1 Notion d espace vectoriel

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Notion d espace vectoriel"

Transcription

1 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients réels ont un point commun. Nous savons les additionner (et les soustraire) et leur somme est encore un élément du même type : la somme de deu vecteurs (resp. réels, resp. polynômes) est encore un vecteur (resp. un réel, resp. un polynôme). On sait aussi les multiplier par un nombre réel, le résultat donne encore un vecteur (resp. un réel, resp. un polynôme). De tels ensembles sont dits stables par addition et par multiplication par un réel. Ce sont des eemples d espaces vectoriels. Ils contiennent toujours un élément particulier, l élément neutre pour l addition, que l on appellera le vecteur nul. Dans tout le cours, K désigne le corps R ou C. 1 Notion d espace vectoriel 1. Présentation et espaces vectoriels de référence : Définition d un K-espace vectoriel (ev) : c est un groupe commutatif muni d une loi eterne vérifiant 4 aiomes. On pourra retenir qu un ev est un ensemble stable par addition et par multiplication par des scalaires, avec quelques règles de calcul «naturelles». Un ev contient toujours au moins un élément, le vecteur nul. Les éléments d un ev sont appelés des vecteurs et les éléments de K des scalaires. Nous aurons pour modèle les ev de référence suivants pour lesquels il faut connaître le vecteur nul : L ensemble des vecteurs de K n, le vecteur nul est (0, 0,..., 0). Les règles de calcul données par : ( 1,..., n ) + (y 1,..., y n ) ( 1 + y 1,..., n + y n ) et λ( 1,..., n ) (λ 1,..., λ n ). l ensemble K[X] des polynômes à coefficients dans K. Le vecteur nul est le polynôme nul. l ensemble F(X,K) K X des fonctions de X dans K (où X désigne un ensemble quelconque), le vecteur nul est la fonction nulle. Les règles de calcul données par : X, (f + g)() f() + g() et (λf)() λf(). Plus généralement si F est un K-ev, alors F(X, F) est un K-ev. l ensemble des suites à coefficients dans K (c est K N ). Le vecteur nul est la suite nulle. Remarquons aussi que l ensemble C est un C-ev mais aussi un R-ev. Nous rencontrerons d autres ev mais tous seront contenus dans les ev de référence, on parlera de sous-espace vectoriel (sev). 2. Notion de sous-espace vectoriel. On retiendra absolument le critère de sev : une partie F d un ev E est un sev de E si : elle contient le vecteur nul 0 E elle est stable combinaison linéaire : Prop : un sev de E est bien un ev. (, y) F 2, λ K, λ + y F. droites vectorielles de R 2 ou R 3, plan vectoriel de R 3 K n [X] {P K[X] deg P n} 3. Opérations sur les espaces vectoriels (a) Intersection Prop : ( ) l intersection de sev de E est un sev de E (fau pour la réunion, il suffit de prendre dans R 2, la réunion de deu droites (vectorielles) distinctes ). Un sev peut ainsi être défini par des équations cartésiennes. (b) Produit de K-ev. On définira aussi à la fin de ce chapitre la somme de sev.

