un ensemble de cartes vectorielles de M deux à deux C -compatibles dont les domaines recouvrent B. Deux atlas vectoriels de M sont dits C -équivalents, ou simplement équivalents, si leur réunion est un atlas vectoriel. C est une relation d équivalence entre atlas vectoriels de M. 2. Fibrés vectoriels Soit B une variété différentielle. On appelle fibré vectoriel (réel de classe C ) de base B un B -ensemble M muni d une classe d atlas vectoriels équivalents. Tout atlas vectoriel de cette classe est appelé un atlas vectoriel du fibré vectoriel M, et toute carte vectorielle appartenant à l un d eux est appelée une carte vectorielle du fibré vectoriel M. Soit M un fibré vectoriel de base B et soit p sa projection Il existe sur M une structure de variété différentielle et une seule telle que, pour chaque carte vectorielle 1 la

2 (U, ϕ, F) de M, p 1 (U) soit ouvert dans M et ϕ soit un difféomorphisme de p 1 (U) sur U M. Pour tout b B, il existe sur M b une structure d espace vectoriel réel et une seule telle que, pour chaque carte vectorielle (U, ϕ, F) de M en b, la bijection ϕ b : M b F soit linéaire. On munit toujours M de ces structures. Inversement, soit M une variété différentielle et soit p un morphisme de variétés de M dans B dont les fibres sont munies de structures d espaces vectoriels réels. Supposons que, pour tout a B, il existe un voisinage ouvert U de a dans B, un espace vectoriel de dimension finie F, et un difféomorphisme : p 1 (U) U F dont la restriction à chaque fibre M b, pour b U, est de la forme x (b, b (x)), où b : M b F est linéaire. Il existe alors sur M une unique structure de fibré vectoriel de base B, ayant pour structures sous-jacentes de variété différentielle et d espaces vectoriels sur les fibres celles données. Soit M un fibré vectoriel de base B. Sa projection est une submersion. Pour tout b B, M b sur M b est une sous-variété fermée de M ; la structure de variété différentielle induite par celle de M coïncide avec celle déduite de la structure d espace vectoriel réel de dimension finie de M b. La dimension de l espace vectoriel M b est appelée le rang de M en b et notée rg b M. La fonction b rg b M est localement constante sur B. Pour tout x M b, on a dim x (M) = dim b (B) + rg b M. Soient M un fibré vectoriel de base B, p sa projection et Y une sous-variété de B. Il existe sur l ensemble p 1 (Y), muni de la projection p Y, une structure de fibré vectoriel de base Y caractérisée par la propriété suivante : pour toute carte vectorielle (U, ϕ, F) de M, le triplet (U Y, ϕ, F), où ϕ : p 1 (U Y) (U Y) F est l application induite par ϕ, est une carte vectorielle de p 1 (Y). Le fibré vectoriel ainsi défini se note M Y et s appelle le fibré de base Y induit par M. Sa variété différentielle sous-jacente est une sous-variété de M. 3. Trivialisations Soit B une variété différentielle et soit F un espace vectoriel réel de dimension finie. On appelle fibré vectoriel trivial de base B et de fibre F le fibré vectoriel obtenu en munissant B F de la première projection et de l atlas {(B, Id B F, F)}. Un fibré vectoriel M est dit trivialisable s il est isomorphe à un fibré vectoriel trivial. Un isomorphisme de M sur un fibré vectoriel trivial est appelé une trivialisation de M. Soit M un fibré vectoriel de base B. On dit que M est trivialisable au-dessus d un ouvert U de B si M U est trivialisable ; cela équivaut à dire que U est le domaine d une carte vectorielle de M. Il existe donc un recouvrement de B par des ouverts au-dessus desquels M est trivialisable. 2

3 4. Exemples : fibrés tangent et cotangent d une variété différentielle Soit X une variété différentielle. Notons T(X) l ensemble des couples (x, t), où x X et t T x (X). Munissons-le de la projection p : T(X) X définie par p(x, t) = x. À toute carte c = (U, ϕ, E) de la variété X est associé un isomorphisme ϕ x : T x (X) E pour tout x U. Notons c le triplet (U, ϕ, E), où ϕ : p 1 (U) U E est la bijection (x, t) (x, ϕ x (t)). Il existe sur T(X) une unique structure de fibré vectoriel de base X dont c soit une carte vectorielle pour toute carte c de X. Ce fibré vectoriel est appelé le fibré tangent de X. On définit de manière analogue le fibré cotangent T(X) de X. 5. Morphismes de fibrés vectoriels Soit B une variété différentielle. Soient M et M deux fibrés vectoriels de base B, p et p leurs projections. On appelle morphisme de fibrés vectoriels de M dans M une application f : M M de classe C possédant les propriétés suivantes : a) on a p f = p (c est-à-dire f(m b ) N b pour tout b B ) ; b) pour tout b B, l application f b : M b N b induite par f est linéaire. Remarque. Soit f : M M une application satisfaisant les conditions a) et b) ci-dessus. Soit U un ouvert de B et soient (U,,F) et (U,,F ) des cartes vectorielles de M et M de domaine U. Pour que f soit de classe C dans p 1 (U), il faut et il suffit que l application b b f b 1 de U b dans l espace vectoriel Hom(F,F ) soit de classe C. Le composé de deux morphismes de fibrés vectoriels est un morphisme de fibrés vectoriels. Si un morphisme de fibrés vectoriels est bijectif, c est un isomorphisme, car l application réciproque est un morphisme de fibrés vectoriels. Cela résulte de la remarque ci-dessus et du fait que l application u u 1 de GL n (R) dans GL n (R) est de classe C. 6. Sections d un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle et soit M un fibré vectoriel de base B. On appelle section de M une application s : B M telle que s(b) M b pour tout b B. La section s est dite de classe C r si c est une application de classe C r. On appelle section nulle de M et on note 0 la section qui à tout b B associe l élément 0 de M b. Elle est de classe C. Exemples. Soit X une variété différentielle. 3

