RETROACTION NEGATIVE DE L AMPLIFICATEUR

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1 RETROCTION NEGTIVE DE L MPLIFICTEUR Philipp ROUX 24

2 RETROCTION NEGTIVE DE L MPLIFICTEUR. PRINCIPE DE L RETROCTION NEGTIVE Pour s placr dans l cas général on considèrra un ampliicatur ayant un onction d transrt, rapport d l inormation d sorti (x s ) sur l inormation d sorti (x s ) (igur ). x xs Figur Sachant qu ls inormations x t x s rprésntnt la tnsion ou l courant, l ampliicatur put êtr classé dans un ds quatr catégoris suivants : Entré x Sorti x s mpliicatur d typ : Exprssion d Tnsion Tnsion Tnsion v Tnsion Courant Transconductanc G m Courant Tnsion Transrésistanc R m Courant Courant Courant i Tablau I L princip d la rétro-action négativ st indiqué n igur 2. x = x' x r x + _ Σ xr x xs x r =.x s β Figur 2 : mpliicatur rétro-actionné L inormation d sorti x s d l ampliicatur st nvoyé dans un résau passi β, d manièr à crér un inormation x r d «rétroaction» tll qu : x r = β.x s (β st l rapport d transrt ou l taux d rétroaction). Un élémnt diérntil Σ placé à l ntré réalis la onction : x = x - x r. On obtint alors un nouvl ampliicatur dont l inormation x constitu l ntré t x s la sorti. Slon la natur d l inormation d ntré t d sorti, on put distingur quatr typs d rétro-action négativ : Sorti x s Entré x Natur d Typ d rétro-action : Tnsion Tnsion Nombr Tnsion -> tnsion Courant Tnsion Résistanc Courant -> tnsion Tnsion Courant Transconductanc Tnsion -> courant Courant Courant Nombr Courant -> courant Tablau II Ctt tchniqu amélior (au détrimnt d la onction d transrt dont la valur diminu) ls caractéristiqus générals d l ampliicatur.

3 2. PROPRIETES GENERLES DE L MPLIFICTEUR RETRO-CTIONNE a. Fonction d transrt du montag complt Slon la igur 2, on écrit : xs.x x x' x r xr.xs On n déduit l gain du montag complt : ' x s x'. () Dans la rlation (), on déinit : β (β.) (+β.) Taux d rétro-action Gain d boucl Factur d rétro-action Lorsqu l gain d boucl (β) st très supériur à, l gain st ixé par l taux d rétroaction β : ' x s x' b. Snsibilité aux variations rlativs du gain L ampliicatur d bas st n général snsibl aux variations d la tmpératur, aux paramètrs d ss composants, aux variations ds tnsions d alimntations tc. On déini alors sa dériv rlativ : d. Calculons la dériv rlativ d l ampliicatur rétro-actionné : ' ln(') ln() ln(.) d' ' d' = d ' +. (2) d (3). :.d. La dériv rlativ d l ampliicatur rétro-actionné st divisé par l actur d rétroaction. Supposons d = %, pour un montag tl qu (β) =, on obtint : d =,%. c. Réduction d la distorsion d linéarité Supposons qu l ampliicatur d bas présnt un distorsion d linéarité comm indiqué n igur 3a. L inormation (tnsion ou courant) d sorti n st pas proportionnll à l inormation d ntré. Cpndant, il st possibl d linéarisr l graph x s = (x ) par morcaux t déinir ainsi ds gains, 2, 3, t 4. ` Ls gains corrspondants d l ampliicatur rétro-actionné sont conormémnt à la rlation () : ' i i.. i 2

