PROGRESSION 3 EME 0) LE THEOREME DE PYTHAGORE COMPETENCES DU SOCLE : FIGURES PLANES

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1 1 PROGRESSION 3 EME 0) LE THEOREME DE PYTHAGORE FIGURES PLANES Triangle rectangle : Théorème de PYTHAGORE. Caractériser le triangle rectangle par l égalité de PYTHAGORE. Calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle à partir de celle des deux autres. Démontrer qu un triangle est rectangle connaissant les longueurs des trois côtés. Démontrer qu un triangle n est pas rectangle en connaissant les longueurs des trois côtés. 1) TRIANGLES RECTANGLES: Déterminer si un triangle est rectangle ou non en utilisant la propriété de PYTHAGORE. Utiliser la relation de PYTHAGORE pour calculer la longueur d un côté d un triangle rectangle en fonction des longueurs des deux autres côtés. Déterminer si un triangle est rectangle ou non en utilisant la propriété de PYTHAGORE.

2 2 1) GEOMETRIE DANS L ESPACE 1/3 CONFIGURATION DANS L ESPACE Sphère, Boule Représenter la sphère et certains de ses grands cercles. 1) CONFIGURATIONS DANS L ESPACE: Représenter la sphère et ses grands cercles ; visualiser la nature de la section d une sphère par un plan.

3 3 2) NOMBRES ENTIERS ET RATIONELS 1/2 CALCUL NUMERIQUE Opération sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires. Simplifier une fraction pour la rendre irréductible. 1) NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS : Simplifier une fraction pour la rendre irréductible. Additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire. Résoudre un problème.

4 4 3) GEOMETRIE DANS L ESPACE 2/3 AIRES ET VOLUMES Calculs d aires et volumes Calculer l aire d une sphère de rayon donné. Calculer le volume d une boule de rayon donné. 1) AIRES: Calculer l aire d une sphère de rayon donné. 2) VOLUMES: Calculer le volume d une boule de rayon donné.

5 5 4) NOMBRES ENTIERS ET RATIONELS 2/2 CALCUL NUMERIQUE Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Connaître et utiliser des algorithmes permettant de calculer le PGCD de deux entiers (Algorithme des soustractions, algorithme d EUCLIDE). Fraction irréductible. Calculer le PGCD de deux entiers. Opération sur les nombres relatifs en écritures fractionnaires. Déterminer si deux entiers sont premiers entre eux. Simplifier une fraction pour la rendre irréductible. 1) NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS : Utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux nombres entiers. Trouver le PGCD de deux nombres entiers. Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. Simplifier une fraction pour la rendre irréductible. Additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres en écriture fractionnaire. Résoudre un problème.

6 6 5) NOTION DE FONCTION 1/2 NOTION DE FONCTION Image, antécédent, notations Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de donnée, ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. 1) NOTION DE FONCTION : Déterminer l image d un nombre par une fonction à partir d une courbe, d un tableau de données ou d une formule. Déterminer un antécédent par lecture dans un tableau de données ou sur une représentation graphique.

7 7 6) CONFIGURATION DE THALES FIGURES PLANES Configuration de THALES Agrandissement et réduction Connaître et utiliser la proportionnalité des longueurs pour les côtés des deux triangles déterminés par deux parallèles coupant deux droites sécantes. Connaître et utiliser un énoncé réciproque. Agrandir ou réduire une figure en utilisant la conservation des angles, la proportionnalité entre les longueurs de la figure initiale et celles de la figure à obtenir. AIRES ET VOLUMES Effet d une réduction ou d un agrandissement Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k 2 et le volume d un solide est multiplié par k 3. COMMENTAIRE : Un rappel des aires des surfaces et des volumes des solides étudiés dans les classes antérieures sera nécessaire. 1) CONFIGURATION DE THALES : Utiliser la relation de THALES pour calculer une longueur manquante. Déterminer si deux droites sont parallèles ou non en utilisant la relation de THALES. 2) AIRES : Utiliser l effet d un agrandissement ou d une réduction de rapport k sur les aires. 3) VOLUMES : Utiliser l effet d un agrandissement ou d une réduction de rapport k sur les volumes.

