Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

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1 Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme et égalités vectorielles Exercice 3 : coordonnées d un vecteur par lecture graphique Exercice 4 : coordonnées de vecteurs par le calcul Exercice 5 : somme de vecteurs et calcul de coordonnées d un vecteur Exercice 6 : relation de Chasles et vecteurs opposés Exercice 7 : multiplication d un vecteur par un réel Exercice 8 : milieu de segment et écritures vectorielles Exercice 9 : vecteurs colinéaires / colinéarité Exercice 10 : vecteurs colinéaires et points alignés Exercice 11 : vecteurs colinéaires et droites parallèles 1

2 Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile Soit un rectangle de centre. 1- Représenter les transformés respectifs des points, et par la translation de vecteur. 2- Représenter les transformés respectifs des points, et par la translation de vecteur. 3- Représenter les transformés respectifs des points, et par la translation de vecteur. Correction de l exercice 1 Rappel : Translation de vecteur Soient deux points et du plan. La translation qui transforme en associe à tout point du plan l unique point image du plan tel que les segments et ont le même milieu. La transformation qui transforme en est appelée la translation de vecteur. Un vecteur est caractérisé par : sa direction : il s agit de la droite son sens : il s agit de l orientation de vers (matérialisée par la flèche orientée vers le point ) sa norme : il s agit de la distance, c est-à-dire de la longueur du segment Remarque : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme. Soit un rectangle de centre. 1- Représentons les transformés respectifs des points, et par la translation de vecteur. La translation de vecteur transforme le point en. On dit que le point est l image du point par la translation de vecteur. Le point est transformé en par la translation de vecteur. En effet, le vecteur a même direction, même sens et même norme que le vecteur. Autrement dit, la translation de vecteur et la translation de vecteur sont la même transformation. 2

3 Point méthode : Pour placer le point, image du point par la translation de vecteur, on construit l unique représentant du vecteur (même direction, même sens et même norme que le vecteur ) ayant pour origine le point, de sorte que (c est-à-dire de sorte que les vecteurs et soient égaux). Le point est transformé en par la translation de vecteur. En effet, le vecteur a même direction, même sens et même norme que le vecteur. Autrement dit, la translation de vecteur et la translation de vecteur sont la même transformation. On peut noter :. 2- Représentons les transformés respectifs des points, et par la translation de vecteur. La translation de vecteur transforme le point en. Le point est transformé en par la translation de vecteur. En effet, le vecteur a même direction, même sens et même norme que le vecteur. Autrement dit, la translation de vecteur et la translation de vecteur sont la même transformation. 3

4 Le point est transformé en par la translation de vecteur. En effet, le vecteur a même direction, même sens et même norme que le vecteur. Autrement dit, la translation de vecteur et la translation de vecteur sont la même transformation. 3- Représentons les transformés respectifs des points, et par la translation de vecteur. Le point est transformé en par la translation de vecteur. En effet, le vecteur a même direction, même sens et même norme que le vecteur. Autrement dit, la translation de vecteur et la translation de vecteur sont la même transformation. Le point est transformé en par la translation de vecteur. En effet, le vecteur a même direction, même sens et même norme que le vecteur. Autrement dit, la translation de vecteur et la translation de vecteur sont la même transformation. La translation de vecteur transforme le point en. 4

5 Exercice 2 (4 questions) Niveau : moyen Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse : 1- est un parallélogramme donc. 2- Une translation transforme en et en donc et ont même milieu. 3- et sont deux parallélogrammes donc est un parallélogramme. 4- est un parallélogramme donc est l image de par la translation de vecteur. Correction de l exercice 2 1- Soit un parallélogramme. Il en résulte les égalités vectorielles suivantes : L affirmation proposée est donc fausse. 2- Une translation transforme en et en. Par conséquent, le quadrilatère parallélogramme. est un Or, les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu donc et ont même milieu. L affirmation proposée est donc vraie. 3- et sont deux parallélogrammes. 5