4 xs xs x x Figur 3a Figur 3b Dans la msur où la condition (+β i ) >> st satisait, on n déduit : 'i. La onction d transrt : x s = (x ) d l ampliicatur st alors un droit (igur 3b). La distorsion d linéarité d st paraitmnt réduit. d. Réduction d la distorsion harmoniqu Supposons qu l ampliicatur génèr d la distorsion harmoniqu. Son ntré x st un sinusoïd parait d amplitud a, à la réqunc. Sa sorti x s transmt la réqunc avc un amplitud (.a ) mais génèr aussi ds harmoniqus indésirabls : 2, 3, d amplitud rspctiv : a 2, a 3... (igur 4). a a a 2 a 3 x - + D 2 3 xs Figur 4 : Distorsions harmoniqus Pour rprésntr c phénomèn, on plac à la sorti d l ampliicatur supposé parait, un génératur D signatur d la distorsion harmoniqu. Dans cs conditions : x s =.x +D. x _ Σ D x xr β xs Figur 5 ppliquons la tchniqu d rétro-action au montag (igur 5) t calculons l xprssion d la sorti x s. x s =.x +D x = x -.x s On n déduit : D x s. x. La distorsion harmoniqu D, divisé par l actur d rétro-action, st ortmnt diminué. 3

5 3. EXEMPLE DE RETROCTION TENSION->TENSION L ampliicatur opérationnl monté n non-invrsur (igur6) st soumis à un rétroaction tnsion courant. On notra la tnsion d rétro-action v r aux borns d R t l ntré d l.o.p. qui réalis la onction diérnc : = v v r. R vr R2 v vs a. Gain du montag Figur 6 Exprimons l gain n tnsion du montag complt : R v s =.v v r R R v s.v s 2 L taux d rétro-action β st bin un nombr conormémnt au tablau II. L gain n v tnsion, issu ds rlations précédnts st conorm à la rlation () : ' s v. Pour un gain d boucl β. >>, on trouv l gain habitul du montag : v s R R 2 (4) v R b. Résistanc d ntré du montag Nous allons montrr qu la résistanc d ntré du montag complt st amélioré. À ct t, on tint compt d la résistanc diérntill d ntré R d d l.o.p. t d son gain n tnsion (igur 7a). On supposra par contr, qu sa résistanc d sorti R s st négligabl dvant la valur d R 2. N v R ig - Rd + R2 + Rs. vs v N ig ig R//R2 - Rd + R + ( ) R + R 2 Figur 7a Figur 7b Pour acilitr l calcul d la résistanc d ntré du montag, on transorm par Thévnin l circuit composé d R,R 2 t l génératur d sorti :.. On obtint alors : v R d (R //R 2 ) i g R R R 2 avc : =R d i g 4

6 R v i g R d ( ) (5) La résistanc d ntré du montag complt st l produit d la résistanc d ntré naturll d l.o.p. par l actur d rétro-action. c. Résistanc d sorti Nous allons montrr qu la résistanc d sorti R s du montag complt st amélioré. On utilis la méthod d l ohmmètr pour détrminr R s (igur 8). R - Rd + R2 + Rs. i + u Figur 8 On suppos qu la rlation suivant st satisait : R <<R d. L équation au nœud d sorti donn : i u u R avc : u R R 2 R s R R 2 R i R R 2 u R' s R R2 R s soit : R' s (R // R 2 )// R s R R R 2 R s (6) La résistanc d sorti du montag complt st l quotint d la résistanc d sorti naturll d l.o.p. par l actur d rétro-action. Ell st donc très inériur à R s. d. Conclusion La rétro-action tnsion-tnsion amélior (au détrimnt du gain n tnsion) c montag ampliicatur d tnsion. En t, sa résistanc d ntré st plus élvé qu cll d l ampliicatur d départ t sa résistanc d sorti st plus aibl. On approch donc un ampliicatur d tnsion parait déini par : R inini t R s null. 5

7 4. EXEMPLE DE RETROCTION COURNT-> TENSION L montag émttur commun st un xmpl simpl d la rétro-action courant -> tnsion. La igur 8a donn l schéma aux variations du montag d départ, sans résistanc dans l émttur. On rappll qu l transistor st un ampliicatur d transconductanc g m avc g m rb qui délivr un courant d sorti : i c = g m.v b (on néglig la résistanc intrn r c ). Ls propriétés d c montag sont ls suivants : Gain n tnsion Résistanc d ntré v s g v m.r C R = r b v VCC R C VCC R C B ic C B ic C v vb E vs v vb R E E vr vs Figur 8a : montag E.C Figur 8b : montag rétro-actionné La igur 8b rprésnt aux variations l schéma du montag rétro-actionné par un résistanc R E dans l émttur. En t, R E travrsé par l courant d sorti i c, génèr un tnsion d réaction v r = R E.i c. La tnsion v b = v v r jou l rôl d l inormation x du schéma général d la igur (). Slon l équation () la transconductanc du montag rétro-actionné s xprim : g' m On n déduit l xprssion du courant ic : i c g' m.v, d où l gain n tnsion : g m g m.r E v s = g.r m C (7) v + g m.r E Résultat qu on put obtnir avc la méthod habitull. La résistanc d ntré du montag st amélioré, n t : R ' r b ( g m.r E ) La résistanc d ntré d l ampliicatur rétro-actionné st l produit d la résistant d ntré du montag d bas (r b ) par l actur d rétroaction : (+g m.r E ). 6

8 5. EXEMPLE DE RETROCTION TENSION -> COURNT L ampliicatur opérationnl monté n invrsur (igur 9a) ait parti d c typ d rétroaction. Cpndant, il aut considérr qu l.o.p. s comport comm un ampliicatur d transrésistanc (igur 9b). ir v R - + R2 + Rs. vs i g = v R i R - + R2 + Rs. vs Figur 9a. = [.R ].i Figur 9b En t, n transormant par Norton, l nsmbl (v, R ), on obtint l schéma d la igur 9b. Sachant qu : = -R.i, on put écrir si R s st négligabl : v s = - [R ] i (8). L trm [R. ] rprésnt la transrésistanc R m d l ampliicatur. L courant i st la diérnc ntr i g t i r l courant d rétroaction. On n déduit qu l actur d rétroaction β st un conductanc égal à /R 2. Rchrchons l xprssion du rapport v s /i g. Ecrivons l équation au nœud d ntré : i g i i r avc : i v s R m t i r v s Sachant qu : R.i R v s R m, on obtint inalmnt : En rmarquant qu : R m >> R, on obtint : v s i g R m R2 (R R m ) R 2 v s i g R m R2 R m (9) Ctt rlation st conorm à la rlation (). L taux d rétro-action st bin un conductanc : t pour un trans-résistanc R m important t compt-tnu d l xprssion d i g, on R 2 obtint l xprssion habitull du gain n tnsion d c montag : v s v R 2 R () 7

9 6. EXEMPLE DE RETROCTION COURNT -> COURNT Pour illustrr c typ d rétroaction, on considèr n igur (a), un transistor NPN T. C transistor st un ampliicatur d courant tl qu : I C = i.i B (on utilis ici i pour n pas conondr avc β, l taux d rétro-action). VCC VCC R C R C I C = i I B I C = i I B I B T I R I B T I B IG I C2 T 2 Figur a Figur b En igur (b), on rconnaît l montag miroir d courant simpl, composé du transistor T t d un transistor T 2 qui doit êtr idntiqu à T t monté n diod. L montag st xcité par l génératur d courant I G. On a indiqué sur la igur, l courant d réaction I R t l ntré d T rçoit un courant : I B = I G -I R conormémnt au princip d la rétroaction. Calculons dans cs conditions l gain n courant du montag complt. L taux d rétro-action β s xprim : I R I C i I B2 i.i B () La tnsion bas-émttur ds dux transistors étant idntiqu : I B =I B2. L gain n courant i du montag rétro-actionné s xprim : ' I C i i I G i ' I C I G. i i i. i i ' I soit : C i i (2) I G 2 i On rtrouv la rlation habitull du miroir d courant. Sachant qu l gain n courant i du transistor st élvé, on put écrir : i ' I C I G (3) C montag assur bin la rcopi du courant I G. 8