4 a) Une section du fibré tangent T(X) est appelée un champ de vecteurs sur X. 1 sur X. b) Une section du fibré cotangent T(X) est appelée une forme différentielle de degré c) Soit f une fonction de classe C r sur X, avec r 1. L application x df x est une forme différentielle de degré 1 de classe C r 1 ; on la note df et on l appelle la différentielle de f. On appelle section de M sur un ouvert U de B une section de M U. L ensemble des sections de M sur U de classe C module sur l anneau C (U) des fonctions de classe C est noté S M (U). Il est muni d une structure de (s + s )(b) = s(b) + s (b) (fs)(b) = f(b)s(b) sur U, définie par pour s, s S M (U) et f C (U). Si V est un ouvert de B contenu dans U, s s V est une application de S M (U) dans S M (V) appelée application de restriction. La famille des modules S M (U) et des applications de restriction ci-dessus est un CB -module, où CB désigne le faisceau sur B des fonctions de classe C. On le note S M et on l appelle le faisceau sur B des sections de classe C de M. Soit (s 1,..., s m ) une suite finie d éléments de S M (U). l ensemble des b B pour lesquels la suite (s 1 (b),..., s m (b)) est une partie libre (resp. une partie génératrice ; resp. une base) de M b est ouvert dans U. Il suffit de prouver cela lorsque M U est le fibré trivial U R n. Cela se déduit alors du fait que, dans M n,m (R), l ensemble des matrices de rang m (resp. de rang n ) est ouvert. 7. Repères d un fibré vectoriel Soient B une variété différentielle, M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. On appelle repère de M dans un ouvert U de X une suite (s 1,..., s n ) de sections de classe C de M sur U telle que (s 1 (b),..., s n (b)) soit une base de M b pour tout b M. Soit a un point de B et soit (e 1,...,e n ) une base de l espace vectoriel M a. Il existe une suite (s 1,...,s n ) de sections de classe C de M sur un voisinage ouvert U de a telle que s i (a) = e i pour 1 i n. Une telle suite étant donnée, il existe un voisinage ouvert V de a contenu dans U dans lequel (s 1 V,...,s n V) est un repère de M. Soit (s 1,..., s n ) un repère de M dans U. L application (b, a 1,..., a n ) a 1 s 1 (b) a n s n (b) 4

5 de U R n dans p 1 (U) est un isomorphisme du fibré trivial U R n sur le fibré vectoriel M U et (s 1,..., s n ) est une base du C (U) -module S M (U). Inversement, soit ϕ un isomorphisme du fibré trivial U R n M U. Notons (e 1,..., e n ) la base canonique de R n, et s i U dans M. La suite (s 1,..., s n ) un repère de M dans U. sur le fibré vectoriel l application b ϕ(b, e i ) de Pour qu il existe un repère de M dans U, il faut et il suffit que le fibré vectoriel M soit trivialisable au-dessus de U. Comme B possède un recouvrement par des ouverts au-dessus desquels M est trivialisable, le CB -module S M est localement libre de rang fini. Il est libre si et seulement si M est trivialisable. Le foncteur M S M est une équivalence de la catégorie des fibrés vectoriels de base B sur celle des -modules localement libres de rang fini. C B Exemples. 1) Soit X une variété différentielle. Soit (u 1,..., u n ) un système de coordonnées dans un ouvert U de X. a) La suite (du 1,..., du n ) est un repère de T(X) sur U. Toute forme différentielle de degré 1 de classe C sur U s écrit de manière unique f 1 du f n du n, où f 1,..., f n sont des fonctions de classe C sur U. b) La suite ( u,..., 1 u ), où n u désigne le champ de vecteurs a ( i u )a sur i U, est un repère de T(X) sur U. Tout champ de vecteurs de classe C sur U s écrit de manière unique h 1 u 1 sur U h n u n, où h 1,..., h n sont des fonctions de classe C 2) On dit qu une variété différentielle X est parallélisable si son fibré tangent T(X) admet un repère sur X, i.e. est trivialisable. Tout ouvert d un espace vectoriel de dimension finie est parallélisable, mais il existe des variétés parallélisables non difféomorphes à de tels ouverts, comme le cercle S Sous-fibrés d un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle. Soient M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. Un sous-ensemble M de M est appelé un sous-fibré vectoriel de M si, pour tout a B, il existe une carte vectorielle (U, ϕ, E) de M en a et un sous-espace vectoriel F de E tels que ϕ(p 1 (U) M ) = U F. Dans ces conditions, il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel pour laquelle l injection canonique M M soit un morphisme de fibrés vectoriels. Pour toute carte vectorielle (U, ϕ, E) de M satisfaisant les conditions de l alinéa précédent, le triplet 5