2 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Combinaisons linéaires Def : un vecteur est combinaison linéaire (CL) des vecteurs 1,..., n s il eiste des scalaires λ 1,..., λ n tels que λ λ n n. Plus généralement, si A est une partie de E ou une famille de vecteurs de E (éventuellement infinie), on dit que est CL d éléments de A, si est CL d un nombre fini de vecteurs de A. On note Vect (A) l ensemble des CL de vecteurs de A. R 2 Vect {(1, 0); (0, 1)}, si P est le plan de R 3 d équation 5 y + 7z 0, alors P Vect {(1, 5, 0); (0, 7, 1)}, l ensemble des solutions de y 3y + 2y 0 est le R-ev Vect ( e, e 2 ) ; K[X] Vect {X n n N}. Si A est un ev, Vect A A ; Rq : l écriture d un sev comme un Vect fournit une représentation paramétrique du sev. Prop : Vect (A) est un sev de E, de plus c est le plus petit (au sens de l inclusion) sev de E contenant A (on dit aussi que c est le sev engendré par A). Cela donne un nouveau moyen de prouver qu un ensemble est un ev : si cet ensemble est un vect, alors c est un ev! 3 Applications linéaires 1. Vocabulaire : soit E et F deu K-ev. Une application f de E dans F est dite linéaire si elle transforme une CL de vecteurs de E en CL de vecteurs de F : (, y) E 2, λ K, f(λ + y) λf() + f(y). Si E F, on dit que f est un endomorphisme Si f est bijective, on dit que c est un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme. Si F K, on parle de forme linéaire sur E. On notera L(E, F) l ensemble des AL de E dans F et L(E) l ensemble des endomorphismes de E. Prop : si f est une application linéaire de E dans F, alors f(0 E ) 0 F (cela généralise le fait qu une fonction linéaire de R dans R s annule toujours en 0). l endomorphisme dérivation sur K[X] est linéaire. la fonction carré n est pas linéaire, ( ) les endomorphismes de R sont les fonctions linéaires k, k R. l application qui à une fonction f continue sur [0, 1] associe b f est une forme linéaire. a 2. Les endomorphismes de R 2 ce sont les applications de la forme (, y) (a + by, c + dy), ce qui se retient facilement grâce à la relation matricielle suivante ( ) a b a + by. c d y c + dy En effet, si f est un endomorphisme de R 2, alors f(, y) f((1, 0) + y(0, 1)) f(1, 0) + yf(0, 1) (a, c) + y(b, d) (a + by, c + dy). On peut ainsi «retenir» les eemples suivants : Symétrie orthogonale par rapport à l ae des abscisses : y ( ) y

3 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Symétrie orthogonale par rapport à la droite d équation y : ( ) λ 0 λ homothétie de centre O et de rapport λ : 0 λ y λy 1 0 projection orthogonale sur l ae des abscisses : 0 0 y cos θ sin θ rotation de centre O et d angle θ : sin θ cos θ y y ( ) 0 Remarque : une translation (distincte de id) de R 2 n est pas une application linéaire 3. Des ev importants : le noyau et l image d une AL f : E F. On a Ker f { E f() 0} et Im f {f() E}. ( ) Ker f est un sev de E et Im f un sev de F. ( ) f injective ssi Ker f {0} et f surjective ssi Im f F. ( ) y Le noyau mesure le défaut d injectivité d une AL. C est un outil très pratique pour tester l injectivité d une AL. Eemple : si D est l endomorphisme dérivation des polynômes, Ker D R, donc D pas injective, mais D surjective. 4. Opérations sur les AL Une CL d applications linéaires (AL) est encore une application linéaire, ainsi L(E, F) est un sev de F E F(E, F). La composée de deu AL est encore une AL, ainsi (L(E), +, ) est un anneau. ( ) Si f est une AL bijective, alors son application réciproque f 1 est encore une AL, ainsi l ensemble des automorphismes de E noté (GL(E), ) est un groupe, appelé groupe linéaire. 4 Familles libres, génératrices, bases 1. Familles libres Dans le plan ou dans l espace, deu vecteurs sont dits colinéaires, s il eiste un réel k tel que u k v ou v k u. Dans l espace, trois vecteurs sont dits coplanaires si l un des vecteurs est CL des autres. On généralise cette notion : Définition : Une famille est dite liée si un des vecteurs de la famille est CL des autres vecteurs de la famille. Sinon, elle est dite libre. On utilise plutôt le critère suivant pour prouver la liberté d une famille, «une famille est libre si elle ne vérifie pas de relation de dépendance linéaire» : Prop : une famille ( 1,..., n ) de vecteurs de E est libre ssi : (λ 1,..., λ n ) R n, (λ λ n n 0 λ 1 λ n 0). Généralisation au cas d une famille infinie. Une famille de polynômes non nuls de degré 2 à 2 distincts est libre. la famille (X n ) n N est libre. Remarques : une famille libre ne contient jamais le vecteur nul. Toute sous-famille d une famille libre est libre et toute sur-famille d une famille liée est liée.

