Espaces vectoriels de dimension finie

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1 Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C Espaces vectoriels de dimension finie Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension finie Soit E un K-ev, ie un espace vectoriel sur K. On dit que E est de dimension finie lorsqu il admet une famille génératrice finie. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie. Exemple : K n et K n [X ] sont de dimension finie. Nous allons maintenant étudier l existence de bases dans un K-ev de dimension finie. Remarquons tout d abord que, dans tout K-ev E, il existe toujours une famille génératrice qui E lui-même. Si E n est pas réduit au vecteur nul, alors tout vecteur x de E différent du vecteur nul donne ( x famille libre. Par contre, il n est pas clair que E admet au moins une base. Rappelons ensuite que, par convention, est une base de { 0 E, et donc { 0 E est un K-ev de dimension finie. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Existence de bases en dimension finie Si E est de dimension finie, alors E admet au moins une base composée d un nombre fini de vecteurs. En fait si B= ( e 1, e 2,..., e n est une telle base de E, alors, pour tout λ K, ( λ. e 1, e 2,..., e n en est une autre. Ceci prouve que E admet en une infinité de bases. Ce n est pas au programme mais intéressant à savoir : si E est de dimension finie, alors E admet aussi des bases (infinies, grâce à l axiome du choix. 257

2 258 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Démonstration : On peut supposer sans perte de généralité que E n est pas réduit à { 0 E. Puisque E est de dimension finie, E admet une famille génératrice finie qu on note F = 1,..., u p. Si F est libre, alors F est un base finie de E et le résultat est démontré. Si F est liée, alors un des vecteur est CL des autres. Par exemple, supposons que u p est CL de ( u 1,..., u p 1. Dans ce cas F est encore une famille génératrice de E. On recommence alors le raisonnement avec F : si elle est libre on a trouvé une base finie, sinon on peut encore lui enlever un vecteur tout en gardant son caractère générateur... Soit on tombe sur une famille génératrice et libre donc une base de E, soit, dans le pire des cas, on tombe p 1 fois sur une famille liée, ce qui donne une famille génératrice composée d un vecteur ( u 1. Puisque E n est pas réduit à 0 E, ce vecteur est non nul et forme donc une famille libre. Ainsi on trouve encore une fois une base finie de E. CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Extraction de base d une famille génératrice finie Si E est de dimension finie et si F est une famille génératrice finie de E, alors on peut extraire de F une base B finie de E. Exemple : Donner une base de E=Vect [ (X 1 2, X 2, 2X+1 ] et de E=Vect[(1,0;(1,1;(0,2 ]. Ä ÑÑ ½ º Nombre de vecteurs d une famille libre et d une famille génératrice Soit E un K-ev de dimension finie. On suppose que L est une famille libre de E et que G est une famille génératrice finie de E. Alors L est finie et Card(L Card(G. Démonstration : Par l absurde, supposons que Card(L > Card(G. On note G = ( v 1,..., v p et L = 1,...,u q. Remarquons que cela impose que p = Card(G et q = Card(L. Comme on a supposé que q > p, on peut noter : L = ( u 1,..., u p, u p+1,..., u q Comme G est génératrice de E, on a u 1 CL des vecteurs de G : p u 1 = α i. v i i=1 où (α 1,...,α p K p Au moins une des α i est non nul : sinon on aurait u 1 = 0 E ce qui est absurde car u 1 L et L est libre. Pour simplifier, supposons que α p 0. Alors : ( v p = 1 u 1 α p p α i. v i i=1