6 (U, ϕ, F), où ϕ est l application de p 1 (U) M dans U F induite par ϕ, est une carte vectorielle de M. Remarque. Pour qu un sous-ensemble M de M soit un sous-fibré vectoriel de M, il faut et il suffit que, pour tout a B, il existe un voisinage ouvert U de a et une suite finie (s 1,...,s m ) de sections de classe C de M sur U telle que la suite (s 1 (a),...,s m (a)) de vecteurs de M a soit libre et que, pour tout b U, M b = M M b soit le sous-espace vectoriel de M engendré par (s 1 (b),...,s m (b)). Si M est un sous-fibré vectoriel de M, M est une sous-variété fermée de M et M b est un sous-espace vectoriel de M b pour tout b B. Inversement, soit M une sous-variété de M telle que, pour tout b B, M b sous-espace vectoriel de M b. Alors M est un sous-fibré vectoriel de M. soit un Pour démontrer cela, nous pouvons supposer que M est un fibré vectoriel trivial B E. Soit a B. La variété M contient B {0}. L application p = p M est donc une submersion en (a,0). Il existe un voisinage ouvert U de a dans B, une variété différentielle Z et un difféomorphisme de U Z sur un voisinage ouvert de (a,0) dans M tels que p( (b,z)) = b pour tout b U et z Z. Alors ({b} Z) est un ouvert de M b pour tout b U, donc les espaces vectoriels M b, pour b U ont tous une même dimension m. Choisissons une suite finie (z 1,...,z m ) d éléments de Z telle que les (a,z i ) forment une base de M a. Les applications b (b,z i ) de U dans M sont des sections de classe C de M sur U ; il existe un voisinage ouvert V de a dans U tel que, pour b V, la suite des (b,z i ) est libre, et par suite est une base de M b. Il s en suit que M est un sous-fibré vectoriel de M (cf. remarque ci-dessus). 9. Fibrés vectoriels quotients Soit B une variété différentielle. Soit M un fibré vectoriel de base B et soit M un sous-fibré vectoriel de M. Considérons dans M la relation R définie comme suit : on a xry si et seulement si x et y appartiennent à une même fibre M b et x y M b. C est une relation d équivalence. L ensemble quotient se note M/M. On déduit par passage au quotient de la projection p : M B une application q : M/M B. Il existe sur M/M une unique structure de fibré vectoriel de base B, de projection q, pour laquelle la surjection canonique M M/M est un morphisme de fibrés vectoriels. Si (U, ϕ, E) est une carte vectorielle de M telle que ϕ(p 1 (U) M ) = U F, où F est un sous-espace vectoriel de E, le triplet (U, ψ, E/F), où ψ : q 1 (U) U (E/F) est déduit de ϕ par passage au quotient, est une carte vectorielle de M/M. Le fibré vectoriel M/M s appelle le fibré vectoriel quotient de M par M. Sa topologie est la topologie quotient de celle de M. La surjection canonique M M/M est une submersion. La fibre de M/M en un point b B est canoniquement isomorphe à M b /M b. Si N est un second fibré vectoriel de base B et f un morphisme de fibrés de M dans N dont la restriction à chaque fibre de M est nulle, l application g : M/M N déduite 6

7 de f par passage au quotient est un morphisme de fibrés vectoriels. 10. Morphismes localement directs, suites exactes Soit B une variété différentielle. Soient M et N deux fibrés vectoriels de base B. On dit qu un morphisme de fibrés vectoriels f : M N est localement direct si l application b rg(f b ) est localement constante sur B. Soit f un morphisme de fibrés vectoriels localement direct. Son image I est un sousfibré vectoriel de N. Son noyau K (défini comme la réunion des noyaux des applications f b induites par f sur les fibres) est un sous-fibré vectoriel de M. L application M/K I déduite de f est un isomorphisme de fibrés vectoriels. On dit qu une suite M f N g P de fibrés vectoriels et de morphismes de fibrés vectoriels est exacte si f et g sont des morphismes localement directs et que le noyau de g est égal à l image de f. 2. Image réciproque d un fibré vectoriel 1. f -morphismes de fibrés vectoriels Soient B, B des variétés différentielles et f : B B un morphisme de variétés. Soient M un fibré vectoriel de base B et M un fibré vectoriel de base B. On dit qu une application g : M M est un f -morphisme de fibrés vectoriels si elle satisfait les conditions suivantes : g est de classe C ; pour tout a B, on a g(m a) M f(a) et l application g a : M a M f(a) induite par g est linéaire. Lorsque M = M, les Id M -morphismes de fibrés vectoriels ne sont autres que les morphismes de fibrés vectoriels considérés au 1, n o 5. Exemple. Soient X et Y des variétés différentielles et f : X Y un morphisme de variétés. L application T(f) : T(X) T(Y) définie par T(f)(x, t) = (f(x), T x (f)(t)) (où x X et t T x (X) ) est un f -morphisme de fibrés vectoriels, appelé le morphisme tangent à f. 2. Image réciproque d un fibré vectoriel Soient B, B des variétés différentielles et f : B B un morphisme de variétés. Soient M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. Notons B B M le produit fibré de B et M au-dessus de B, c est-à-dire l ensemble des couples (b, x) B M tels que f(b ) = p(x). C est une sous-variété de B M. 7

