2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES"

Transcription

1 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation. Si A est une matrice, la notation suivante est très utile pour désigner ses entrées : A=[a ij ], où a ij est le nombre se trouvant à la rangée i et à la colonne j. Exemple. Matrice 3 2 : 3 4& % ( Si A = % 1 2 (, c est une matrice 3 2 ; les dimensions n et m sont respectivement %1 3' ( égales à 3 et 2. Si la matrice a une seule colonne (m =1) et n lignes, elle se réduit à un vecteur de R n. Si les deux dimensions sont égales (m=n), la matrice est dite carrée. La matrice transposée A T de la matrice A=[a ij ] est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes : A T =[a ji ]. En prenant la matrice A précédente : A T & 3 1 ' 1 =. % 4 ' 2 3 Une matrice carrée est symétrique si elle est égale à sa transposée. Par exemple, la & matrice A = 3 ' 1 ' 2 est symétrique car a ij =a ji pour tous i,j entre 1 et 3. % 2 ' Opérations sur les matrices 1. Addition, soustraction et multiplication par un réel On peut réaliser des opérations élémentaires sur les matrices comme l addition, la soustraction ou la multiplication par un nombre réel.

2 Si A = & ' 2 %' 1 3 et B = & 2 7 % 2 5 ' 4 ' 3 alors : C = A + B = & 5 8 % 1 9 ' 6. 0 Il faut que A=[a ij ] et B=[b ij ] aient les mêmes dimensions (dans ce cas, n=3 et m =2). La formule générale pour C=A+B est : C=[ a ij +b ij ]. Si k est un scalaire, on a : ka=[k a ij ]. Par exemple, si A = & ' 2 %' 1 3 alors 3A = & 9 3 %' 3 12 ' 6. 9 L élément neutre de l addition est la matrice nulle dont tous les éléments sont des zéros. 2. Produit matriciel On définit le produit matriciel de deux matrices de la manière suivante : & 1 2 Si A = %' 1 3 & 2 1 et B = alors : % 1 ' (1) ' C = AB = & ) % (1)( & 4 ' 1 =. % 1 ' 4 En général, étant données les matrices A=[a ij ] et B=[b ij ], posant AB=[m ij ] on a : m m ij = aik bkj. k=1 Pour que le produit matriciel soit possible, il faut que les dimensions des matrices soient compatibles, c est-à-dire il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de 1

3 lignes de B. En terme de dimension, si la matrice A est une matrice n m et la matrice B est une matrice m p, la matrice C = AB est une matrice n p. Le produit matriciel a les propriétés suivantes : - associativité : (AB)C = A(BC); - distributivité: A(B+C) = AB + AC; - transposée : (AB) T = B T A T ; - non commutativité : AB est différent de BA pour A et B quelconques. Comme les vecteurs sont des matrices à une colonne, on peut définir le produit matriciel de 2 vecteurs v T w dont le résultat est un nombre réel (on peut vérifier qu au niveau des dimensions, il n y a pas de problème car v T a pour dimensions (1,n) et w a pour dimensions (n,1) ). Ce produit matriciel est appelé produit scalaire de deux vecteurs. Le produit scalaire v T v est égal au carré de la norme (longueur) du vecteur v. 3. Matrice identité et matrice orthogonale En se limitant à des matrices carrées, on peut définir un élément neutre du produit matriciel. Cet élément neutre est appelé matrice identité ; il est habituellement noté I et est tel que AI = IA = A. La matrice identité est une matrice diagonale qui a des 1 sur la diagonale et des zéros partout ailleurs. Pour les matrices carrées d ordre 3, la matrice identité a pour forme : I = & 1 0 % De manière générique, posant I=[a ij ] : - a ij = 1, pour i = j, - a ij = 0, pour i j. Définition (matrice orthogonale). Une matrice Q est orthogonale si Q T Q=I. 4. Matrice inverse On peut aussi définir l inverse A -1 d une matrice carrée A (si cet inverse existe); cet inverse a la propriété suivante : A -1 A = A A -1 = I. L inverse d une matrice a les propriétés suivantes : - (A -1 ) -1 = A; - (A -1 ) T = (A T ) -1 ; - (AB) -1 = B -1 A -1 ; 2

4 - matrice orthogonale : Q -1 = Q T. Une matrice carrée n a pas toujours un inverse : Définition (matrice régulière; singulière). Une matrice admettant un inverse est dite régulière ou inversible; une matrice carrée qui n a pas d inverse est dite singulière ou non inversible. Une matrice carrée est régulière lorsque les colonnes (ou les lignes) sont des vecteurs linéairement indépendants. Une matrice carrée est singulière si au moins une colonne (ou ligne) est une combinaison linéaire des autres colonnes (ou lignes). Pour trouver l inverse d une matrice, le procédé peut être assez exigeant, surtout si on a affaire à une matrice de très grandes dimensions. Pour une matrice 2 2, il y a une formule très simple. Soit A = a b % '. Si ad-bc 0, alors la matrice est inversible et : c d& 1 d b& A 1 = % (. ad bc c a ' Et si ad-bc=0, alors la matrice est singulière. Il existe un opérateur de matrice, appelé déterminant et noté det(a) pour une matrice A, qui est différent de zéro pour une matrice régulière et qui est égal à zéro pour une matrice singulière. Le déterminant a les propriétés suivantes : - det (A.B) = det (A). det (B) - det (A -1 ) = 1/det(A) - det (I) = 1 (I matrice identité) - det (Q) = ± 1 pour Q matrice orthogonale. Pour une matrice 2 2, la formule pour le déterminant est très simple: det a c b % ' = ad ( bc. d& 2.3 Matrices et applications linéaires Si A est une matrice m n, on peut définir l'application suivante : f : R n R m f(v) = Av. 3

