Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

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1 Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base incomplète Propriétés de la dimension d un espace vectoriel Dimensions usuelles Si E est un K espace vectoriel non réduit au vecteur nul, toute famille libre de E peut être complétée en une base de E. Soit E un espace vectoriel fini de dimension n. Alors : Toute famille libre de E a au plus n vecteur. Toute famille génératrice de E a au plus n vecteurs. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies. Si F est un sous ev de E, alors Si F et G sont des sous ev de E, alors : Si, alors Applications linéaires Définition (f est linéaire de l ev E dans l ev F) si : Ensembles caractéristiques Théorème utile Image d une famille génératrice : applications linéaires de E dans F : endomorphismes de E (application linéaires de E dans E) : automorphismes de E (applications linéaires bijectives de E dans E) : formes linéaires (applications linéaires de E dans K) ssi Soit. Si G engendre e, alors engendre. L image d une famille génératrice de E est une famille génératrice de F ssi f est surjective. Page 1

2 Image d une famille libre Image d une base libre dans E A libre dans E est injective ssi pour toute partie libre L de E, est une partie libre de F. L image d une base de E est une base de F ssi f est bijective. Théorème du rang Si E est de dimension finie, alors, on a : Théorème fondamental Hyperplan Formes linéaires et hyperplans Base duale de E Si E et F sont de même dimension finie et, alors : f bijective ssi f injective ssi f surjective Sous espace vectoriel de dimension Si est une forme linéaire sur E non nulle, alors est un hyperplan de E. Soit une base de E. Les formes linéaires coordonnées définies par constituent une base de E* : la base duale de e. Applications linéaires particulières Homothétie L homothétie de rapport est l application : Projection Soit où et. La projection sur F parallèlement à G est définie par :. C est une application linéaire. Symétrie La symétrie par rapport à F, parallèlement à G est définie par : (linéaire). Lien projection et symétrie Projecteur On appelle projecteur de E tout endomorphisme p de E tel que Supplémentarité Lorsque p est un projecteur, Matrices Formule du binôme de Newton Si A et B sont deux matrices carrées qui commutent, alors : Eléments inversibles de Groupe Propriété de Page 2

3 l inverse est la matrice de Propriétés de la transposition Matrices Une matrice carrée d ordre n A est symétrique si symétriques Matrices Une matrice carrée d ordre n A est antisymétrique si antisymétriques Matrice semblables Soient, B et B deux bases de E et. Alors les matrices A et A sont semblables si Rang et transposition Propriétés de la trace Trace d un projecteur Une matrice et sa transposée ont le même rang. La trace d un projecteur est égale à son rang. Déterminant Déterminant et transposition Propriétés du déterminant Développement selon la ième ligne Le déterminant d une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Si, alors Si A est triangulaire, alors son déterminant vaut le produit de ses coefficients diagonaux. On note le déterminant de la matrice A privée de sa ième ligne et de sa jième colonne. Alors : Matrice carrée inversible Soit A une matrice carrée d ordre n. Alors A est inversible ssi. Réduction des endomorphismes Sous espace propre associé à λ Page 3

4 Caractérisation Polynôme caractéristique Diagonalisation Puissance de matrice Trigonalisation Eléments propres est valeur propre de f ssi Le polynôme est le polynôme caractéristique de A. Les zéros de A sont les valeurs propres de A. est diagonalisable ssi E est somme directe de ses sous espaces propres ssi E admet une base de vecteurs propres ssi le polynôme caractéristique de f est scindé et pour toute valeur propre d ordre, on a : Si A est diagonalisable, alors il existe une matrice de passage telle que. Alors. Si, alors Si le polynôme caractéristique de f est scindé, alors f est trigonalisable. Les valeurs propres d une matrice diagonale ou triangulaire sont ses éléments diagonaux. Polynômes annulateurs Propriétés Soient et. On a alors : Donc des polynômes d un même endomorphisme commutent. Valeurs propres, si est une valeur propre de f, alors est une valeur propre de. Diagonalisabilité f est diagonalisable ssi il existe un polynôme scindé annulateur de f dont toutes les racines sont simples. Théorème de Cayley Hamilton Si E est de dimension finie, le polynôme caractéristique de f est un polynôme annulateur de f. Espaces préhilbertiens Forme quadratique Forme polaire d une forme quadratique est une forme quadratique sur E si il existe une forme bilinéaire symétrique f telle que. q est la forme quadratique associée à f. Une forme quadratique q sur E est associée à une seule forme bilinéaire symétrique f donnée par. f est alors la forme Page 4