8 Notons p : B B M B et g : B B M M les applications (b, x) b et (b, x) x. Il existe sur B B M une unique structure de fibré vectoriel de base B, de projection p, pour laquelle g est un f -morphisme. Il suffit de démontrer cela lorsque M est un fibré vectoriel trivial B F. Dans ce cas B B M se compose des triplets (a,b,u) B B F tels que f (a) = b, et l unique structure de fibré vectoriel de base B satisfaisant les conditions requises est celle qui se déduit par la bijection (a,b,u) (a,u) de B B M dans B F de la structure de fibré vectoriel trivial de B F. Le fibré vectoriel de base B ainsi construit se note f M et s appelle l image réciproque de M par f. Sa variété différentielle sous-jacente est la sous-variété B B M de B M. Sa fibre M a en un point a B est {a} M f(a) ; elle s identifie canoniquement à M f(a). Le f -morphisme g s appelle le f -morphisme canonique de f M dans M. Exemple. Lorsque B est une sous-variété de B et f l injection canonique, f M s identifie au fibré M B de base B induit par M (cf. 1, n o 2). 3. Propriété universelle Conservons les notations du numéro précédent. Soit N un fibré vectoriel de base B et soit q sa projection. Pour tout f -morphisme h : N M, il existe un unique morphisme h : N f M de fibrés vectoriels de base B tel que g h = h : on a h (x) = (q(x), h(x)). Soient N un fibré vectoriel de base B et soit u : N M un morphisme de fibrés. Il existe un unique morphisme de fibrés f u : f N f M tel que les applications composées f N f u f M M et f N N u M soient égales. 4. Exemples Soient X et Y des variétés différentielles et f : X Y un morphisme de variétés. Par la propriété universelle du n o 3, on déduit du f -morphisme T(f) : T(X) T(Y) un morphisme f : T(X) f T(Y) = X Y T(Y) de fibrés vectoriels de base X : on a f (x, t) = (x, T x (f)(t)) pour x X et t T x (X). Pour que f soit localement direct, il faut et il suffit que f soit une subimmersion. Si f est une immersion, f est injectif. Son conoyau est appelé le fibré transverse de f, ou parfois improprement le fibré normal de f. Si f est une submersion, f est surjectif. Son noyau est appelé le fibré tangent aux fibres de f, ou encore le fibré tangent relatif de f. On le note T(X/Y). Soit x X. Un vecteur t T x (X) est dit vertical (pour f ) s il appartient à T x (X/Y) : cela équivaut à dire qu il est tangent à la sous-variété f 1 (f(x)) de X. 8

9 Soit B une variété différentielle. Soit M un fibré vectoriel de base B et soit p sa projection. Le fibré T(M/B) s identifie canoniquement à p (M) lorsqu on identifie, pour tout b B et tout x M b l espace tangent à M b en x à l espace vectoriel M b. 3. Opérations sur les fibrés vectoriels 1. Sommes directes Soit B une variété différentielle. Soit (M i ) i I une famille finie de fibrés vectoriels de base B et soit p i la projection de M i. Notons M l ensemble des couples (b, x), où b B et x (M i ) b. Munissons-le de la projection p : M B définie par p(b, x) = b. Il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel de base B satisfaisant la condition suivante : soit U un ouvert de B et soit, pour tout i I, (U, ϕ i, E i ) une carte vectorielle de M i de domaine U ; notons ϕ : p 1 (U) U E i l application (b, x) (b, ϕ b (x)), où ϕ b : (M i ) b E i est l application linéaire déduite des (ϕ i ) b : (M i ) b E i par passage aux sommes directes ; alors (U, ϕ, E i ) est une carte vectorielle de M. Le fibré vectoriel M ainsi construit s appelle la somme directe des fibrés vectoriels M i et se note M i. Les injections canoniques ι i : M i M sont des morphismes de fibrés vectoriels. Si N est un fibré vectoriel de base B et que les g i : M i N sont des morphismes de fibrés vectoriels, il existe un unique morphisme de fibrés vectoriels g : M N tel que g ι i = g i pour tout i I. Le fibré vectoriel M se note aussi M i et s appelle aussi le produit fibré des M i. B L application (b, (x i )) x i de M dans M i est un morphisme de fibrés vectoriels noté pr i et appelé la projection d indice i. Si N est un fibré vectoriel de base B et que les g i : N M i sont des morphismes de fibrés vectoriels, il existe un unique morphisme de fibrés vectoriels g : N M tel que pr i g = g i pour tout i I. Remarques. 1) Soit N un fibré vectoriel de base B. Une application g : M i N est appelée B un morphisme multilinéaire de fibrés vectoriels de base B si elle est de classe C, applique ( M i ) b dans N b pour tout b B et que, pour tout b B, l application g b : ( M i ) b N b induite par g est B multilinéaire, lorsqu on identifie ( M i ) b à (M i ) b. B 2) Soient M un fibré vectoriel de base B, M et M deux sous-fibrés vectoriels de M. On dit que M et M sont supplémentaires si, pour tout b B, les sous-espaces vectoriels M b et M b de M b sont supplémentaires. Cela équivaut à dire que le morphisme de fibrés vectoriels M M M déduit des injections canoniques de M et M dans M est un isomorphisme. Soit : M M/M la surjection canonique. Choisir un supplémentaire M de M équivaut à choisir un morphisme de fibrés vectoriel s : M/M M tel que s = Id M/M : M est l image de s. 9 B