4 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Familles génératrices Définition : une famille ( 1,..., n ) de vecteurs de E est dite génératrice de E si tout vecteur de E est une CL des vecteurs 1,..., n, c est-à-dire E Vect { 1,..., n }. Remarque : Toute sur-famille d une famille génératrice est encore génératrice. Application : au calcul de l image d une AL f : E F : si ( 1,..., n ) engendre E, alors Im f est engendré par (f( 1 ),..., f( n )). En particulier, f est complètement déterminée par l image par f des vecteurs de la famille génératrice. 3. Bases Grâce au bases nous aurons le concept de coordonnées et nous pourrons ainsi «numériser» nos objets géométriques. (a) Notion de base et de coordonnées Définition : Une famille libre et génératrice de E est appelée une base de E. Il faut connaître les bases canoniques suivantes : La base canonique de K n : c est la famille (e 1,..., e n ) où e 1 (1, 0,..., 0), e 2 (0, 1,..., 0),..., e n (0,..., 0, 1). La base canonique de K n [X] est (1, X, X 2,..., X n ). La base canonique de K[X] est la famille (X n ) n N. Prop : ( ) (e 1,..., e n ) est une base de E ssi tout vecteur de E s écrit de manière unique comme une CL des vecteurs e 1,..., e n. Dans ce cas si 1 e n e n le n-uplet ( 1,..., n ) représente les coordonnées du vecteur dans la base (e 1,..., e n ). (b) Image d une base par une AL : L image d une base par une AL n est pas forcément une base (e : projection sur O), c est touefois une famille génératrice de l image Im f. On a toutefois l équivalence suivante : soit f L(E, F). Alors f est bijective ssi f transforme une base de E en une base de F. 5 Sommes de sev 1. Somme de deu sev Dans le plan R 2, les sous-espaces vectoriels Vect ( i ) et Vect ( j ) jouent un rôle privilégié. Nous allons préciser cela et généraliser. si E 1 et E 2 sont deu sev de E, on pose E 1 + E 2 { ( 1, 2 ) E 1 E 2 }. Notion de somme directe. Définition : les espaces E 1 et E 2 sont dits supplémentaires dans E ssi tout vecteur de E s écrit de manière unique avec ( 1, 2 ) E 1 E 2. On écrit alors E E 1 E 2. Proposition pratique : E E 1 E 2 (E E 1 + E 2 et E 1 E 2 {0}). 2. Somme d un nombre fini de sev la somme E E p est dite directe si la décomposition de tout vecteur de E E p sous la forme p avec i F i est unique. Caractérisation par unicité de la décomposition du vecteur nul. 6 Endomorphismes remarquables 1. Projection et projecteur. Def : si E E 1 E 2 et E, on appelle projection sur E 1 parallèlement à E 2, l application p : E E définie par p( ) 1. Une projection p est linéaire et vérifie p p p (on dit que c est un projecteur).