8 8 7) PUISSANCES ECRITURES LITTERALES Puissances Soit a, b des nombres entiers non nuls et m, n des entiers relatifs. 1) PUISSANCES : Connaître et utiliser l égalité : a! a! = a!!! Connaître et utiliser l égalité :!!!! a!!! Connaître et utiliser l égalité : (a! )! = a!! Connaître et utiliser l égalité : ab! = a! b! Connaître et utiliser l égalité :!!! =!!!! Utiliser les règles de calcul sur les puissances (exposants entiers relatifs).

9 9 8) CALCUL LITTERAL ECRITURES LITTERALES Factorisation Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles un facteur commun est apparent. Identités remarquables Soit a, b des nombres entiers non nuls Connaître et utiliser a + b a b = a 2 b 2 Connaître et utiliser a + b! = a 2 + 2ab + b 2 Connaître et utiliser a b! = a 2 2ab + b 2 Utiliser les identités remarquables dans les deux sens sur des exemples numériques ou littéraux simples. COMMENTAIRE : Le but de ce chapitre est de perfectionner les techniques de développement, de factorisation et de découvrir les identités remarquables. L automatisation est le seul objectif du chapitre. La mise en équation et la résolution d équation sera traitée plus tard dans l année. 1) ECRITURES LITTERALES : Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur commun est apparent. Reconnaître les identités remarquables. Développer des expressions algébriques en utilisant une identité remarquable (valeurs numériques ou littérales simples). Factoriser des expressions algébriques en utilisant une identité remarquable. (valeurs numériques ou littérales simples).

10 10 9) NOTION DE FONCTION 2/2 NOTION DE FONCTION Image, antécédent, notations Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de donnée, ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. 1) NOTION DE FONCTION : Utiliser le vocabulaire : fonction, image, antécédent, courbe représentative. Utiliser les notation f x et f: x f(x). Déterminer l image d un nombre par une fonction à partir d une courbe, d un tableau de données ou d une formule. Déterminer un antécédent par lecture dans un tableau de données ou sur une représentation graphique.

11 11 10) STATISTIQUES STATISTIQUE Caractéristiques de position Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau ou par représentation graphique : Déterminer une valeur médiane de cette série et en donner la signification. Déterminer des valeurs pour les premier et troisième quartiles et en donner une signification. Déterminer son étendue. Approche de caractéristiques de dispersion Exprimer et exploiter les résultats de mesures d une grandeur. 1) TRAITEMENT DE DONNEES : Déterminer une valeur médiane d une série statistique (liste, tableau, graphique) et en donner la signification. Déterminer des quartiles d une série statistique (liste, tableau, graphique). Déterminer l étendue d une série statistique (liste, tableau, graphique). Exprimer et exploiter les résultats de mesure d une grandeur (notion d incertitude, validité ).

12 12 11) EQUATION DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE EQUATIONS ET INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE Problèmes se ramenant au premier degré : équations produits. Mettre en équation un problème. Résoudre une équation mise sous la forme A x B x = 0 où A x et B x sont deux expressions du premier degré de la même variable x. 1) EQUATIONS ET INEQUATIONS: Résoudre une équation produit de deux expressions du premier degré de la même variable.

13 13 12) RACINES CARREES CALCULS ELEMENTAIRES SUR LES RADICAUX Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carre est a et utiliser les égalités a! = a, a! = a. Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x! = a, où a est un nombre positif. Produit et quotient de deux radicaux Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités : ab = a b,!! =!! avec b non nul. 1) RACINES CARREES : Savoir ce que signifie a ; utiliser les égalités a! = a et a! = a avec a > 0 sur des valeurs numériques. Résoudre l équation d inconnue x, x! = a avec a > 0 sur des exemples numériques. Transformer l écriture d une racine carrée sous la forme la mieux adaptée a une situation donnée. Multiplier et diviser des racines carrées sur des exemples numériques.

14 14 13) TRIGONOMETRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE FIGURES PLANES Triangle rectangle, relations trigonométriques Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs de deux cotes d un triangle rectangle. Déterminer à l aide de la calculatrice, des valeurs approchées du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donne. Déterminer à l aide de la calculatrice, des valeurs approchées de l angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente. 1) TRIANGLES RECTANGLES : Calculer un angle aigu d un triangle rectangle avec une formule trigonométrique. Calculer une longueur d un triangle rectangle avec une formule trigonométrique. Connaître et utiliser les touches cos, cos!!, sin, sin!!, tan, tan!! de la calculatrice pour déterminer une valeur approchée. Connaitre et utiliser les relations cos! A + sin! A = 1 et tan A =!"#! pour A la mesure d un angle aigu.!"#!