10 Si la variété différentielle B est paracompacte, tout sous-fibré vectoriel de M possède un supplémentaire. En effet l existence de s localement sur B est claire et l existence globale de s s en déduit en utilisant une partition localement finie de l unité. 2. Dual d un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle. Soit M un fibré vectoriel de base B. Notons M l ensemble des couples (b, u), où b est un point de B et u une forme linéaire sur M b, i.e. un élément du dual M b de M b. Munissons M de la projection définie par p(b, u) = b. Il existe sur M une unique structure de fibré vectoriel de base B satisfaisant la condition suivante : pour toute carte vectorielle (U, ϕ, E) de M, le triplet (U, ϕ, E ), où ϕ : p 1 (U) U E de M. Le fibré vectoriel M b B au dual M b de M b. est l application (b, u) (b, ( t ϕ b ) 1 (u)), est une carte vectorielle s appelle le fibré vectoriel dual de M. On identifie sa fibre en Si (s 1,..., s n ) est un repère de M dans un ouvert U de B, il existe un repère (s 1,..., s n) de M dans U, caractérisé par le fait que, pour tout b B, (s 1(b),..., s n(b)) est la base de M b de (s 1,..., s n ). duale de la base (s 1(b),..., s n (b)) de M b. On l appelle le repère dual Exemple. Soit X une variété différentielle. Le fibré cotangent de X est canoniquement isomorphe au dual du fibré tangent de X. Si (u 1,...,u n ) est un système de coordonnées dans un ouvert U de X, le repère (du 1,...,du n ) de T(X) du repère ( u 1,..., u n ) de T(X) dans U. 3. Produits tensoriels de fibrés dans U est dual Une construction analogue à celles décrite aux n os 1 et 2 permet de définir le produit tensoriel M N de deux fibrés vectoriels de base B. Sa fibre en un point b B s identifie à M b N b. Si (e 1,..., e m ) et (f 1,..., f n ) sont des repères de M et N dans un même ouvert U, les applications e i f j : b e i (b) f j (b) forment un repère de M N dans U. Le fibré vectoriel M N jouit de la propriété universelle suivante : l application u : (b, x, y) (b, x y) de M N dans M N est un morphisme bilinéaire de fibrés vectoriels ; pour tout fibré vectoriel P de base B et tout morphisme bilinéaire f : M N P, il existe un unique morphisme de fibrés vectoriel g : M N P tel que g u = f. On définit de manière analogue : le produit tensoriel d une famille finie de fibrés vectoriels de base B ; 10

11 les puissances tensorielle, symétrique et alternée n -ièmes d un fibré vectoriel ; le fibré Hom(M, N), lorsque M et N sont des fibrés vectoriels de base B ; etc. Exemple. Soit M un fibré vectoriel de base B. Soient p et q des entiers 0. Notons E le fibré vectoriel (M ) p M q. Si (e 1,..., e n ) est un repère de M dans un ouvert U de B et que (e 1,..., e n ) désigne le repère de M où chacun des indices j 1,..., j p, i 1,..., i q dual, les e j 1,...,j p i 1,...,i q = e j 1... e j p e i1... e iq, varie entre 1 et n, forment un repère de E dans U. Les coordonnées dans ce repère d une section t de E sur U se notent souvent t i 1,...,i q j 1,...,j p : ce sont des fonctions sur U, de classe C si la section t est de classe C. Lorsque M est le fibré tangent de B, les sections de E sur U sont appelées champs de tenseurs p -fois covariants et q -fois contravariants sur U. 4. Connexions 1. Connexions Soient X et Y des variétés différentielles et p : X Y une submersion. Rappelons ( 2, n o 4) que l on déduit de T(p) : T(X) T(Y) un morphisme de fibrés vectoriels p : T(X) p T(Y) = X Y T(Y). Il est défini par p (x, u) = (x, T x (p)(u)) pour x X et u T x (X). Il est surjectif. Son noyau est noté T(X/Y) et appelé le fibré tangent relatif. On a donc une suite exacte 0 T(X/Y) T(X) p p T(Y) 0. On appelle connexion sur X/Y un sous-fibré C de T(X) supplémentaire de T(X/Y). On note r C l unique section de p d image C. L application C r C est une bijection de l ensemble des connexions sur X/Y sur l ensemble des morphismes de fibrés vectoriels r : p T(Y) T(X) tels que p r = Id p T(Y). La bijection réciproque est r r(c). Lorsque la variété X est paracompacte, il existe des connexions sur X/Y ( 3, n o 1, remarque 2). Exemple. Soit Z une variété différentielle. Supposons que X soit la variété produit Y Z et que p soit la première projection. Il existe une unique connexion C sur X/Y 11