5 On peut noter que : f(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = f(x) + f(y); f(ax) = A(a x) = aax= af(x). Ainsi, f est une application linéaire. Définition (application linéaire). Étant donnés deux espaces vectoriels elle vérifie les 2 relations suivantes : E et F, une application f : E F est linéaire si 1-2- f (x + y) = f (x) + f (α x) = α f (x), f (y) où x, y E et α R. Ces deux relations peuvent être regroupées sous la forme d une relation unique: f (αx + β y) = α f (x) + β f (y), où x, y et α, β R. Remarque. La condition que f (α x) = α f (x) implique que dénote le vecteur zéro respectif de chaque espace), puisque α0=0. f (0) = 0 (où 0 On peut montrer que toute application linéaire f de l espace vectoriel E dans l espace vectoriel F (dimensions finies) peut se mettre sous la forme f(x) = Bx, où B est une matrice. Supposons par exemple que E = F de dimension 2 et qu une base de E est (e 1, e 2 ). Il s ensuit que : f(x) = f (x 1 e 1 +x 2 e 2 ) = x 1 f (e 1 ) + x 2 f (e 2 ), car f est une application linéaire. & x1 En posant B = [f (e 1 ) f (e 2 )], on obtient f(x) = B % x2 = Bx. Exemple 1. Une application non-linéaire: la fonction sin(x) : En prenant E = F = R, l application f(x) = sin(x) n est pas une application linéaire. En effet : f( αx ) = sin (α x ), α f(x) = α sin (x ). En général, ces deux valeurs sont différentes : par exemple en prenant x=π/2 et α=2 : sin(2 π/2) =0 2sin(π/2) =2. 4

6 Exemple 2. Application linéaire sur le plan réel : En prenant E = F = R 2, l application suivante est une application linéaire : ( x1% + f * '- = 2x1 % '. ) x 2&, 3x 2& En effet : & 2( x1 + 2' y1 f( αx + β y) = % 3( x2 + 3' y2 & 2' x1 & 2' y1 = + % 3' x 2 % 3' y2 & 2x1 & 2y1 = α + β % 3x 2 % 3y2 =α f(x) + β f(y). Ceci montre que f( αx + β y) = α f(x) + β f(y). Remarque. Sous forme matricielle, l'application linéaire de l'exemple précédent s'écrit: ( x1% + f * '- = 2 0 % ' x1 % '. ) x 2&, 0 3& x 2& 2.4 Image et noyau d une application linéaire Définition (image d'une application linéaire). L image de f, notée Im f, est l ensemble des éléments y F qui ont un antécédent x dans E : Im f = {y y = f(x), x E }. Im f est un espace vectoriel qui est un sous-espace vectoriel de F. Notons que si nous avons une base de E: ( e 1,K,e n ), alors ( f (e 1 ),K, f (e n )) est un ensemble générateur pour l'image. En effet, puisque tout élément x de E s'écrit comme une combinaison linéaire de cette base: x= x 1 e 1 +K+ x n e n on a donc: f(x)= x 1 f (e 1 ) +K+ x n f (e n ). 5

7 Définition (noyau d'une application linéaire). Le noyau de f, noté Ker f, est l ensemble des éléments x E dont l image est le vecteur zéro de F : Ker f = { x f(x) = 0}. Ker f est un espace vectoriel qui est un sous-espace vectoriel de E. Si on désire résoudre des équations linéaires basées sur des applications linéaires, on est conduit à chercher un vecteur x tel que f(x) = b. Pour que cette équation ait une solution, il faut que b soit un élément de Im f (b Im f) d après la définition de Im f. Une telle équation peut avoir aucune solution, une solution ou une infinité de solutions. Le noyau Ker f est l ensemble des solutions homogènes de l équation f(x) = 0; cet ensemble peut contenir un seul élément (l élément neutre) ou un ensemble d éléments comprenant l élément neutre. Exemple 1. L'application f(x)=ax sur la droite réelle: L image de f est l ensemble R. C est un espace vectoriel de dimension 1. Le noyau de f est l ensemble des x tel que f(x) = 0. La seule valeur possible est x égale à zéro. C est un espace vectoriel de dimension zéro. Exemple 2. Une application dans le plan R 2 : En prenant E = F = R 2 x 1 % & x, l application f( ') = 1 + x 2 x est une application linéaire. 2 & % 0 Sous forme matricielle: ( x f 1 % + * '- = 1 1 % ' x % 1 '. ) x 2 &, 0 0& x 2 & L image de f: L image de f est l ensemble des vecteurs de R 2 dont la deuxième composante est nulle; on peut noter que tous les éléments de l image de f ont la forme suivante : & x 1 + x 2 & x = 3 & 1 % 0 = x 3 % 0. % 0 On sait que l image de f est un espace vectoriel et donc qu il a une base. La famille & 1 génératrice de l image de f comprend un seul vecteur, disons par exemple ; ce vecteur % 0 forme une base puisqu'il est libre. 6