15 15 14) NOTION DE PROBABILITES NOTION DE PROBABILITE Comprendre et utiliser les notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers. 1) PROBABILITES : Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

16 16 15) PROPORTIONNALITE FONCTIONS LINEAIRES FONCTIONS LINEAIRES, FONCTIONS AFFINES Proportionnalité Fonctions linéaires Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Déterminer expression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image. Représenter graphiquement une fonction linéaire. Connaitre et utiliser la relation y = ax entre les coordonnees (x, y) d un point M qui est caracteristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x ax. Lire et interpréter graphiquement le coefficient directeur d une fonction linéaire représentée par une droite. 1) FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES : Etablir le lien entre appliquer un pourcentage et multiplier par le coefficient correspondant. Déterminer par le calcul l antécédent d un nombre donné dans une fonction linéaire. Déterminer une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre et de son image. Représenter graphiquement une fonction linéaire. Utiliser la relation entre les coordonnées d un point et son appartenance à la droite représentative d une fonction linéaire. Déterminer le coefficient directeur à partir de la représentation graphique d une fonction linéaire.

17 17 16) INEQUATION DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE EQUATIONS ET INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE Problèmes du premier degré : inéquation du premier degré à une inconnue [ ] Mettre en équation un problème. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques ; représenter ses solutions sur une droite graduée. 1) EQUATIONS ET INEQUATIONS: Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue. Représenter les solutions d une inéquation sur une droite graduée.

18 18 17) GEOMETRIE DANS L ESPACE 3/3 CONFIGURATION DANS L ESPACE Problèmes de sections planes de solides Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arête. Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. Connaître et utiliser les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle a la base. Sphère, centre, rayon Sections planes d une sphère. Connaître la nature de la section d une sphère par un plan. Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. Représenter la sphère et certains de ses grands cercles. 1) CONFIGURATIONS DANS L ESPACE: Visualiser la nature des sections du cube / du pavé droit par un plan parallèle à une face ou une arête. Visualiser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. Visualiser la nature des sections du cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base. Représenter la sphère et ses grands cercles ; visualiser la nature de la section d une sphère par un plan. Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.

19 19 18) FONCTIONS AFFINES FONCTIONS LINEAIRES, FONCTIONS AFFINES Fonctions affines Coefficient directeur et ordonnée à l origine d une droite représentant une fonction affine. Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. Déterminer expression algébrique d une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. Représenter graphiquement une fonction affine. Connaitre et utiliser la relation y = ax + b entre les coordonnees (x, y) d un point M qui est caracteristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction affine x ax + b. Lire et interpréter graphiquement le coefficient directeur d une fonction affine représentée par une droite. Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère. 1) FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES : Déterminer par le calcul l antécédent d un nombre donné dans une fonction affine. Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. Représenter graphiquement une fonction affine. Utiliser la relation entre les coordonnées d un point et son appartenance à la droite représentative d une fonction affine. Déterminer le coefficient directeur / ordonnée à l origine à partir de la représentation graphique d une fonction affine.

20 20 19) SYSTEME DE DEUX EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES EQUATIONS ET INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE Problèmes du premier degré : [ ] système de deux équations à deux inconnues. Mettre en équation un problème. Résoudre algébriquement un système de deux équations à deux inconnues admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. 1) EQUATIONS ET INEQUATIONS : Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues. Interpréter graphiquement la solution d un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.

21 21 20) ANGLES INSCRITS POLYGONES REGULIERS FIGURES PLANES Angles inscrits, angle au centre Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l angle au centre qui intercepte le même arc. Polygones réguliers Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone connaissant son centre et un sommet. 1) ANGLE INSCRIT, ANGLE AU CENTRE : utiliser la relation entre un angle inscrit et l angle au centre qui intercepte le même arc. Utiliser la relation entre deux angles inscrits sur un même cercle interceptant le même arc. Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone régulier connaissant son centre et un sommet.

22 22 21) GRANDEURS ET MESURES GRANDEURS COMPOSEES, CHANGEMENT D UNITES Vitesse moyenne Effectuer des changements d unités sur des grandeurs produits ou des grandeurs quotient. COMMENTAIRE : Ce chapitre sera abordé au fur et à mesure de l avancée de l année en «fiche rituelle». 1) GRANDEURS COMPOSEES : Convertir des grandeurs produits ou des grandeurs quotients (masse volumique, kwh, m! /s, tour/s ).