12 telle que C (y,z) = T y (Y) {0} pour tout (y, z) X, lorsqu on identifie T (y,z) (X) à T y (Y) T z (Z). On l appelle la connexion triviale sur X/Y. Soit U un ouvert de Y. Si C est une connexion sur X/Y, C p 1 (U) est une connexion sur p 1 (U)/U, dite induite par C au-dessus de U. Plus généralement, soit Y une sous-variété de Y. Notons X la sous-variété p 1 (X ) de X. Si C est une connexion sur X/Y, (C X ) T(p) 1 (T(Y )) est une connexion sur X /Y, dite induite par C au-dessus de Y. 2. Vecteurs tangents horizontaux et verticaux Conservons les notations du n o 1. Rappelons qu un vecteur tangent à X en un point x est dit vertical (pour p ) s il appartient à T x (X/Y). Soit C une connexion sur X/Y et soit x X. Les éléments de C x sont appelés les vecteurs tangents horizontaux à X en x pour la connexion C. Tout vecteur tangent à X en x se décompose de manière unique en une somme d un vecteur tangent horizontal et d un vecteur tangent vertical, que l on appelle ses composantes horizontale et verticale. Soit x un point de X et soit t un vecteur tangent à Y en p(x). Par définition, r C (x, t) est l unique vecteur tangent horizontal à X en x dont l image par T x (p) soit t ; on l appelle le relèvement horizontal de t en x (relatif à la connexion C ). On appelle r C : p T(Y) T(X) le morphisme de relèvement horizontal (relatif à C ). La composante horizontale d un vecteur tangent u T x (X) n est donc autre que le relèvement horizontal de t = T x (u) en x. 3. Structure d espace affine sur l ensemble des connexions Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion sur X/Y et soit u : p T(Y) T(X/Y) un morphisme de fibrés vectoriels de base X. Il existe une unique connexion C sur X/Y telle que r C = r C + u. On la note C + u. Si l ensemble des connexions sur X/Y n est pas vide, c est un espace affine attaché à l espace vectoriel des morphismes de fibrés vectoriels p T(Y) T(X/Y), la loi d action étant (u, C) C + u. 4. Dérivée covariante Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion sur X/Y. Soient y un point de Y et t un vecteur tangent à Y en y. Soit s une section de classe C de p, i.e. une application s : Y X de classe C telle que p s = Id Y. 12

13 Alors T y (s)(t) est un vecteur tangent à X en x = s(y). Sa composante horizontale est le relèvement horizontal de t en x. Sa composante verticale est un élément de T x (X/Y) que l on appelle la dérivée covariante de s en y suivant t et que l on note C t s, ou simplement t s s il n y a pas d ambiguïté sur C. On dit que la section s est horizontale au point y si t s = 0 pour tout t T y (Y). Cela équivaut à dire que l image de T y (s) est égale à C x. On dit que la section s est horizontale si elle est horizontale en tout point de Y. Remarques. 1) On peut définir plus généralement t s lorsque s est une section de p de classe C sur un voisinage de y ; la valeur de t s ne dépend que du germe de s en y. 2) Soit y Y. Il existe une section de p au-dessus d un voisinage ouvert de y qui soit horizontale en y, mais il n en existe pas toujours une qui soit horizontale en tout point de son ouvert de définition. Soit u : p T(Y) T(X/Y) un morphisme de fibrés vectoriels de base X. On a, avec les notations ci-dessus, C+u t s = C t s u(s(x), t). 5. Image réciproque d une connexion Conservons les notations du n o 1. Soient Y un morphisme de variétés. une variété différentielle et f : Y Y Comme p est une submersion, le produit fibré Y Y X est une sous-variété de Y X. L espace tangent à Y Y X en un de ses points (y, x) s identifie à l ensemble des éléments (v, u) de T y (Y ) T x (X) tels que T y (f)(v) = T x (p)(u). L application p : (y, x) y de Y Y X dans Y est une submersion. Soit C une connexion sur X/Y. Il existe une unique connexion C sur (Y Y X)/Y telle que, pour tout point (y, x) Y Y X, C (y,x) s identifie à l ensemble des éléments (v, u) T (y,x)(y Y X) tels que u C x. On la note f C et on l appelle l image réciproque de C par f. 5. Connexions linéaires 1. Fibré tangent à un fibré vectoriel Soit B une variété différentielle. Soient M un fibré vectoriel de base B et p sa projection. Soit x un point de M. Posons b = p(x). L espace vectoriel T x (M/B) des vecteurs tangents verticaux à M en x s identifie à l espace tangent en x à l espace vectoriel M b, et 13

14 par suite à l espace vectoriel M b lui-même. Ces identifications fournissent un isomorphisme canonique du fibré tangent relatif T(M/B) sur p M. Le fibré tangent T(M), outre sa structure de fibré vectoriel de base M,. possède également une structure de fibré vectoriel de base T(B), dont la projection est T(p), l addition est le morphisme T(M) T(B) T(M) T(M) tangent à l addition M B M M de M, et la multiplication par un scalaire λ est le morphisme T(M) T(M) tangent à la multiplication par λ dans M. Pour tout point b B et tout vecteur tangent t T b (B), l ensemble des couples (x, u), où x M b et u T x (M) relève t (i.e. T x (p)(u) = t ), n est autre que la fibre en (b, t) du fibré vectoriel précédent et se trouve de ce fait muni d une structure d espace vectoriel. Nous noterons cet espace vectoriel T(M) (b,t). 2. Connexions linéaires Conservons les notations du n o 1. On appelle connexion linéaire sur le fibré vectoriel M une connexion C sur M/B qui est aussi un sous-fibré vectoriel de T(M) pour sa structure de fibré vectoriel de base T(B). Pour qu une connexion C sur M/B soit une connexion linéaire sur M, il faut et il suffit que, pour tout b B et tout t T b (B), l application x r C (x, t) de M b dans T(M) (b,t) soit linéaire, c est-à-dire que r C : M B T(B) T(M) soit un morphisme de fibrés vectoriels de base T(B). Exemples. 1) La connexion triviale sur un fibré vectoriel trivial est une connexion linéaire. 2) Soit C une connexion linéaire sur M. Pour tout ouvert U de B, la connexion induite par C au-dessus de U est une connexion linéaire sur M U. Plus généralement, pour toute sous-variété B de B, la connexion induite par C au-dessus de B est une connexion linéaire sur M B. 3) Soit C une connexion linéaire sur M et soit f : B B un morphisme de variétés. La connexion f C sur f M est linéaire. 3. Structure d espace affine sur l ensemble des connexions linéaires Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion linéaire sur M. Toute connexion C sur M s écrit de manière unique C + u, où u : p T(B) T(M/B) est un morphisme de fibrés vectoriels de base M. Lorsqu on identifie T(M/B) à p (M) (voir no1), u s écrit (x, t) (x, v(x, t)). Pour 14

15 que C soit une connexion linéaire, il faut et il suffit que v : M B T(B) M soit un morphisme bilinéaire de fibrés vectoriels de base B. La connexion linéaire C se note alors aussi C + v. Lorsque l ensemble des connexions linéaires sur M n est pas vide, la loi d action (v, C) C + v en fait un espace affine attaché à l espace vectoriel des morphismes bilinéaires M B T(B) M de fibrés vectoriels de base B. Remarques. 1) Soit (U i ) i I un recouvrement ouvert de B et soit (h i ) i I une partition localement finie de l unité de classe C de B subordonnée à (U i ) i I. Pour tout i I, soit C i une connexion linéaire sur M U i. Il existe une connexion linéaire C sur M et une seule telle que r C (x,t) = h i (p(x))r Ci (x,t) pour tout (x,t) p T(B), où la sommation est étendue à l ensemble fini des indices i I tels que p(x) U i. On note cette connexion h i C i. i I 2) Lorsque la variété B est paracompacte, il existe des connexions linéaires sur M. Cela résulte de la remarque 1 et de l exemple 1 du n o Dérivation covariante associée à une connexion linéaire Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion sur M. Soient b un point de B, t un vecteur tangent à B en b et s une section de classe C de M sur un voisinage ouvert de b. La dérivée covariante de s en y suivant t est un vecteur tangent vertical à M en s(b) ; on l identifie à un élément de M b que l on note encore t C s ou t s. Pour que la connexion C soit linéaire, il faut et il suffit que l on ait t (s + s ) = t s + t s t (λs) = λ t s pour tout b B, tout t T b (B), tout couple (s, s ) de sections de classe C un voisinage ouvert de b et tout λ R. On a dans ce cas de M sur t (fs) = f(b) t s + df b (t) s(b) pour tout b B, tout t T b (B), toute section s de classe C ouvert de b et toute fonction f de classe C sur ce voisinage. de M sur un voisinage Si ξ est un champ de vecteurs de classe C sur un ouvert U de B et s une section de classe C de M sur U, on note ξ s la section b ξ(b) s de M sur U. Elle est de classe C. On a ξ (s + s ) = ξ s + ξ s ξ (fs) = f ξ s + df(ξ) s 15

16 pour tout champ de vecteurs ξ de classe C classe C de M sur U et toute fonction f de classe C sur U. 5. Constantes de structure d une connexion linéaire sur U, tout couple (s, s ) de sections de Conservons les notations du n o 1. Soit C une connexion linéaire sur M. Soient U un ouvert de B, (e 1,..., e n ) un repère de T(B) dans U et (s 1,..., s m ) un repère de M dans U. Pour 1 i n, 1 j m et 1 k m, on définit des fonctions Γ k ij C sur U par la formule ei s j = m Γ k ijs k. k=1 de classe Ces fonctions sont appelées les constantes de structure de la connexion linéaire C dans les repères choisis sur U. n m Si ξ = i=1 ai e i est un champ de vecteurs de classe C sur U et s = f j s j une m j=1 section de M sur U de classe C, on a ξ s = j=1 gk s k, où n g k = i=1 hi df k (e i ) + n i=1 m j=1 Γk ija i f j. Toute famille (Γ k ij ) de fonctions de classe C sur U, indexée par {1,..., n} {1,..., m} {1,..., m}, est la famille des constantes de structure d une unique connexion linéaire sur M U. 16

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté.

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté. UFR de Mathématiques, Université de Paris 7 DEA 1996/97 premier semestre Introduction à la cohomologie de de Rham des variétés algébriques A. Arabia & Z. Mebkhout Vendredi 6 décembre 1996 Examen Partiel

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

et Transversalité par Pierre Vogel

et Transversalité par Pierre Vogel Université Paris 7 Denis Diderot Institut de Mathématiques de Jussieu Géométrie des Variétés et Transversalité par Pierre Vogel Introduction Ce cours est destiné à l étude des variétés différentiables

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr Géométrie Cours de Licence Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1 Version du 19 janvier 2004 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr 2 Table des matières Table des matières 4 Introduction 5 1 Rappels d algébre

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

Classes Caratéristiques.