10 7. INFLUENCE DE L RETRO-CTION SUR L REPONSE FREQUENTIELLE Dans ls paragraphs précédnts, la onction d transrt d l ampliicatur d départ était supposé constant, on s plaçait alors aux réquncs moynns. Nous allons maintnant air intrvnir la répons réquntill complèt ( ) d l ampliicatur t rchrchr cll du montag rétro-actionné. a. mpliicatur ( ) pass-band du prmir ordr. La onction d transrt st tll qu : () v s v ( j )( ) (4) b j h Où b rprésnt la réqunc d coupur bass t h la réqunc d coupur haut à 3 db. La igur donn un xmpl avc : =, b = Hz t h = 4 Hz. 3 b h rg () 9 5 b h (Hz) Figur : Répons réquntill d () (Hz) L application d la rétro-action (igur 2) conduit à un ampliicatur ayant un onction d transrt : 9 v v r + _ Σ vr.v s v () β vs '( ) ( ).() Figur 2 On s propos d détrminr ls nouvlls réquncs d coupur bass b t haut h d (). Fréqunc d coupur bass b d l ampliicatur rétro-actionné (). ux basss-réquncs, la parti imaginair (j./ h ) d la rlation (4) très aibl st négligabl dvant. On utilis alors : () v s v ( j ) (5) b 9

11 L gain dvint : '( ) ( j b ) ( j b Soit : '( ) (6) (. ) ( j b ) Ctt rlation montr qu la réqunc d coupur bass b d l ampliicatur rétroactionné st baucoup plus aibl qu cll d l ampliicatur d départ : ) b ' b = (7) +. Fréqunc d coupur haut h d l ampliicatur rétro-actionné (). ux hauts réquncs, la parti imaginair (j. b /) d la rlation (4) très aibl st négligabl dvant. Dans cs conditions, on prnd : () v s v ( j ) (8) h Soit l gain d l ampliicatur rétro-actionné : '( ) ( j ) ( ) j h j h ( ) h Ctt rlation montr qu la réqunc d coupur haut h d l ampliicatur rétroactionné st baucoup plus élvé qu cll d l ampliicatur d départ : h ' = h (+. ) (9) La igur 3 qui compar ls moduls ds gains () t () montr qu aux réquncs moynns, l gain du montag st égal à /β. Cpndant, lorsqu l gain diminu, la band passant augmnt. En ait, l produit (gain aux réquncs moynns.band passant) st constant. 3 () β = /2 () β = /5 β = /2 b h (Hz)

12 Figur 3 : Comparaison ntr () t () pour trois valurs d β. b. mpliicatur opérationnl ( ) du duxièm ordr. On considèr un ampliicatur opérationnl ayant un gain du duxièm ordr tl qu : ( ) = (+ j c ) ( + j c2 ) La répons réquntill d () st donné n igur 4 pour : = 5, c = 5 Hz t c2 = 5 khz. (2) 5 () rg ( ()) 4 c c (Hz) (Hz) Figur 4 Exprimons la onction d transrt () d l ampliicatur rtro-actionné : '( ) ( ) () ( j ( j près dévloppmnt t mis n actur, on obtint : c )( j c )( c2 ) j c2 ) '( ) = ( ). + j 2 2 c c2 (+ ) + j c + c2 (+ ) + (2) Dans ctt xprssion : L prmir trm du 2 mmbr rprésnt, dans la msur où (β) >>, l gain aux réquncs moynns soit. L duxièm trm st l invrs d un polynôm du 2 dgré. Pour mttr n évidnc ls propriétés d la rlation (2), on va air un analogi avc l montag d la igur 5 qui utilis un circuit RLC séri suivi d un ampliicatur d tnsion d gain : vi L R C u /β vo Figur 5