3 14.1. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 259 donc v p Vect ( u 1, v 1, v 2,..., v p 1. D autre part G = ( v 1,..., v p 1, v p est génératrice de E, donc 1, v 1,..., v p 1, v p l est aussi. Comme v p est CL de ( u 1, v 1,..., v p 1, on obtient que G1 = ( u 1, v 1,..., v p 1 est génératrice de E. On a donc remplacé v p par u 1 dans la famille génératrice G. On recommence. Comme G 1 est génératrice de E, on a u 2 CL de ( u 1, v 1,..., v p 1 : u 2 = β. p 1 u 1 + α i. v i i=1 où (β 1,α 1,...,α p 1 K p et comme ( u 1, u 2 est libre (sous-famille de L qui est libre, on a au moins un des αi qui est non nul. Pour simplifier, supposons que α p 1 0. Alors : donc v p 1 Vect ( u 1, u 2, v 1,..., v p 2. ( v p 1 = 1 u 2 β 1. p 2 u 1 α i. v i α p 1 D autre part G 1 = ( u 1, v 1,..., v p 2, v p 1 est génératrice de E, donc la famille 1, u 2, v 1,..., v p 2, v p 1 l est aussi, et donc G2 = ( u 1, u 2, v 1,..., v p 2 est génératrice de E (puisque v p 1 est CL de ces vecteurs. À ce stade, on a donc remplacé v p et v p 1 par u 1 et u 2 dans la famille génératrice G. Au bout de p étapes, on remplace v 1,..., v p 1, v p par u 1,..., u p 1, u p (ce qui est possible car q > p, et on obtient que la famille G p = ( u 1,..., u p est génératrice de E. Mais alors u p+1 est CL de G p ce qui contredit le fait que L est libre. i=1 Par l absurde, on a donc montré que Card(L Card(G. CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Condition suffisante de dimension infinie Si un K-ev E admet une famille libre infinie, alors E est de dimension infinie. Exemple : K[X ], K N et R R sont de dimension infinie (dans le dernier cas, considérer la famille de fonctions ( e λx λ>0. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Théorème de la dimension finie Si E est un K-ev de dimension finie, alors toutes ses bases sont finies et de même cardinal.

4 260 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Ò Ø ÓÒ ½ º Dimension Si E est un K -ev de dimension finie, on appelle dimension de E le cardinal commun de toutes ses bases. Ce nombre entier naturel non nul est noté dim(e. On adopte la convention que { 0 E est de dimension finie et que dim ( { 0 E = 0. En général on a donc dim(e N et dim(e=0 E= { 0 E. Exemple : K n est de dimension finie et dim ( K n = n. Exemple : K n [X ] est de dimension finie et dim ( K n [X ] = n+ 1. Exemple : C est de dimension finie en tant que C-ev et aussi en tant que R-ev. De plus, dim C (C=1 et dim R (C=2. Ò Ø ÓÒ ½ º Droites et plans vectoriels Soit E un K-ev. 1. On appelle droite vectorielle de E, tout sev F de E vérifiant dim(f=1. Autrement dit ce sont les sev F de E tels que F=Vect( u pour u E, u 0 E. 2. On appelle plan vectoriel de E, tout sev F de E vérifiant dim(f = 2. Autrement dit ce sont les sev F de E tels que F = Vect( u, v pour ( u, v E 2, avec u et v non colinéaires. Exemple : Dans R N, G= { (u n n N R N/ n N, u n+1 = 2u n est une droite vectorielle. Exemple : Pour (a,b R 2, F a,b = { (u n n N R N/ n N, u n+2 = au n+1 + bu n est un plan vectoriel de R N Familles de vecteurs en dimension finie Ì ÓÖ Ñ ½ º Familles génératrices en dimension finie : extraction d une base Soit E un K-ev de dimension finie et F une famille finie de vecteurs de E, génératrice de E. Alors : 1. il existe une sous-famille B F qui est une base de E ; 2. Card(F dim(e ; 3. Card(F = dim(e F est une base de E F est libre. ATTENTION : ce résultat est faux en avec une famille infinie! On ne peut pas toujours extraire une base d une famille génératrice composée d une infinité de vecteurs. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¼ Cas de Vect(F Si E est un K-ev et F est une famille finie de vecteurs de E, alors : 1. Vect(F est de dimension finie et dim [ Vect(F ] Card(F ; 2. dim [ Vect(F ] = Card(F F est une base de Vect(F F est libre.