Classes Caratéristiques. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 21 mai 2012.

Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 21 mai 2012. Université Paris 6 Année universitaire 011-01 Cours Groupes finis et leurs représentations Corrigé de l examen terminal du 1 mai 01 Exercice 1 Questions de cours Soit G un groupe fini et soit p un nombre

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

1. La notion d espace fibré au sens de Steenrod

1. La notion d espace fibré au sens de Steenrod FIBRES, CONNEXIONS ET HOMOLOGIE CYCLIQUE par Max KAROUBI. La notion d espace fibré au sens de Steenrod.. Dans l acceptation la plus simple, un espace fibré ξ de base B et de fibre F est la donnée d une

Plus en détail

CHAPITRE I. 4. Topologie d une variété différentielle

CHAPITRE I. 4. Topologie d une variété différentielle CHAPITRE I VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES 1. Variétés différentielles 1. Cartes Soit X un ensemble. On appelle carte de X un triplet c = (U, ϕ, E), où U est une partie de X, E un espace vectoriel réel de dimension

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que

Champs d hyperplans. En particulier son rang en un point p, qui est le double du plus grand entier k tel que Champs d hyperplans Un champ d hyperplans coorientable (resp. coorienté) sur une variété V m est le noyau ξ d une 1-forme différentielle non singulière α bien définie à multiplication près par une fonction

Plus en détail

Algèbre approfondie - Automne 2007

Algèbre approfondie - Automne 2007 Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon ALGÈBRE COMMUTATIVE II : CORRIGÉ Exercice 1 (Localisation des modules) 1) Si (M,λ ) et (M,λ ) sont deux couples satisfaisant à la propriété universelle considérée,

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud Les Mathématiques pour l Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 24 avril 2002 Table des matières 1 Algèbre linéaire 2 1.1 Généralités...............................

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1 Applications linéaires Etude de linéarité a) Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E. b) Exprimer ϕ ψ et ψ ϕ. c) Déterminer images et

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Le texte qui suit, rédigé en septembre 1958, diffère sensiblement de l exposé oral, ne serait ce que par sa longueur.

Le texte qui suit, rédigé en septembre 1958, diffère sensiblement de l exposé oral, ne serait ce que par sa longueur. Séminaire Chevalley 21 avril 1958 1958, exposé n o 1 ESPACES FIBRÉS ALGÉBRIQUES Le texte qui suit, rédigé en septembre 1958, diffère sensiblement de l exposé oral, ne serait ce que par sa longueur. Sommaire

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 30-9- 2010 J.F.C. p. 1 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Exercice 1 Intersection d hyperplans. E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n [2, + [). Q1. Montrer que si F et G sont deux

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

AOT 13. et Application au Contrôle Géométrique

AOT 13. et Application au Contrôle Géométrique AOT 13 Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique Frédéric Jean Notes de cours Édition 2011/2012 ii Table des matières 1 Variétés différentiables 1 1.1 Variétés différentiables............................

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6 Table des matières -1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes.......................................... 5 2 Anneaux.......................................... 5 3 Corps...........................................

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Enveloppe vectorielle ou. Transformer de l affine en du vectoriel

Enveloppe vectorielle ou. Transformer de l affine en du vectoriel Préparation à l Agrégation Année 2009 2010 ENS Cachan Vincent Beck Enveloppe vectorielle ou Transformer de l affine en du vectoriel 0 Mode d emploi. Cette note propose la construction de l enveloppe vectorielle

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck Action de groupes L idée centrale de cette note est de mettre en évidence le fait fondamental suivant une action d un groupe G sur un ensemble X, «c est»

Plus en détail

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret

Notes de cours L1 MATH120. Hervé Le Dret Notes de cours L1 MATH120 Hervé Le Dret 18 octobre 2004 40 Chapitre 3 Vecteurs dans R m Dans ce chapitre, nous allons nous familiariser avec la notion de vecteur du point de vue algébrique. Nous reviendrons

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Projet de Semestre. été 2005. Fibrés Vectoriels. Oliver Prosperi. Professeur Responsable: prof. K. Hess Bellwald

Projet de Semestre. été 2005. Fibrés Vectoriels. Oliver Prosperi. Professeur Responsable: prof. K. Hess Bellwald Projet de Semestre été 2005 Fibrés Vectoriels Oliver Prosperi Professeur Responsable: prof. K. Hess Bellwald Table des matières Résumé 2 Table des notations 2 Introduction 3 Chapitre 1. K-familles 5 1.

Plus en détail

TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE

TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE TOPOLOGIE DIFFÉRENTIELLE François LAUDENBACH INTRODUCTION 1 Pour la rédaction d un premier cours de Topologie Différentielle, l écueil est de gaspiller son énergie à mettre en place beaucoup d objets nouveaux,

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i )))

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i ))) A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours,e,f etgdésignent desk-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c est

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires le 8 Février UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Applications linéaires Exemples et définitions. Soit E et F, espaces vectoriels sur K = R ou C. On s intéresse aux applications qui conservent

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Le fer à cheval de Smale

Le fer à cheval de Smale Le fer à cheval de Smale Selim GHAZOUANI, ENS Lyon Novembre 2010, Groupe de lecture dirigé par Alexey GLUSTYUK sur les systèmes dynamiques Le fer à cheval de Smale est un exemple de transformation continue

Plus en détail