5 Formes quadratiques et valeurs propres Produit scalaire Espace préhilbertien réel Produits scalaires usuels polaire de q. Soit A une matrice symétrique réelle et q la forme quadratique associée. Alors : q est positive ssi les valeurs propres de A sont q est définie positive ssi les valeurs propres de A sont Un produit scalaire sur E est une application de E dans K bilinéaire, symétrique et définie positive, notée. Couple où E est un R espace vectoriel et un produit scalaire. Dans, Dans, Dans, Norme euclidienne Norme définie sur un R ev muni d un produit scalaire et telle que Egalité de polarisation Identité du parallélogramme Inégalité de Cauchy Schwarz avec égalité ssi liée. Produit scalaire hermitien Si E est un C ev, un produit scalaire hermitien est une application qui vérifie la symétrie hermitienne : la linéarité à droite La semi linéarité à gauche, soit Espace préhilbertien complexe Produits scalaires hermitiens usuels Norme hermitienne qui est définie positive. Couple tel que E soit un C espace vectoriel et un produit scalaire hermitien. Dans : Dans : Norme définie sur un C ev muni d un produit scalaire hermitien et telle que Inégalité triangulaire avec égalité ssi liée et Page 5

6 Orthogonalité Famille orthogonale Famille orthonormale Propriété Théorème de Pythagore Une famille de vecteur est orthogonale ssi ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux (ie. leur produit scalaire est nul). Une famille de vecteur est orthonormale si elle est orthogonale et si ses vecteurs sont tous unitaires. Une famille orthonormale de vecteurs non nuls est libre. Si est une famille orthogonale finie, alors on a : Orthogonal d un sous espace vectoriel Propriétés de l orthogonalité Propriétés des supplémentaires orthogonaux Projecteur orthogonal Procédé d orthogonalisation de GramSchmidt Soit F un sous espace vectoriel d une espace préhilbertien E. Alors l orthogonal de F est le sous espace vectoriel défini par Soient F et G deux sous ev d une espace préhilbertien E. et Attention :, et Si F et G sont supplémentaires orthogonaux dans E (ie. et ), alors :, donc est un projecteur orthogonal quand et Soit une famille de vecteurs libre de E. Il existe une famille libre orthogonale telle que. Elle se construit par récurrence en posant : puis où Supplémentaires Soit F un sous ev d un espace préhilbertien E de dimension en dimension finie finie n. Alors. Distance On appelle distance de au sous espace de dimension finie F le nombre : Inégalité de Bessel Si est une base orthonormale de F, on a : Page 6

7 Espaces vectoriels euclidiens Définition Espace préhilbertien réel de dimension finie notée n. Tout s écrit sous la forme où a est Hyperplan un vecteur de E. Donc est un hyperplan si soit. Définition Caractérisation des isométries Valeurs propres de orthogonal Endomorphismes orthogonaux (isométries vectorielles) Endomorphisme qui conserve le produit scalaire, ie. qui vérifie : est orthogonal ssi f conserve la norme, ie. ssi il existe une base orthonormale B telle que soit orthonormale ssi pour toute base orthonormale B, est orthonormale. Les uniques valeurs propres de orthogonal sont 1 et 1. Groupe orthogonal : Ensemble des automorphismes orthogonaux de E. : ensemble des matrices orthogonales d ordre n. Matrice orthogonale Orthogonalité des matrices Déterminant d une matrice orthogonale Groupe spécial orthogonal Nom donné à une matrice de passage d une base orthonormale B à une base orthonormale B. est orthogonale ssi ses vecteurs colonnes vérifient ssi ssi Si A est une matrice orthogonale, alors. (resp. ) : Sous groupe de (resp. ) formé des automorphismes (resp. matrices) orthogonaux de déterminant égal à 1. Endomorphismes symétriques Adjoint L adjoint de est l unique tel que Propriétés de l adjoint Soient et. On a alors : Page 7

8 Si B est une base orthonormale de E, alors ssi Noyaux et images Autoadjoint est autoadjoint si Ensemble des : endomorphismes symétriques ( = autoadjoints) autoadjoints Propriétés des éléments de Si A est la matrice de f dans une base orthonormale B, on a p projecteur orthogonal ssi et s symétrie orthogonale ssi Page 8

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