Applications linéaires

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1 Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f x f y f λx λ f x. L ensemble des applications linéaires de E dans est noté L E,. Remarques. (a) Si l on fait λ 0 dans f λx λ f x, on obtient f 0 E 0 ; si l on fait λ, on obtient f x f x. (b) Soient λ,..., λ n et x,..., x n E, alors on démontre par récurrence sur n que f λ x λ n x n λ f x λ n f x n. Proposition 35. Soient E,, des -espace vectoriels. (a) Si f L E, et g L,, alors g f L E,. (b) Si f L E, est bijective, alors f est une application linéaire bijective de dans E. (c) Soient f, g L E,, et λ. Les applications f g : E et λ f : E définies par : f g x f x g x λ f x λ f x ( ) pour tout x E sont linéaires. (d) L E,, muni des lois ( ), est un de dimension -espace vectoriel. Si E, sont de dimension finie, alors L E, l est aussi, dim L E, dim E. dim. Définitions. Soient E, deux espaces vectoriels. (a) Une application linéaire f : E est dite : 26

2 CHAPITRE IV. APPLICATIONS LINÉAIRES 27 (i) endomorphisme si E. L ensemble des endomorphismes de E est noté End E, ou End E, ou L E. (ii) isomorphisme de E sur, si f est bijective. (iii) automorphisme si E et f est bijective. L ensemble des automorphismes de E se note Aut E, ou Aut E. (b) On dit que E et sont isomorphes s il existe un isomorphisme de E sur. Remarque. Muni des lois internes de la somme et de la composée de deux applications, End E est un anneau (unitaire) non commutatif. Proposition 36. Soient E un -espace vectoriel de dimension finie, un -espace vectoriel quelconque, et B e,..., e n une base de E. (a) Soit f,..., f n une partie de. Alors il existe une application linéaire f : E et une seule telle que f e f,..., f e n f n. (b) Deux applications linéaires f, g : E f e i g e i pour tout i,..., n. sont égales si et seulement si elles coïncident sur B, c est-à-dire Définitions. Soient E, deux espaces vectoriels, et f L E,. (a) On appelle image de f, notée Im f, et définie par : Im f f x x E. (b) On appelle noyau de f, noté Ker f, et défini par : Remarques. Ker f x E f x 0. (a) Ker f est un sous-espace vectoriel de E qui contient 0 E. (b) Im f est un sous-espace vectoriel de qui contient 0. L application f est surjective si et seulement si Im f. Théorème 37. Soit f L E, une application linéaire. Alors f est injective si et seulement si Ker f 0 E. Proposition 38. Soient f L E,, A v,..., v k une famille de vecteurs de E, et B f v,..., f v k. (a) Si f est injective, A est une famille libre de E si et seulement si B est une famille libre de. (b) Si f est surjective et la famille A est génératrice, alors B est une famille génératrice de. En particulier, si f est un isomorphisme, l image directe d une base de E est une base de.

3 CHAPITRE IV. APPLICATIONS LINÉAIRES 28 Théorème 39. (a) Deux -espace vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s ils ont même dimension. (b) Tout -espace vectoriel de dimension finie n est isomorphe à n. Donc à isomorphisme près, il n y a qu un seul -espace vectoriel de dimension n, c est n. Ainsi, l espace vectoriel n X P X deg P n est isomorphe à n, et l espace vectoriel M n est isomorphe à n 2. Définition. Soit f L E,. La dimension de Im f est appelée rang de f, et est notée rg f. Si e,..., e n est une base de E, alors f e,..., f e n engendre Im f. Il suit du Théorème 29 que rg f dim Im f dim. Théorème 40 (Théorème du rang). Soient E un espace vectoriel de dimension finie et un espace vectoriel quelconque. Soit f L E,. Alors : dim E rg f dim Ker f. Pour voir qu une application linéaire f : E est bijective, il faut montrer qu elle est à la fois surjective et injective. Mais si dim E et dim sont finies et égales, alors il suffit de montrer l une des deux propriétés : soit l injectivité, soit la sujectivité : Corollaire 4. Soient E, deux espaces vectoriels de même dimension finie et f L E, (par exemple si f End E ). Alors : f est bijective f est surjective f est injective. 2 Projecteurs et symétries a) Projecteurs La notion de projecteur est fondamentale en géométrie, en analyse fonctionnelle ainsi qu en statistique. C est un outil qui nous permet de mieux comprendre la structure d un endomorphisme. Définition. Soit E un tel que p p p. -espace vectoriel. Un projecteur (ou idempotent) de E est un endomorphisme p de E Théorème 42 (Propriétés des projecteurs). Soit E un -espace vectoriel. (a) Si p End E est un projecteur, alors :