13 . On pourra ainsi déinir la réqunc d résonanc t l coicint d qualité Q du montag rétro-actionné. Exprimons la onction d transrt du circuit : v v i j C j L j C (2) En aisant intrvnir la pulsation d résonanc : 2 = t l coicint d qualité : LC Q = L R =, on put écrir (2) slon : RC v = v i j 2 ( 2 )+ j 2 + Q La comparaison ntr ls rlations (2) t (22) prmt d déinir la réqunc d résonanc t l coicint d qualité d l ampliicatur rétro-actionné : = c c2 (+ ) (23) Q = c c2 (+ ) ( c + c2 ) = (22) c + c2 (24) Cs dux paramètrs sont liés t dépndnt du taux d rétroaction β appliqué au montag : Lorsqu Q < 2, la courb d répons réquntill du gain () n présntra 2 pas d pic local Par contr si Q > 2 2 soit : > 2 2 c + c2, on va assistr à un rmonté local 2.. c. c2 du gain n tnsion autour d la réqunc. La igur 6 obtnu pour cinq valurs d β (/5, /, /3, / t ) illustr c phénomèn néast. Pour β = /3, la rmonté du gain autour d MHz dvint signiicativ. Ell s accntu nsuit pour ds gains aux réquncs moynns inériurs. 3 ()) rg ( ()) (Hz) 2 (Hz) Figur 6 : Répons réquntill d l ampliicatur du 2 ordr rtro-actionné. 2

14 Il st intérssant d rprésntr l graph d Nyquist du gain d boucl (β. ()) donné n igur 7 t d zoomr sur l domain ds hauts réquncs dans l crcl d rayon unité Figur 7 : Graph d Nyquist (modul d β. () n échll log) En t, la présnc d un rbond dans la courb d répons réquntill s xpliqu simplmnt à l aid du graph d Nyquist du gain d boucl (β. ()) d la igur 8 où on a mis n évidnc l crcl dont la surac intériur st tll qu +β. () <. En hauts réquncs, lorsqu l graph du gain d boucl ntr à l intériur d ctt ( ) surac, on a la rlation : '( ) = + ( ) > ( ). L gain d l ampliicatur rétro actionné, au liu d diminur n réqunc, a tndanc à augmntr β. () = β= 2 33 β=/ 24 β=/3 27 β=/ 3 Figur 8 : Graph d Nyquist du modul d β. () (n échll linéair) pour ls hauts réquncs. 3

15 c. mpliicatur opérationnl ( ) du troisièm ordr La onction d transrt d l ampliicatur st tll qu : () (25) ( j ) ( j ) ( j ) c c2 c3 La igur 9 rprésnt la répons réquntill du modul d () t l graph d Nyquist pour : = 5, c = 5 Hz, c2 = 5 khz t c = MHz. 5 4 () c c2 c n Hz Figur 9 : Répons réquntill d () : modul t Nyquist. 3 Lorsqu l ampliicatur () st rétro actionné, l gain () sra tl qu : ( ) '( ) = (26) +.( ) La répons réquntill du modul d () st donné n igur 2. On assist, comm précédmmnt, à un rmonté néast du gain dans l domain ds hauts réquncs 4 /β () Hz Figur 2 : 4

16 Nous allons portr notr attntion sur la réqunc particulièr o d 225 khz où l modul du gain d l ampliicatur st égal à 47. Comm indiqué sur la igur 2, rprésntant l graph d Nyquist d () n hauts réquncs, à la réqunc o, l argumnt d () st égal à 8. = 225 khz () = 47 arg () = () Figur 2 : graph d Nyquist d () n hauts réquncs. Si l on appliqu à l ampliicatur (), un taux d rétro action b d (/47), à la réqunc o, l produit (b. ( o ) st alors égal à (compt tnu d la valur du déphasag). Slon l équation (26) l gain ( o ) doit tndr vrs l inini. En ait, on montr qu, dans cs conditions, l montag st instabl t s comport alors comm un oscillatur sinusoïdal à la réqunc o. On montr qu la stabilité d un ampliicatur rtro-actionné obéit au critèrs suivants : Si, n parcourant dans l sns ds réquncs croissants, l graph d Nyquist, l gain d boucl (β. ()) laiss l point (-+j.) à sa gauch, l montag st stabl. Lorsqu (β. ()) pass par l point «critiqu» (-+j.), l montag oscill sinusoïdalmnt à la réqunc corrspondant à c point. Ctt condition st xploité pour réalisr ds oscillaturs d c typ. Par contr, si (β. ()) ntour l point critiqu, l montag s comport comm un rlaxatur dont la sorti ourni un signal carré à un réqunc voisin d o t dont l amplitud st limité par ls tnsions d alimntations. 5

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