6 D une part, est un parallélogramme donc,, et. D autre part, est un parallélogramme donc,, et. Ainsi, et, c est-à-dire. Donc est un parallélogramme. L affirmation proposée est donc fausse. 4- Soit un parallélogramme. Par conséquent, le point est l image du point par la translation de vecteur. L affirmation proposée est donc vraie. 6

7 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Dans le repère ci-contre, lire les coordonnées des vecteurs suivants : Correction de l exercice 3 Rappel : Ecriture d un vecteur dans un repère Dans un repère, tout vecteur de coordonnées ( ) se décompose de façon unique sous la forme : Remarque : Dans cet exercice, est un repère orthogonal mais pas orthonormal. En effet, les axes et du repère sont orthogonaux, mais les unités d axes ne sont pas égales puisque la norme du vecteur est le double de celle de. Dans le repère, on a : d où ( ) d où ( ) d où ( ) d où ( ) d où ( ) d où ( ) d où ( ) d où ( ) 7

8 Remarque : Ci-dessous figure la représentation du vecteur, accompagnée d une explication permettant de mieux comprendre l écriture vectorielle de dans le repère. Pour «aller» de à, on effectue : d une part un déplacement horizontal suivant un axe parallèle à l axe vert des abscisses (direction), dans le sens du vecteur, c est-à-dire de la gauche vers la droite (sens), en parcourant une distance de 3 carreaux, c est-à-dire une distance de 3 fois la norme du vecteur unitaire (norme) ; d autre part un déplacement vertical suivant un axe parallèle à l axe rouge des ordonnées (direction), dans le sens du vecteur, c est-à-dire du bas vers le haut (sens), en parcourant une distance de 2 carreaux, c est-à-dire une distance d 1 fois la norme du vecteur unitaire (norme). 8

9 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Dans un repère, on donne les points suivants : Calculer les coordonnées des vecteurs suivants : Correction de l exercice 4 Rappel : Coordonnées d un vecteur dans un repère Soient et deux points dans un repère. Les coordonnées du vecteur sont : ( ) Dans un repère, on donne les points suivants : Le vecteur a pour coordonnées : ( ) ( ) ( ) Le vecteur a pour coordonnées : ( ) ( ) ( ) ( ) Le vecteur a pour coordonnées : ( ) ( ) ( ) ( ) Le vecteur a pour coordonnées : ( ) ( ) ( ) 9

10 Remarque : En considérant que les points,, et sont placés dans un repère : ( ) ( ) ( ) ( ) 10

11 Exercice 5 (2 questions) Niveau : facile Dans un repère du plan, on donne les points : Placer le point tel que et donner les coordonnées du vecteur. Correction de l exercice 5 Dans le repère orthonormé ci-contre, on a commencé par placer les points suivants : Plaçons désormais le point tel que. 1 ère étape : On représente le vecteur d origine le point. On choisit le point comme origine puisqu on cherche à placer le point tel que, c est-à-dire à placer le point image de par la translation de vecteur. 11

12 2 ème étape : On construit le représentant du vecteur d origine le point. 3 ème étape : On construit le représentant du vecteur d origine le point (point extrémité du vecteur ). Ce vecteur a par conséquent même direction, même sens et même norme que le vecteur et a pour origine. On vient par conséquent de représenter finalement le vecteur. 4 ème étape : On représente désormais (en noir) le représentant du vecteur d origine. Le point extrémité est le point puisque. Déterminons dès lors les coordonnées du vecteur. Comme, le vecteur a pour coordonnées : ( ) 12

13 Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes : Correction de l exercice 6 Rappel : Relation de Chasles Soient et deux points. Alors, quel que soit le point, Complétons les égalités proposées en faisant appel à la relation de Chasles. Rappel : Vecteurs opposés est le vecteur opposé au vecteur et on note. Ainsi, 13