8 & 2 Une autre base de l image de f serait ( ); cette base ne contient qu un seul élément. % 0 Comme la base ne contient qu un seul élément, l image de f est un espace vectoriel de dimension 1. Le noyau de f: & x1 Le noyau de f est l ensemble des vecteurs de R 2 & x1 & 0 tels que f( % x ) = 2 % x, c est-àdire tels que x 1 + x 2 = 0. Dans le plan, cet ensemble est une droite de pente 1 et passant 2 % 0 & 3 & 0 par l origine. Le vecteur w 1 = est un élément du noyau car f(w 1 ) = %' 3 ; de manière % 0 & x1 générale tout vecteur de la forme w 2 = est un élément du noyau; le vecteur w 2 peut %' x 1 & 1 & 1 s écrire w 2 = x 1. Le noyau de l application f est engendré par le vecteur ; comme le noyau est un espace vectoriel, on peut rechercher une base du noyau ; la & 1 famille génératrice comprend un seul vecteur, par exemple ; il s ensuit que la base & 1 est formée d un seul vecteur, par exemple. Une autre base du noyau de f serait &' 2.5 ( ). Comme chaque base ne contient qu un seul élément, le noyau de f est un % 2.5 espace vectoriel de dimension % On remarque dans l'exemple précédent que les colonnes de la matrice ' forment un 0 0& ensemble générateur pour l'image de cette fonction f. Ceci est vrai en général, puisque les colonnes sont les images d'une base: Soit f une application linéaire : f(x)=ax. Alors les colonnes de A forment un ensemble générateur pour Im f. 2.5 Dimension de l image et du noyau; nombre de solutions. Définition : Le rang d une application linéaire est la dimension de Im f. Comme Im f est un sous-espace vectoriel de F, on a dim (Im f) dim ( F ). Dans la suite du cours, on se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. 7

9 Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie et si f : E F est une application linéaire : dim ( E ) = dim (Im f) + dim (Ker f). En particulier, supposons que E = F = R n. Le théorème précédent indique que si le noyau de f ne contient que l élément nul (dim Ker f = 0), l image de f est égale à R n (dim (Im f) = n). Dans ce cas, tous les vecteurs de R n appartiennent à Im f et toutes les équations f(x) = b ont une solution et une seule. On dira aussi que f est une application régulière qui définit une application bijective sur R n. On peut alors écrire que x = f 1 (b) où f 1 est appelé l application inverse de f. Dans le cas contraire où le noyau de f contient des éléments autres que l élément nul (dim Ker f > 0), l image de f est un sous-ensemble de R n (dim (Im f) < n). Dans ce cas, il y a des vecteurs de R n qui ne sont pas des éléments de Im f et l équation f(x) = b n a pas de solution si b est un élément (de R n ) qui n appartient pas à Im f. Dans ce cas, f est une application singulière et n a pas d application inverse. Exemple. Application de R 2 dans lui-même: En prenant E = F = R 2 & x1 & x, l application f ( ) = 1 + x 2 % x est une application linéaire; 2 % 0 on a vérifié précédemment que Im f est l axe des X et Ker f est une droite de pente 1 passant par l origine. On a montré que dim (Im f) = 1 et dim (Ker f) = 1 et comme dim ( R 2 ) est égal à 2, on vérifie bien : dim ( R 2 ) = dim (Im f) + dim (Ker f) 2 = On remarque aussi que l application f est une application singulière qui n a pas d inverse. & 4 & 3 & 5 & 3 & 3 On a f ( ) = et on a f ( % 0 ) = %' 2 ; on voit donc que l équation f(x) = % 0 a % 0 & 4 & 5 plusieurs solutions puisque et sont deux solutions possibles. De même, %' 2 comme le noyau de f a pour dimension 1, cela signifie que l équation f(x) = 0 a plus d une solution car tous les éléments du noyau sont solutions de cette équation f(x) = 0. Il s ensuit que cette équation a une infinité de solutions. 8

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Axiomatique de N, construction de Z

Axiomatique de N, construction de Z Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1 [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

1 Complément sur la projection du nuage des individus

1 Complément sur la projection du nuage des individus TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur

Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Les équations différentielles

Les équations différentielles Les équations différentielles Equations différentielles du premier ordre avec second membre Ce cours porte exclusivement sur la résolution des équations différentielles du premier ordre avec second membre

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β

Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification

Plus en détail

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction

Bien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques

Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau

Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil

Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail