PUISSANCE ET GRANDEURS

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1 1 PUISSANCE ET GRANDEURS I- PUISSANCE D UN NOMBRE a désigne un nombre et n un nombre entier positif. A- PUISSANCE D EXPOSANT ENTIER POSITIF Définition: a! est la puissance de a d exposant n. Si n 2 alors a! = a a a a avec n facteurs a. De plus, a! = a et pour a 0, a! = = = 5! = 4,3! = Vocabulaire: a! se lit «a exposant n» ou «a puissance n». a! se lit «a au..». a! se lit «a au.». 12! se lit «12 5» ou «12 5».

2 2 B- PUISSANCE D EXPOSANT ENTIER NEGATIF On sait que l inverse de 3 est!!. On a d ailleurs vu dans les chapitres précédents que!! s écrit 3!!. Cette notion de puissance d exposant négatif se généralise : Définition: Soit a un nombre relatif non nul. Le nombre a!! est l inverse de a!. Autrement dit, pour a 0, a!! =!!!. 5!! =!. =! =...!! =!!"!! =. =

3 3 C- OPERATIONS SUR LES PUISSANCES Priorités opératoire: 1) Dans une expression sans parenthèses, on effectue d abord les puissances, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. 2) En présence de parenthèses, on effectue d abord les calculs entre parenthèses. 1 4! = 5 2! = 3 2! = Propriété: Soit a, m et n des nombres relatifs tels que a 0. On a : a m a n = a m!n et a m a n = am!n et a m n = a m n 2! 2!! =!!!! = 5!!! = 7!!! =

4 4 Propriété: Soit a, bet n des nombres relatifs tels que a 0 et b 0. On a : a b n = a n b n et a b n = a n b n 2 3! = ( 2x)! =!!! =

5 5 II- CAS PARTICULIER DES PUISSANCE DE 10 A- ECRITURE DECIMALE Voici quelques valeurs de puissances de 10 portées dans le tableau suivant : 10!! 10!! 10!! 10!! 10! 10! 10! 10! 10! 0,0001 0,001 0,01 0, Propriété: Soit n un nombre entier positif. On a : 10! = 10 0 avec n zéros et 10!! = 0,0 01 avec n zéros. 10! = 10!! =

6 6 B- NOTATION SCIENTIFIQUE Tout nombre décimal peut s écrire sous différentes formes utilisant des puissances de =.. 10! =. 10! =.. 10! 0, =.. 10!! =.. 10!! =... 10!! Définition: L écriture scientifique d un nombre décimal différent de zéro est l unique écriture de la forme a 10! où : 1) a est un nombre décimal écrit avec un seul chiffre avant la virgule, autre que 0. 2) n est un nombre entier relatif. L écriture scientifique de est L écriture scientifique de 0, est

7 7 C- ORDRE DE GRANDEUR La vitesse de la lumière dans le vide est ,458 kilomètre par seconde. Habituellement, on dit kilomètre par seconde. Il s agit d une valeur approchée ou, plus exactement, d un ordre de grandeur. Cependant, très souvent c est la puissance de 10 de la notation scientifique qui servira d ordre de grandeur. Ainsi, on dira que la masse d une baleine est de l ordre de la centaine de tonnes, tandis que celle d une souris est de l ordre d une dizaine de grammes. L évaluation d un ordre de grandeur permet aussi de se rendre compte d une erreur de calcul.

8 8 D- OPERATION SUR LES PUISSANCES DE 10 On a : Propriété: Soit n et p des entiers relatifs. 10 m 10 n = 10 m!n et 10 m 10 n = 10m!n et 10 m n = 10 m n Exemple 1 : 10! 10! =!"!!"! = 10!! = Exemple 2 : Calculons A =!"!"!!,!!"!!!"!"!!! et donnons le résultat en écriture scientifique. A =!"!"!!,!!"!!!"!"!!!

9 9 III- GRANDEURS COMPOSEES A- GRANDEUR QUOTIENT quotient. Définition: Lorsque l on effectue le quotient de deux grandeurs, on obtient une grandeur La vitesse moyenne v est une grandeur quotient : v =!, où d est la distance! parcourue en un temps t. Lorsque la distance d est exprimée en km et la durée t en h, la vitesse moyenne v est exprimée en!"! noté km h ou km. h!!. Si la vitesse moyenne d un automobiliste est v = 125 km h alors cette même vitesse exprimée en m s est v =

10 10 B- GRANDEUR PRODUIT produit. Définition: Lorsque l on effectue le produit de deux grandeurs, on obtient une grandeur L aire d un triangle est un grandeur produit : A!"#$%&'( =!"#$!!"#$"%! Si un triangle ABC rectangle en A a pour dimension AB = 4 cm et AC = 3, 08 cm alors sont aire est donnée par A!"# = C- GRANDEUR DERIVEE La masse volumique qui se note ρ et se lit «rho», d un corps est donnée par ρ =!! où m est la masse du corps et V est le volume du corps. La masse volumique est le quotient d une grandeur simple (une masse) et d une grandeur produit (un volume). Lorsque la masse est exprimée en kg et le volume en m!, alors a masse volumique s exprime en kilogrammes par mètre cube noté kg m! ou kg. m!!. alors ρ = Si la masse volumique d un corps est ρ = 1,25 g cm!

11 LEMAZURIER 11 Puissance et grandeurs IV- U TILISATION DE LA CALCULATRICE