5 14.1. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 261 Donc si F = ( u 1,..., u p, alors dim [Vect ( u 1,..., u p ] p. Ì ÓÖ Ñ ½ º½½ Familles libres en dimension finie : théorème de la base incomplète Soit E un K-ev de dimension finie et F une famille libre de vecteurs de E. Alors : 1. il existe une sur-famille F B qui est une base de E ; 2. Card(F dim(e ; 3. Card(F = dim(e F est une base de E F est génératrice de E. Si B 0 est une base fixée de E, alors on peut compléter F en une base B de E, en prenant certains vecteurs de la famille B 0. Exemple : ( (1,1;(1, 1 est une base de R 2. Exemple : Compléter ( X 2, X en une base de K 2 [X ]. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½¾ Base d un(e droite/plan vectoriel(le Soit E un K-ev. Alors : 1. si F est une droite vectorielle de E, tout vecteur u 0 E élément de F est une base de F ; 2. si F est un plan vectoriel de E, tous vecteurs u et v non colinéaires et éléments de F forment une base de F Espaces vectoriels isomorphes Ò Ø ÓÒ ½ º½ K-ev isomorphes Soient E et F deux K-ev. On dit qu ils sont isomorphes lorsqu il existe un isomorphisme de E sur F. Remarquer que E est toujours isomorphe à E. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Caractérisation de la dimension finie Soient E un K-ev et n N. Alors : E est de dimension finie n E est isomorphe à K n Démonstration : = Pour B base de E fixée, considérer l application : ϕ : E K n x = (x1,..., x n B ϕ ( x = (x1,..., x n et remarquer que ϕ(b est la base canonique de K n. = Si ϕ isomorphisme de E sur K n, considérer l image réciproque par ϕ de la base canonique de K n.

6 262 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE CQFD ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Linéarité de l application coordonnées Si E est de dimension finie égale à n, et si B est une base de E, alors l application «coordonnées» : ϕ : E K n ( x ϕ x = (x1,..., x n B est linéaire. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º½ Dimension et isomorphisme Soient E et F deux espaces vectoriels sur K. Alors : dim(e = dim(f E et F sont isomorphes Démonstration : = Pour B base de E et C bases de E fixées, considérer l application : ϕ : E F x = (x1,..., x n B ϕ ( x = (x1,..., x n C et remarquer que ϕ(b est la base canonique de K n. = Évident. CQFD 14.2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie Inclusion et dimension Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Sev d un K-ev de dimension finie Soit E un K -ev de dimension finie. Alors tous ses sev F sont aussi de dimension finie et vérifient : dim(f dim(e. Démonstration : Soit F un sev de E. Si F= { 0 E alors F est de dimension finie et dim(f=0 dim(e. Si F { 0 E. Dans ce cas il existe u 1 0 E, et donc ( u 1 libre dans F. Si ce n est pas une base de F alors on prend u 2 F tel que u 2 Vect ( u 1, et on obtient 1, u 2 famille libre dans F. Ainsi de suite, si on a ( u 1,..., u k famille libre de F qui n est pas une base de F alors on peut trouver u k+1 F tel que u k+1 Vect ( u 1,..., u k, et on obtient 1,..., u k, u k+1 libre.

7 14.2. SOUS-ESPACES VECTORIELS EN DIMENSION FINIE 263 Au bout d un nombre fini d itérations : - on obtient une base finie de F, donc F est de dimension finie ; - ou dans le pire des cas on arrive à ( u 1,..., u n famille libre dans F avec n = dim(e. Cette famille est aussi libre dans E, et c est donc une base de E et donc une base de F (ie qu on est dans le cas où E=F. Dans ce cas aussi F est de dimension finie. CQFD Ò Ø ÓÒ ½ º½ Hyperplan Soient E un K-ev de dimension fine et F un sev de E. On dit que F est un hyperplan de E, lorsque dim(f = dim(e 1. Exemple : Dans K 2, les hyperplans sont les droites vectorielles. Dans K 3, les hyperplans sont les plans vectoriels. Ì ÓÖ Ñ ½ º½ Inclusion-Dimension Soient E un K-ev et F, G deux sev de E. 1. Si G est de dimension finie et F G, alors F est de dimension finie et dim(f dim(g. 2. Si G est de dimension finie et F G, alors : F=G dim(f=dim(g ATTENTION : il n y a pas de réciproque pour le premier point! Si dim(f dim(g, (2 n on ne peut absolument pas dire que F G. Par exemple, considérer F = Vect[ ] n N et G=Vect [ (1,0,1;(1,1,0 ] Sommes de sev en dimension finie Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¼ Sommes de sev et dimension Soient E un K-ev et F et G deux sev de E, de dimension finie. 1. F+G est un sev de E de dimension finie et : dim(f+g dim(f+dim(g ; 2. si F et G sont en somme directe, alors F G est un sev de E de dimension finie et : dim(e F= dim(e+dim(f. En toute généralité, on dispose de la formule de Grassman, qui n est pas au programme d ECS première année : dim(f+g=dim(f+dim(g dim(f G Remarquer qu elle n est pas sans rappeler une formule sur le cardinal de A B.