5 Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci ( ) Réciproquement si p est un projecteur, i.e. p 2 p, alors le noyau de p et son image sont supplémentaires, i.e. (p 2 p) E Im p Ker p. De plus p est la projection sur l image Im p, parallèlement au noyau Ker p. Lien entre projecteurs associés (p + q id). 2. Symétrie Def : si E E 1 E 2 et E, on appelle symétrie par rapport à E 1 parallèlement à E 2, l application s : E E définie par s( ) 1 2. ( ) Réciproquement si s vérifie i.e. s 2 id E, alors les espaces Ker(s id) et Ker(s + id) sont supplémentaires, (s 2 id) E Ker(s id) Ker(s + id). De plus s est la symétrie par rapport à Ker(s id) (ensemble des vecteurs invariants par s) parallèlement à Ker(s + id) (ensemble des vecteurs transformés en leur opposé par s). Lien entre projecteur et symétrie : s 2p id. 3. Homothétie et Translation dans un espace vectoriel. Def : Si k K, on appelle homothétie (vectorielle) de rapport k, l application h : E E définie par h() k. Def : Si a est un vecteur non nul de E, on appelle translation de vecteur a l application t : E E définie par t() + a. Prop : Une homothétie est linéaire mais pas une translation ( car t(0) a 0). On en déduit une interprétation géométrique des sev : un ensemble F est un sev de E s il est stable par homothétie (de centre 0) et par translation par des vecteurs de F. 7 Notion de sous-espace affine 1. Notion de sous-espace affine Les éléments d un espace vectoriel E peuvent s interpréter comme des vecteurs dont l origine est l élément 0 E, mais aussi comme des points. Deu points A et B définissent un vecteur par la relation B A AB. Def : un sous-espace affine F de E est l image d un sev F de E par une translation (par un vecteur de E). Il est donc de la forme F A + F avec A un point de F, et F sev de E appelé direction de F. Point méthode : pour montrer qu une partie F est un sous-espace affine, on trouve un point A dans F, puis on montre que F A est un sev. Eemples divers : droites et plans affines de R n, solutions de systèmes linéaires, solutions d équations différentielles linéaires avec second membre. Prop : opérations sur les sous-espaces affines l intersection de sous-espaces affines i F i est soit vide soit un sous-espace affine de direction l intersection i F i. l image du sous-espace affine F A + F (passant par le point A, de direction F) par une application linéaire f est le sous-espace affine f(a) + f(f) (passant par le point f(a), de direction f(f)). 2. Équation linéaire : si u L(E, F), les solutions de l équation u() b avec b F est soit vide, soit un sous-espace affine de direction Ker u.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. Lycée Louis le grand Année scolaire 2007/2008 Mathématiques Supérieure MPSI Semaine 12 11 mai 2009 1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. On note K le corps R ou C. 1.1 Axiomes d espace vectoriel.

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne :

Résumé de cours: Espaces vectoriels (Généralités) 1 Vocabulaire : 1.3 Régles de calcul : 1.1 Loi de composition interne : Résumé de cours : Espaces vectoriels Partie I : Généralités. : Source disponible sur : c Dans tout le chapitre K désigne un sous corps de C, et en général sauf mention du contraire, Q ou R ou bien C et

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

22 Cours - Espaces vectoriels.nb 1/8. Espaces vectoriels. I) Généralités II) Applications linéaires III) Sous espaces vectoriels IV) Générateurs

22 Cours - Espaces vectoriels.nb 1/8. Espaces vectoriels. I) Généralités II) Applications linéaires III) Sous espaces vectoriels IV) Générateurs 22 Cours - Espaces vectoriels.nb /8 Espaces vectoriels K -espace vectoriel, loi de composition interne (commutative, associative), élément neutre, symétrique, loi externe, vecteur nul, E, sous espace vectoriel,

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire

Résumé de Math Sup et compléments : algèbre linéaire Résumé de Ma Sup et compléments : algèbre linéaire I - Espaces vectoriels - Sous espaces vectoriels 1) Structure de K-espace vectoriel Soient K un sous-corps de C et E un ensemble non vide muni d une l.d.c.i.

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

C) Fiche : Espaces vectoriels.

C) Fiche : Espaces vectoriels. C) Fiche : Espaces vectoriels. 1) Définition d'un espace vectoriel. K= I ou est le corps des scalaires. E est un K-espace I vectoriel si et seulement si : C'est un ensemble non vide muni de deux opérations,

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i )))

λ i f( x i ) (doncf(cl( x i ))=cl(f( x i ))) A) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours,e,f etgdésignent desk-espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Définition. DEF : Soit f une application de E dans F ; on dit que f est K-linéaire (ou que c est

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Les espaces vectoriels Partie 1

Les espaces vectoriels Partie 1 Les espaces vectoriels Partie 1 MPSI Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 1 er février 2016 1 Définition d un Espace Vectoriel Soit ( K,+, ) un corps commutatif (le programme impose K = R ou C).