14 Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen Soient et deux points distincts du plan. Placer les points,, et tels que : Correction de l exercice 7 Soient et deux points distincts. Représentons le vecteur. L égalité vectorielle indique que les vecteurs et ont même direction et même sens et que la norme de est 4 fois plus grande que la norme de. L égalité vectorielle équivaut, c est-à-dire à. Autrement dit, les vecteurs et ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de est 3 fois plus grande que la norme de. L égalité vectorielle équivaut, c est-à-dire à. Autrement dit, les vecteurs et ont même direction mais sont de sens contraires et la norme de est fois plus grande que la norme de. ( ) Les vecteurs et ont même direction et même sens et la norme de est fois plus grande que celle de. 14

15 Exercice 8 (1 question) Niveau : facile Soit le milieu du segment. Déterminer la valeur des réels,, et des écritures vectorielles suivantes : Correction de l exercice 8 Soit le milieu du segment. Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et même sens (de vers ). En outre, comme est le milieu du segment,. Ainsi : Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et même sens (de vers ). En outre, comme est le milieu du segment,. Ainsi : Les vecteurs et ont même direction (la droite ) et sont de sens contraires. En outre, comme est le milieu du segment,. Ainsi : D après ce qui précède, donc l égalité vectorielle équivaut à, c est-à-dire :. En factorisant dans le membre de gauche par le vecteur, on obtient :. Autrement dit, comme,. D où. 15

16 Exercice 9 (2 questions) Niveau : facile Dans chaque cas, justifier si les vecteurs et sont colinéaires. 1) ( ) et ( ) 2) ( ) et ( ) 3) ( ) et ( ) Correction de l exercice 9 Rappel : Vecteurs colinéaires Définition : Dire que deux vecteurs et non nuls sont colinéaires signifie qu ils ont même direction. Théorème : Deux vecteurs et non nuls sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel non nul tel que. Théorème : Deux vecteurs ( ) et ( ) non nuls sont colinéaires si, et seulement si,. L expression est le déterminant des vecteurs et et on note. 1) 1 ère méthode : calcul du déterminant Le déterminant des vecteurs et est nul donc les vecteurs sont colinéaires. 16

17 2 ème méthode : recherche d un réel non nul tel que. Supposons ( ) et ( ) dans un repère. Alors : ( ) donc les vecteurs et sont colinéaires. 2) Le déterminant des vecteurs et n est pas nul donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. 3) ( ) Le déterminant des vecteurs et est nul donc les vecteurs sont colinéaires. 17

18 Exercice 10 (2 questions) Niveau : moyen Soit un triangle et soient les points et définis respectivement par et. 1- Démontrer que les points, et sont alignés. 2- En déduire une construction du point. Correction de l exercice 10 Rappel : Alignement de points et colinéarité Trois points, et sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Remarque : On peut aussi montrer que les vecteurs et sont colinéaires ou que les vecteurs et sont colinéaires. 1- Pour montrer que les points, et sont alignés, montrons que les vecteurs et sont colinéaires. D après l énoncé,. Or, ( ) ( ) donc les vecteurs et sont colinéaires. Par conséquent, les points, et sont alignés. 2- De l égalité vectorielle, on peut déduire que et que. Ainsi, pour tracer le point, il suffit de tracer un arc de cercle de centre et de rayon sur la demi-droite. est alors le point d intersection de la demi-droite et de l arc de cercle. 18

19 Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen Soient les points,, et dans un repère. Les droites et sont-elles parallèles? Correction de l exercice 11 Rappel : Parallélisme de droites et colinéarité Deux droites et sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont colinéaires. Remarque : Les vecteurs et sont des vecteurs directeurs respectifs des droites et. Soient les points,, et dans un repère. Les droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires. Calculons dès lors les coordonnées des vecteurs et. a pour coordonnées : ( ) ( ) ( ) ( ) a pour coordonnées : ( ) ( ) ( ) Calculons désormais le déterminant des vecteurs et. ( ) ( ) donc les vecteurs et sont colinéaires. Il en résulte que les droites et sont parallèles. Remarque : On pouvait également montrer la colinéarité en observant que. En effet, 19

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