8 264 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Ì ÓÖ Ñ ½ º¾½ Existence d un supplémentaire en dimension finie Soit E un K-ev de dimension finie. Alors tout sev F de E admet des supplémentaires G dans E, et ils vérifient dim(g = dim(e dim(f. ATTENTION : il n y pas unicité d un supplémentaire mais seulement de sa dimension. Ce n est pas au programme d ECS première année : le résultat est encore vrai en dimension infinie. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾¾ Caractérisation des sev supplémentaires Soient E un K-ev de dimension finie, et F, G deux sev de E. On a équivalence des propositions : 1. F et G sont supplémentaires dans E : E=F G ; 2. F+G=E et F G= { 0E ; 3. l union d une base de F et d une base de G donne une base de E (c est alors vrai pour toutes les bases ; 4. tout vecteur e E se décompose de manière unique sous la forme e = f + g, avec f F et g G ; 5. E=F+G et dim(e=dim(f+dim(g ; 6. F G= { 0 E et dim(e=dim(f+dim(g. Exemple : Dans R 3, on considère F = Vect[(1,1,1 ] et G = {(x, y, a R 3 / x + y + z = 0 = Vect [ (1,0, 1;(0,1, 1 ]. On a dim(f+dim(g=3 et F G= { 0 R 3. Une conséquence importante de ce théorème est que lorsqu on coupe une base de E en deux sous-familles, elles engendrent deux sev supplémentaires de E Rangs Rang d une famille de vecteurs Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Rang d une famille de vecteurs Soient E un K-ev et F = ( u 1,..., u p une famille finie de vecteurs de E. On appelle rang de F le nombre entier naturel défini par : rg(f =dim ( Vect[F ]. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Propriétés du rang d une famille de vecteurs Soient E un K-ev et F = ( u 1,..., u p une famille finie de vecteurs de E. 1. rg(f min ( Card(F,dim(E ;

9 14.3. RANGS rg(f =Card(F F libre ; 3. rg(f =dim(e F génératrice de E ; 4. si rg(f =dim(e=n : rg(f =n F est une base de E ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Règles de calcul du rang d une famille de vecteurs Soient E et F deux K-ev et F = ( u 1,..., u p une famille finie de vecteurs de E. 1. Si α 0 : rg ( u 1,..., u p 1, u p = rg 1,..., u p 1,α. u p. 2. rg ( u 1,..., u p 1, ( 0 E = rg u 1,..., u p Si (λ 1,...,λ n 1 K n 1 : rg ( ( u1,..., u p 1, u p = rg u 1,..., u p 1, p 1 u p + λ k. u k. 4. Si u p est CL de la famille ( u 1,..., ( u p 1 : rg u1,..., u p 1, ( u p = rg u1,..., u p Si f L (E,F est injective, alors rg ( u1,..., ( u p = rg f ( ( u1,..., f u p 1. k=1 On peut remarquer que ce sont les mêmes propriétés que celles du Vect. Pour le moment, la seule méthode à notre disposition pour calculer le rang d une famille de vecteurs est d extraire une base de Vect(F. Nous verrons une méthode beaucoup plus efficace dans le chapitre sur le calcul matriciel. Exemple : rg [ (1,0,1;(1,1,0;(0, 1,1 ] = Rang d une application linéaire Ò Ø ÓÒ ½ º¾ Rang d une application linéaire Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F. On appelle rang de f le nombre entier naturel : rg(f =dim [ Im(f ]. Si B = ( u 1,..., u p est une base de E, on rappelle que Im(f =Vect [f ( u 1,..., f p ]. en particulier, Im(f est un sev de F de dimension finie (même si F ne l est pas, et rg(f est donc bien défini.

