Sujets de bac : Géométrie dans l espace 1

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1 Sujets de bac : Géométrie dans l espace Sujet n : La Réunion juin 23 On considère un cube d arête. Le nombre désigne un réel strictement positif. On considère le point de la demi-droite défini par. ) Déterminer le volume du tétraèdre en fonction de. Soit le barycentre du système de points pondérés : ;, ;, ; a. Exprimer en fonction de et de. b. Calculer. et. puis en déduire l égalité.. c. Démontrer l égalité.. d. Démontrer que est l orthocentre du triangle. 3) Démontrer les égalités. et.. Qu en déduit-on pour la droite? 4) a. Montrer que le triangle est isocèle et que son aire est égale à unité d aire. b. Déterminer le réel tel que l aire du triangle soit égale à unité d aire. Déterminer la distance dans ce cas. Sujet n 2 : Polynésie septembre 998 Dans l espace muni du repère orthonormal direct ; ; ;, nous considérons les points ; 6;, ; ; 8 et 4; ; 8. ) a. Réaliser la figure comportant les points définis dans l exercice (unité graphique ) b. Démontrer que : Les droites et sont orthogonales Les droites et sont orthogonales La droite est orthogonale au plan c. Déterminer le volume en du tétraèdre d. Démontrer que les quatre points,, et se trouvent sur une sphère dont vous déterminerez le centre et le rayon. A tout réel de l intervalle ouvert ; 8, est associé le point ; ;. Le plan Π qui contient et est orthogonal à rencontre les droites,, respectivement en, et. a. Déterminer la nature du quadrilatère. b. La droite est-elle orthogonale à la droite? Pour quelle valeur de la droite estelle orthogonale à? c. Déterminer en fonction de. Pour quelle valeur de la distance est-elle minimale?

2 Sujet n 3 : extrait de Liban mai 2 Dans l espace, muni d un repère orthonormal ; ; ;, on donne trois points : ; 2; ; 3; 2; 3 et ; 2; 3 ) a. Démontrer que les points, et ne sont pas alignés. b. Démontrer que le vecteur 2; ; est un vecteur normal au plan. Soit le plan dont une équation cartésienne est 2. Démontrer que les plans et sont perpendiculaires. 3) On appelle le barycentre des points pondérés ;, ; et ; 2. a. Démontrer que le point a pour coordonnées 2; ; 5. b. Démontrer que la droite est orthogonale au plan. c. Déterminer les coordonnées du point, intersection du plan avec la droite. 4) Démontrer que l ensemble des points de l espace tels que 2 2 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques. 5) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l intersection du plan et de la sphère. Sujet n 4 : France septembre 25 L espace est muni d un repère orthonormal ; ; ;. 2 ) On considère le plan passant par le point ; 2; et de vecteur normal et le plan 5 d équation cartésienne 2 7. a. Démontrer que et sont perpendiculaires. b. Démontrer que l intersection des plans et est la droite Δ passant par le point ; 4; et de 2 vecteur directeur. c. Soit 5; 2;. Calculer la distance de au plan puis la distance de au plan. d. Déterminer la distance du point à la droite Δ. a. Soit, pour tout nombre réel, le point de coordonnées 2; 3 ;. Déterminer en fonction de la longueur. On note cette longueur. On définit ainsi une fonction de dans. b. Etudier les variations de la fonction sur ; préciser son minimum. c. Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum. Sujet n 5 : Centres étrangers juin 26 est le cube d arête représenté ci-dessous. L espace est rapporté au repère orthonormal ; ; ;. Partie A. Un triangle et son centre de gravité. ) Démontrer que le triangle est équilatéral. Soit le centre de gravité du triangle. a. Calculer les coordonnées de. b. Démontrer que. Que peut-on en déduire pour les points,,? 3) Prouver que est le projeté orthogonal de sur le plan. Partie B. Une droite particulière Pour tout nombre réel, on définit deux points et, ainsi qu un plan de la façon suivante : est le point de la droite tel que ; est le plan passant par et parallèle au plan ; est le point d intersection du plan et de la droite.

3 ) Identifier ; et en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance Calcul des coordonnées de. a. Calculer les coordonnées de dans le repère ; ; ;. b. Déterminer une équation du plan dans ce repère. c. En déduire que le point a pour coordonnées ; 3 ;. 3) Pour quelles valeurs de la droite est-elle orthogonale â la fois aux droites et? 4) Pour quelles valeurs de la distance est-elle minimale? 5) Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan. Tracer la droite même figure. sur la Sujet n 6 : extrait d Asie juin 23 L espace est rapporté au repère orthonormal ; ; ;. Les points, et ont pour coordonnées respectives : 3; 2; 2 ; 6; ; 5 et 6; 2;. Partie A ) Montrer que le triangle est un triangle rectangle. Soit le plan d équation cartésienne 3. Montrer que est orthogonal à la droite et passe par le point. 3) Soit le plan orthogonal à la droite et passant par. Déterminer une équation cartésienne de.

4 Partie B ) Soit le point de coordonnées ; 4;. Montrer que la droite est perpendiculaire au plan. Calculer le volume du tétraèdre. 3) Montrer que l angle géométrique a pour mesure radian. 4) a. Calculer l aire du triangle. b. En déduire la distance du point au plan.

5 Correction sujets de bac : Géométrie dans l espace Sujet n : La Réunion juin 23 ) Or est un triangle rectangle isocèle en avec donc De plus, (car ) donc. unité d aire. Finalement a. 2 donc le barycentre existe. Par définition :. Or : b Or est orthogonale au plan donc à toute droite de ce plan donc en particulier à donc. De même,.. Finalement : Or est orthogonale au plan donc à toute droite de ce plan et en particulier à donc.. De même,.. Finalement : c. On utilise la même méthode qu à la question précédente : 2 2 On en déduit que... et... D où.. d. D après la question b, les droites et sont orthogonales. Or elles appartiennent au même plan car est un barycentre des trois point, et donc elles sont perpendiculaires ce qui montre que est la hauteur issue de dans le triangle. De même, d après la question, et sont perpendiculaires et donc est la hauteur issue de dans le triangle. est donc à l intersection de deux hauteurs du triangle c est donc l orthocentre de. 3).... Car est orthogonale à donc à. De même,... On en déduit que est orthogonale à et à qui sont deux droites sécantes du plan. On en déduit que est orthogonale à. C est donc la hauteur issue de dans le tétraèdre. 4) a. Dans le triangle rectangle en, à l aide du théorème de Pythagore, on obtient : De même, dans le triangle rectangle en, on obtient

6 On en déduit que et donc est isocèle en. De plus, 2 (on utilise le théorème de Pythagore dans rectangle en ). Pour calculer l aire du triangle, nous pouvons calculer la hauteur : 2 ou encore d'où b. car car tout est positif Dans ce cas, et donc ou encore Sujet n 2 : Polynésie septembre 998 ) a. 4 b... 6 donc et sont orthogonales donc et sont orthogonales donc et sont orthogonales. Donc est orthogonales à deux droites sécantes de (en effet et ne sont pas colinéaires) donc est orthogonal au plan. c. est donc la hauteur issue de du tétraèdre d. Soit le centre de la sphère à laquelle appartient les points,, et. Comme, on a que appartient au plan médiateur de qui a pour équation 3 (plan parallèle à. De plus, appartient aussi au plan médiateur de qui a pour équation 4. Pour finir appartient au plan médiateur de qui a pour équation 2. On trouve donc 2 2. Finalement 2; 3; 4. On vérifie ; ; Et 29. Donc,, et appartiennent à une sphère de centre 2; 3; 4 et de rayon 29. a. ; ;. Déterminons une équation de Π : est normal à Π donc une équation de Π est 8 8. Or Π donc 8 et 8. Une équation de Π est donc 8 8 ou encore. Coordonnées de : : donc 2 et ; ; Coordonnées de : : 6 donc 8 8 et d où ; 6 ; 8 8 Coordonnées de : : 6 donc d où ; 6 ; 8 8 ; donc ces vecteurs sont égaux et est un parallélogramme.

7 b... Pour 6. donc est orthogonale à les droites et sont également orthogonales. c Donc La distance est minimale quand est minimal car une longueur est positive. Or est un polynôme du second degré qui est minimal pour Donc la longueur est minimale quand et sont orthogonale. 9 Sujet n 3 : extrait de Liban mai 2 ) 4 a. 4 et 4 Ces vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (même ordonnée mais pas la 4 2 même abscisse) donc, et ne sont pas alignés donc et sont orthogonaux donc et sont orthogonaux. Comme est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de alors est normal à. 3) est normal à. 2 2 donc et sont orthogonaux et comme est normal à et que est normal à alors et sont orthogonaux. 4) On appelle le barycentre des points pondérés ;, ; et ; 2. a. 2 ; et 5 donc 2; ; 5 2 b donc 2 et donc est normal à ce qui montre que et sont orthogonaux. c. donc il existe un réel tel que donc 2 et les coordonnées de sont 3 ; 2; 3. Comme, on a aussi : 2 et donc donc ; 3; 2 5) Comme est le barycentre de ;, ; et ; 2, on a 2 2 d où est donc une sphère de centre et de rayon 6. 6) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l intersection du plan et de la sphère. L intersection d une sphère et d un plan est un cercle ou l ensemble vide. ; 3 3 et comme cette distance est inférieure au rayon de la sphère, l intersection de et est un cercle. Le centre de ce cercle est le point qui est le projeté orthogonal de sur. Pour calculer le rayon du cercle, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle où est un point du cercle. est rectangle en et ; 3 3 ; 6 car appartient à l intersection de et