4 CHAPITRE IV. APPLICATIONS LINÉAIRES 29 (i) Id E p est un projecteur. (ii) Im p Ker Id E p. (iii) Ker p Im Id E p. (b) Soit p End E. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) p est un projecteur de E. (ii) Id E p est un projecteur de E. (iii) E Ker p Ker Id E p. (a) (i) Soit p End E un projecteur. Alors Id E p End E par la Proposition 35(c). De plus, Id E p 2 Id E p Id E p Id E 2p p 2 Id E 2p p Id E p. (ii) Si x Ker Id E p, alors p x x, d où x Im p. Réciproquement, si x Im p, il existe y E tel que p y x, donc x p y p 2 y p x, d où x Ker Id E p. (iii) s obtient par le (i) et en échangeant les rôles de p et Id E p dans le (ii). (b) L équivalence entre (i) et (ii) se déduit du (a). Montrons l implication (i) Ker f Im f E. Réciproquement, si x E, (iii) : on a clairement que x x p x p x Ker f Im f, car p x p x p x p 2 x 0 E, d où E Ker f Im f par double inclusion. Ensuite, la somme Ker f Im f est directe : si x Ker f Im f, il existe y E tel que p y x. Mais p x 0 E, donc 0 E p x p 2 y p y x. On a donc E Ker p Im p, et le résultat se déduit du (a)(ii). Montrons l implication (iii) (i) : soit x E. Il existe alors y Ker p et z Ker Id E p (uniques) tels que x y z. Par conséquent, p z z, p x p y z p z z, et p 2 x p z z p x. L endomorphisme p est donc un projecteur de E. Comme nous allons voir maintenant, la notion de projecteur est fortement liée à celle de projection. Définition. Soient E un -espace vectoriel et, deux sous-espaces vectoriels de E tels que E. On rappelle que tout x E s écrit de façon unique sous la forme x y z, avec y et z. L application p : E E s appelle projection sur parallèlement à (ou projection de base et de direction ). x y z y De même, l application p : E E s appelle projection sur parallèlement à. x y z z Le théorème suivant caractérise les projecteurs de E. Théorème 43 (Propriétés de projections). Soit E un -espace vectoriel. (a) Soient, deux sous-espaces vectoriels de E tels que E.

5 CHAPITRE IV. APPLICATIONS LINÉAIRES 30 (i) La projection p sur parallèlement à est un endomorphisme de E, et est un projecteur. (ii) Im p, Ker p, E Im p Ker p, p p Id E, et p p p p 0. (b) Soit p un projecteur de E. Alors p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p. (a) (i) Soient x, x E. Alors il existe y, y, z, z uniques tels que x y z et x y z. On a x x y y z z, donc p x x y y p x p x. De plus, si λ, λx λy λz on a p x y y, donc p λx λy λp x, et p est un endomorphisme. C est un projecteur : (ii) Si x y z avec y, z, alors p x y, et 0 E, donc p 2 x p y y p x pour tout x E, d où p 2 p. x Ker p y 0 E x, d où Ker p. De plus, Im p p x y y. La somme directe se déduit du (i) et du Théorème 42(b). Puisque x y z, p x y et p x z, il suit que x p x p x p p x pour tout x E, d où p p Id E. Enfin, comme Im p et Ker p, si x y z avec y Im p et z Ker p, alors p p x p y 0 E, d où p p 0. La relation p p 0 se déduit en échangeant les rôles de et. (b) D après le Théorème 42, on a E Im p Ker p. Si x y z avec y Im p et z Ker p, on a p x p y y (car il existe w E tel que p w y donc p y p 2 w p w y), de sorte que p est la projection sur Im p parallèlement à Ker p. b) Symétries Définition. Soit E un -espace vectoriel. Une symétrie (ou involution) de E est un endomorphisme s de E tel que s s Id E. Remarque. Il est clair que toute symétrie d un espace vectoriel est un automorphisme (on a s s). Théorème 44 (Propriétés des symétries). Soit s un endomorphisme d un -espace vectoriel (où est un corps commutatif de caractéristique différente de 2). Les conditions suivantes sont équivalentes : (a) s est une symétrie de E. (b) E Ker s Id E Ker s Id E. (c) s 2p Id E, où p est un projecteur de E.

6 CHAPITRE IV. APPLICATIONS LINÉAIRES 3 (a) (b) : soit x E. Alors s 2 x s x 2 s x x 2 x s x, d où 2 x s x Ker s Id E. Par conséquent, x 2 x s x 2 x s x Ker s Id E Ker s Id E. Il vient que E Ker s Id E Ker s Id E. La somme est directe : si x Ker s Id E Ker s Id E, alors on a s x x et s x x, d où x 0 E. (b) (a) : soit x E. Alors il existe y Ker s Id E et z Ker s Id E (uniques) tels que x y z, s y y et s z z. Donc s x y z, d où s 2 x y z x, et s 2 Id E. Ker s Id E Ker s Id E (a) (c) : si s End E, posons p 2 s Id E. Alors p 2 p 4 s2 2s Id E 2 s Id E s 2 Id E. Comme pour les projecteurs, la notion de symétrie peut être caractérisée géométriquement. Définition. Soient E un -espace vectoriel et, deux sous-espaces vectoriels de E tels que E. Tout x E s écrit de façon unique sous la forme x y z, avec y et z. L application s : E E s appelle symétrie par rapport à parallèlement à (ou symétrie de base et de direction x y z y z ). Le théorème suivant caractérise les symétries de E. Théorème 45 (Propriétés des symétries). Soit E un -espace vectoriel. (a) Soient, deux sous-espaces vectoriels de E tels que E. (i) La symétrie s par rapport à parallèlement à est un endomorphisme de E, et est une symétrie. (ii) Ker s Id E, Ker s Id E, et s p p 2p Id E Id E 2p. (b) Soit s une symétrie de E. Alors s est la symétrie par rapport à Ker s Id E parallèlement à Ker s Id E. (a) (i) Soit x E. On a x y z, avec y et z (uniques), et s x y d où s 2 Id E. (ii) Soit x E. Écrivons x y z, où y et z. Alors x Ker s Id E s x x y z y z z y z x, Donc x Ker s Id E z 0 E x y, et x Ker s Id E y 0 E x z. Enfin s x y z p x p x p p x pour tout x E, d où s p p, et s p p s p Id E p 2p Id E Id E p p Id E 2p. (b) Soit x E Ker s Id E Ker s Id E, et soient y Ker s Id E et z Ker s Id E tels que x y z. Alors s y y, s z z, et s x y z. Il suit que s est bien la symétrie par rapport à Ker s Id E parallèlement à Ker s Id E.

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