10 266 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½ º¾ Propriétés du rang d une application linéaire Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F. 1. Si B= ( u 1,..., u p est une base de E : rg(f =rg [ f (B ] = rg [f ( ( u 1,..., f u ] p 2. rg(f min ( dim(e,dim(f (même si dim(f=+. Le théorème suivant est fondamental, puisqu il relie la dimension du noyau à celle de l image. Ì ÓÖ Ñ ½ º¾ Théorème du rang Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F. On a : dim(e=rg(f +dim [ Ker(f ] ATTENTION : dans le cas f L (E,F, cela ne signifie pas que E=Ker(f Im(f. La démonstration repose sur le lemme suivant. Ä ÑÑ ½ º¾ Isomorphisme entre les supplémentaires du noyau et l image Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E,F. Si H est un supplémentaire de Ker( f dans E, alors H est isomorphe à Im( f. ÓÖÓÐÐ Ö ½ º ¼ Hyperplan et forme linéaire Soient E un K-ev de dimension finie. Alors : H est un hyperplan de E H est le noyau d une forme linéaire non nulle Démonstration : = Si E=H Vect ( u, considérer ϕ : x = h + λx. u E λ x K. = Conséquence du théorème du rang. CQFD

11 14.3. RANGS 267 Ì ÓÖ Ñ ½ º ½ Injectivité, surjectivité et rang Soient E et F deux K-ev de dimension finie et f L (E,F. 1. rg(f min ( dim(e,dim(f. 2. rg( f = dim(e f injective. 3. rg( f = dim(f f surjective. 4. Si dim(e=dim(f=n : f est un isomorphisme de E sur F rg(f =n Ì ÓÖ Ñ ½ º ¾ Injectivité et surjectivité en dimension finie Soient E et F deux K-ev de dimension finie et f L (E,F. 1. On suppose que dim(e = dim(f. Alors : 2. On suppose que E=F. Alors : f injective f surjective f isomorphisme f injective f surjective f automorphisme ÓÖÓÐÐ Ö ½ º Inversibilité à gauche/droite en dimension finie Soient E et F deux K-ev de dimension finie tels que dim(e=dim(f. Soient f L (E,F et g L (F,E. Alors : et donc g f = id F. g f = id E = f et g isomorphismes et f 1 = g ATTENTION : ceci n est vrai qu en dimension finie! Considérer comme contre-exemple le morphisme «shift» sur les suites réelles. Ì ÓÖ Ñ ½ º Rang d une composée Soient E, F et G trois K-ev de dimension finie, f L (E,F et g L (F,G. Alors : 1. rg(g f min ( rg(g,rg(f ; 2. si g est un isomorphisme : rg(g f =rg(f ; 3. si f est un isomorphisme : rg(g f =rg(g. Les deux dernières propriétés portent le nom d «invariance du rang par isomorphisme».