Plus en détail

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases

11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11. Espaces vectoriels, homomorphismes, bases 11.1. Espaces vectoriels, algèbres 11.1.1. Structure d espace vectoriel et d algèbre 11.1.2. Combinaisons linéaires 11.1.3. Espaces vectoriels et algèbres

Plus en détail

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure?

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure? Chapitre Applications linéaires Testez vos connaissances Pourquoi s intéresse-t-on au applications linéaires en économie? Qu est-ce qu un noyau, un rang et une image d une application linéaire? Donner

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

2010/2011. Espaces vectoriels

2010/2011. Espaces vectoriels Université Paris-Est Marne-la-Vallée 010/011 M1 enseignement CD/Préparation au CAPES Espaces vectoriels Dans toute la suite on considèrera des espaces vectoriels sur un corps commutatif K de caractéristique

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6

-1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes... 5 2 Anneaux... 5 3 Corps... 6 4 Algèbre... 6 Table des matières -1 Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu est-ce? 5 1 Groupes.......................................... 5 2 Anneaux.......................................... 5 3 Corps...........................................

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Espaces vectoriels. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Espaces vectoriels Bernard Ycart Vous devez vous habituer à penser en termes de «vecteurs» dans un sens très général : polynômes, matrices, suites, fonctions,

Plus en détail

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER

Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2. Guillaume CARLIER Université Paris IX Dauphine UFR Mathématiques de la décision Notes de cours ALGEBRE 2 Guillaume CARLIER L1, année 2006-2007 2 Ce support de cours est basé sur le poly de Tristan Tomala des années précédentes.

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie

133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie 133: endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension nie Pierre Lissy March 8, 2010 On considère un espace vectoriel euclidien de dimension nie n, le produit scalaire sera noté

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2

Espaces euclidiens. 1 Définitions et exemples. 2 Orthogonalité, norme euclidienne 2. 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 2 Espaces euclidiens Table des matières 1 Définitions et exemples 1 Orthogonalité, norme euclidienne 3 Espaces euclidiens, bases orthonormées 4 Orthogonalisation de Schmidt 3 5 Sous-espaces orthogonaux 3

Plus en détail

Mathématiques MPSI. Pierron Théo. ENS Ker Lann

Mathématiques MPSI. Pierron Théo. ENS Ker Lann Mathématiques MPSI Pierron Théo ENS Ker Lann 2 Table des matières I Algèbre 1 1 Ensembles 3 1.1 Vocabulaire général........................ 3 1.2 Opérations sur les parties d un ensemble............ 4

Plus en détail

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 27 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 171 Matrices et applications

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr

Cours de Licence. Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1. Version du 19 janvier 2004. 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr Géométrie Cours de Licence Bernard Le Stum 1 Université de Rennes 1 Version du 19 janvier 2004 1 bernard.le-stum@univ-rennes1.fr 2 Table des matières Table des matières 4 Introduction 5 1 Rappels d algébre

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires le 8 Février UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Applications linéaires Exemples et définitions. Soit E et F, espaces vectoriels sur K = R ou C. On s intéresse aux applications qui conservent

Plus en détail

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT

HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT HENRI ROUDIER ALGEBRE LINEAIRE COURS & EXERCICES CAPES &AGRÉGATION INTERNES & EXTERNES DEUXIÈME ÉDITION REVUE &.AUGMENTÉE VUIBERT Table analytique des matières 1. La structure d'espace vectoriel 1. Espaces

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

1.3 Produit matriciel

1.3 Produit matriciel MATRICES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C, p et n des entiers naturels non nuls 1 Matrices à coefficients dans K 11 Définition Définition 11 Matrice On appelle matrice à coefficients dans

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

en utilisant un point-virgule.

en utilisant un point-virgule. 6 Chapitre Chapitre 6. Géométrie analytique Ce chapitre présente les possibilités de votre calculatrice dans le domaine de la géométrie analytique, tout particulièrement pour les problèmes liés aux espaces