8 donc en particulier, c est un point de la sphère. On a donc ou encore d où = 9=3 Le rayon du cercle est donc 3. Sujet n 4 : France septembre 25 ) a. a pour équation cartésienne 27= donc 2 est un vecteur normal à.. =225= donc et sont orthogonaux et les plans et sont perpendiculaires. b. Déterminons l équation cartésienne du plan. Comme est un vecteur normal à, une équation est de la forme 25=. Or donc 225= soit =. Une équation de est donc 25=. ;; 25= 2725= 555= 27= =72 =72 =3 =72 donc, en posant =, on trouve =72 et =3. Une représentation paramétrique de =72 2 la droite d intersection de et est donc =. Donc le vecteur est un vecteur directeur =3 =78= de Δ qui de plus passe par car, pour =4, on trouve =4. =34= c. ;= = = = ;= 5227 = = d. On note le projeté orthogonal de sur et le projeté orthogonal de sur Δ. Comme et sont perpendiculaires, le triangle est rectangle en donc = or est la distance de à Δ, est la distance de au plan et est égale à la distance de au plan. D où : = = = 5436 =8 et donc = 8= a. On considère 5 donc =24 5 = b. On considère la fonction : définie sur car le discriminant de est strictement négatif donc ce polynôme est strictement du signe de =6. est la composée d une fonction polynôme dérivable sur et strictement positive et de la fonction racine carrée qui est dérivable sur ; donc est dérivable sur et = = Donc est du signe de 62 car son dénominateur est strictement positif donc : 2 Signe de Variations de admet donc un minimum en 2 et 2= 8=3 2 c. On trouve minimal quand =2 donc pour le point 5;;2 or ce point appartient à la droite 72=5 = Δ car = =. Donc représente le projeté orthogonal de sur Δ. 3=2 =

9 Sujet n 5 : Centres étrangers juin 26 Partie A ) Dans le repère ; ; ;, on a ; ; ; ; ; ; ; ; et ; ; a trois côtés de même longueur donc c est un triangle équilatéral. a. est l isobarycentre de, et donc 3 3 ; 3 ; 3 donc 3 ; 3 ; 3 b. ; ; et a pour coordonnées ; ; donc ; ; et on a bien On en déduit que les vecteurs et sont colinéaires et donc que les points, et sont alignés. 3) Comme appartient au plan, pour démontrer que est le projeté orthogonal de sur, il suffit de vérifier que est un vecteur normal au plan et pour cela, montrer que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de..... Donc est bien le projeté orthogonal de sur. Partie B ) est défini par or donc ; est donc le plan passant par et parallèle au plan or donc ; est l intersection du plan et de la droite. Il est bien évident que ce point d intersection est le point donc a. est définie par donc d où ; ; b. est le plan passant par et parallèle au plan donc un vecteur normal à est également un vecteur normal à. Or d après la première partie et donc est une droite perpendiculaire à donc est un vecteur normal à donc une équation est alors de la forme. Or donc donc 3 et une équation de est 3 c. est l intersection de et de donc a des coordonnées de la forme ; ; 3 et comme appartient à, les vecteurs et sont colinéaires. Or et 3 donc il existe un réel tel que et donc 3 On en déduit Les coordonnées de sont donc : ; 3 ;

10 3) orthogonale à et Donc si alors et sont orthogonales à. 4) Comme est positif et que la fonction racine carré est strictement croissante sur ;, est minimale quand est minimale donc quand est minimale. Or ceci se produit pour Donc est minimal pour 5) est le milieu de ; est le milieu de. De plus et On sait que appartient au plan sont parallèles donc les intersections de ces deux plans avec un troisième plan sont des droites parallèles. Ceci nous permet de tracer l intersection de. Et ainsi de suite, on trace des segments qui joignent le milieu car on trace la parallèle à passant par d arêtes et qui sont parallèles soit à, soit à, soit à. On obtient un hexagone régulier. avec la face Sujet n 6 : extrait d Asie juin 23 Partie A 3 3 ) 3 ; et Donc et sont orthogonaux et est un triangle rectangle en. est un vecteur normal à. On remarque que 3 donc et sont colinéaires et donc est un vecteur normal à. De plus : donc. est donc bien le plan normal à passant par. 3 3) est un vecteur normal à car est orthogonale à donc une équation cartésienne de est De plus appartient à donc d où 3. Une équation cartésienne de est donc ou encore Partie B 3 ) 6 Et. donc donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan donc est perpendiculaire au plan. représente donc une hauteur du tétraèdre et la base correspondante est le triangle rectangle Or ; et donc

11 6 6 3) 3 et 6 donc Or. cos ; cos cos Donc cos = 4) = et donc = radian. a. On note le projeté orthogonal de sur. Alors le triangle est un triangle rectangle en avec = radian donc =sin = 9. = = = 27 2 b. Dans le tétraèdre, on peut considérer la hauteur issue de et la base et alors : = ; d où ;=27 = 3.