12 268 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 14.4 Exercices Familles de vecteurs en dimension finie Ü Ö ½ º½ Les familles suivantes sont-elles des bases de R 3? ( F 1 = (0,1,2,(1,2,0,(2,0,1 ( F 2 = (1,1,0,(2,0,1,(3,1,1,(1,0,2 Ü Ö ½ º¾ On considère le sous-espace vectoriel E de R 4 défini par ( E=Vect (1, 1,3, 3,(2, 2,4, 4,(3, 3,7, 7,(1, 1,1, Donner une base et la dimension de E. 2. Déterminer un système d équations cartésiennes de E. ( 3. Etablir que E F, où F est défini par F= Vect (1,0,1, 1,(0,1,2, 2,(1,0,0,0,(0,0, 1,1. ( 4. On pose G=Vect (1,0,0,1,(1,2,0,0. Déterminer une base de E G. Ü Ö ½ º Soit n N. 1. On dira qu une famille de polynômes (P 0,P 1,...,P n est de degrés étagés lorsque : k 0,n, deg(p k =k. Montrer que (P 0,...,P n est alors une base de R n [X ]. 2. Soit α K. Montrer que la famille formée des polynômes 1, (X α, (X α 2,..., (X α n est une base de K n [X ]. Donner l expression des coordonnées d un polynôme P K n [X ] dans cette base. 3. Soit n N. Montrer que la famille (X k (X 1 n k est une base de K n[x ]. k 0,n Ü Ö ½ º On note R R l ensemble des fonctions numériques définies sur R. On pose : E= { f R R/ x R, f (x= a cos(x+b sin(x+c où (a,b,c R 3 Montrer que E est un R-espace vectoriel de dimension finie et donner une base et sa dimension. Ü Ö ½ º On note E l ensemble des fonctions numériques définies sur R à valeurs dans R. Pour α R, on note F α l ensemble des fonctions de E de la forme : x P(xe αx +Q(xe αx où P et Q sont des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à Montrer que E et F α sont des R-espaces vectoriels. 2. Déterminer une base B de F α et en déduire sa dimension.

13 14.4. EXERCICES Pour f F α déterminer les coordonnées de f dans la base B. Sommes directes en dimension finie ( Ü Ö ½ º Déterminer un supplémentaire dans R 3 de F=Vect (0,1,1,(1,0,2. Ü Ö ½ º On note E l ensemble des (u n R N telles que : n N,u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n, F l ensemble des (a n R N telles que : n N, a n+1 = 2a n et G l ensemble des (b n R N telles que : n N, b n+2 = b n+1 b n. 1. Vérifier que E, F et G sont des R-espaces vectoriels. 2. Déterminer une base et la dimension de F et de G. 3. Déterminer dim(e et en déduire que : E=F G. Donner alors une base de E. 4. Soit (u n n N la suite définie par u 0 = 1, u 1 = 0, u 2 = 2 et : n N, u n+3 = u n+2 + u n+1 + 2u n. Déterminer l expression de u n en fonction de n. Applications linéaires en dimension finie Ü Ö ½ º Soit θ : R n [X ] R n [X ] définie par : θ(p=p (X + 1P. Montrer que Θ est un endomorphisme et déterminer une base de son noyau et de son image. Ü Ö ½ º Polynômes de Lagrange Soit n N et x 0, x 1,..., x n des réels 2 à 2 distincts. On considère l application ϕ : R n [X ] R n+1 P ϕ(p= ( P(x 0,P(x 1,...,P(x n 1. Montrer que ϕ est un isomorphisme de R n [X ] sur R n En déduire que si y 0,..., y n sont des réels donnés alors il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que : i 0,n, P(x i = y i 3. Pour tout j 1,n, on note L j l unique polynôme de R n [X ] tel que : { 1 si i = j i 1,n, L j (x i =δ i j = 0 si i j Vérifier que B= (L 0,L 1,...,L n est une base de R n [X ]. Si P R n [X ], quelles sont les coordonnées de P dans cette base?

14 270 CHAPITRE 14. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Ü Ö ½ º½¼ Soient n N et D l application D : R n [X ] R n [X ] P P 1. Vérifier que D est un endomorphisme de R n [X ]. 2. On pose Γ=id Rn [X ]+D+D 2 + +D n. Montrer que Γ est un automorphisme de R n [X ] et déterminer son application réciproque. Ü Ö ½ º½½ Soient E et F deux K-ev tels que F est de dimension finie. 1. Soient f et g deux applications linéaires de E dans F. Montrer que : rg(f rg(g rg(f + g rg(f +rg(g 2. Soient f et g deux endomorphismes de E tels que f g = 0 L (E et f +g est un automorphisme de E. Montrer que rg(f +rg(g =dime. Ü Ö ½ º½¾ Soient E un K-ev de dimension finie et f L (E. Établir que : E=Ker f Im f Ker(f =Ker(f 2 et Im(f =Im(f 2

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