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Programme mat231, 2009 2010

Programme mat231, 2009 2010 Programme mat231, 2009 2010 (2 septembre 2009) Pierre Bérard Université Joseph Fourier Pierre.Berard@ujf-grenoble.fr Le programme de l ue mat231 a été recentré. Il portera cette année uniquement sur l

Plus en détail

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud

Les Mathématiques pour l Agrégation. C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud Les Mathématiques pour l Agrégation C. Antonini J.-F. Quint P. Borgnat J. Bérard E. Lebeau E. Souche A. Chateau O. Teytaud 24 avril 2002 Table des matières 1 Algèbre linéaire 2 1.1 Généralités...............................

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

LISTE DE QUESTIONS DE COURS

LISTE DE QUESTIONS DE COURS LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopié d Algèbre de 2008/2009 Chapitre 1 1. Définition 1.1 : Espace vectoriel. 2. Proposition 1.3 : Espace vectoriel produit. 3. Définition 1.2 : Sous-espaces vectoriels.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 2016 Enoncés 1 Applications linéaires Etude de linéarité a) Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E. b) Exprimer ϕ ψ et ψ ϕ. c) Déterminer images et

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES

ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES 30-9- 2010 J.F.C. p. 1 ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES Exercice 1 Intersection d hyperplans. E est un espace vectoriel de dimension n sur K (n [2, + [). Q1. Montrer que si F et G sont deux

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Définition et premiers exemples 1.1 Définition Définition 1.1 Application linéaire Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On appelle application linéaire de E dans F toute application

Plus en détail

Algèbre 2, Cours de deuxième année de l Université de Bordeaux. Jean-Jacques Ruch 1

Algèbre 2, Cours de deuxième année de l Université de Bordeaux. Jean-Jacques Ruch 1 Algèbre 2, Cours de deuxième année de l Université de Bordeaux 1 1 Institut de Mathématiques Bordeaux, UMR 5251 du CNRS, Université de Bordeaux, 351 cours de la Libération, F33405 Talence Cedex, France

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014

Algèbre Linéaire. Victor Lambert. 24 septembre 2014 Algèbre Linéaire Victor Lambert 24 septembre 2014 Table des matières 1 Généralités 2 1.1 Espaces vectoriels............................ 2 1.2 Applications linéaires.......................... 4 1.3 Familles

Plus en détail

19. APPLICATIONS LINÉAIRES

19. APPLICATIONS LINÉAIRES 19. APPLICATIONS LINÉAIRES 1 Dénitions générales. 1. 1 Applications linéaires. On dit qu'une application d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est linéaire si elle est compatible avec les

Plus en détail

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI

Espace vectoriel de dimensions finies MPSI Espace vectoriel de dimensions finies MPSI 22 juin 2008 Table des matières 1 Partie libre - Partie liée - Partie génératrice 2 1.1 Partie finie liée.......................... 2 1.1.1 Vecteurs colinéaires....................

Plus en détail

Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1. Olivier DEBARRE. 1 Version très préliminaire

Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1. Olivier DEBARRE. 1 Version très préliminaire Algèbre linéaire et géométrie pour le CAPES 1 Olivier DEBARRE 1 Version très préliminaire Table des matières Chapitre 1. Espaces vectoriels et applications linéaires 5 1. Définitions 5 2. Applications

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques.

Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. Université Paris-Dauphine DU MI2E, 2ème année Algèbre linéaire 3 : produits scalaires, espaces euclidiens, formes quadratiques. Cours 2010/2011 Olivier Glass Le polycopié qui suit peut avoir des différences

Plus en détail

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Licence Sciences, Technologies, Santé Enseignement de mathématiques des parcours Informatique ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE - Notes de cours et de travaux

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités PC* Devoir 6: Corrigé 20 202 Partie I : Généralités I.A - Questions préliminaires a b c I.A.) M S M = b l m avec (a, b, c, l, m, t) R 6. c m t Les éléments de S sont les matrices de la forme : M = ae +

Plus en détail