CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES

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1 CALCUL DIFFERENTIEL EXERCICES EXERCICE 1 : O cosidère la foctio f défiie sur 4 xy si, 0,0 6 4 f x y x y 0 si xy, 0,0 par, 1) Motrer que pour tous réels positifs u et v, uv u v ) E déduire que la foctio f est cotiue sur xy ) Motrer que la foctio f admet des dérivées partielles d ordre 1 e tout poit de EXERCICE : Calculer les dérivées partielles d ordre1 et d ordre des foctios f suivates : 1), ) f x, y l x x y f x y x y x y z 4) f x, y, z e 5),, EXERCICE : Soit f : cotiue sur ) f x, y x y f x y z xy yz zx Pour tout etier aturel, o défiit la foctio G : y x t x, y f t dt 0! 1) Motrer que la foctio G est cotiue sur 1 ) Motrer que la foctio G est de classe C sur EXERCICE 4 : 1) Détermier le développemet limité d ordre de la foctio f : x, y l e x e y poit O (0,0) ) Détermier le développemet limité d ordre de la foctio poit O (0,0) ) Détermier le développemet limité d ordre de la foctio poit A (1,0) EXERCICE 5 : Soit la foctio f défiie sur par et préciser leur ature. Les évetuels extrema sot-ils globaux? EXERCICE 6 : Soit la foctio f défiie sur y au f : x, y si( x y) au x f : x, y e cos y au f x, y x y xy.détermier les extrema locaux de f f x, y x y x y. par 4 4 Motrer que f admet poits critiques : l origie O et deux poits A, B tels que A ait ue abscisse positive.

2 Motrer que f admet e A u miimum relatif ; motrer que f admet pas d extremum relatif e O. EXERCICE 7 : x y Soit f la foctio défiie sur x, y f x, y x y e par : 1) Justifier que f est ue foctio de classe C sur ) Motrer qu il existe ue ifiité de poits vérifiat les coditios écessaires d u extremum. t ) A l aide des variatios de la foctiot te, motrer qu e ces poits la foctio f admet u miimum. EXERCICE 8 : (EDHEC E 005) Soit f la foctio défiie sur par : (x, y), f (x, y) = x e x ( y ). 1) Justifier que f est de classe C sur. ) a) Détermier les dérivées partielles premières de f. b) E déduire que le seul poit e lequel f est susceptible de préseter u extremum local est A = ( 1, 0). ) a) Détermier les dérivées partielles secodes de f. b) Motrer qu effectivemet, f présete u extremum local e A. E préciser la ature et la valeur. 4) a) Motrer que : (x, y), f (x, y) x e x. b) E étudiat la foctio g défiie sur Par g(x) = x e x, coclure que l extremum trouvé à la questio b) est u extremum global de f sur. EXERCICE 9 : Soit f : x, y, z xy yz zx xyz 1) Détermier les poits critiques de la foctio f sur ) Motrer que la foctio admet pas d extremum sur 1 EXERCICE 10 : Soit f : x, y, z x y z xyz ) Détermier les poits critiques de la foctio f sur 4) Motrer que la foctio admet pas d extremum sur EXERCICE 11 : Soit f : x, y, z x y z x y 4z 1 1) Détermier les poits critiques de la foctio f sur ) Etudier si la foctio présete u extremum e ces poits EXERCICE 1 : Soit f : x, y, z x l 1 y z

3 1) Détermier les poits critiques de la foctio f sur ) Etudier si la foctio présete u extremum e ces poits EXERCICE 1 : Soit D x, y / 1 x y 1 et f la foctio défiie sur D par 1) La foctio f admet-elle des extrema sur D? ) Détermier les poits critiques de f sur D.Détermier les extrema de f sur D f x, y y x 6xy. EXERCICE 14 : Soiet A 0,1 ; B 1,1 ; C 1, 1 ; D 0, 1 quatre poits du pla mui d u repère orthoorméo, i, j. Soit la foctio f défiie sur f x, y x x y 5. par 1) Motrer que la restrictio de f au rectagle ABCD, otée g, est borée. ) Détermier le maximum et le miimum de g sur le rectagle ABCD. EXERCICE 15 : Soit la foctio f défiie sur par f x, y x y 1x 1 y 1) O pose F 0,1 0,1, justifier que la foctio f est borée sur F et y atteit so maximum. O pose alors M max f x, y x, y F ) Motrer que si le maximum est atteit e u poit de l ouvert 0,1 0,1 alors M 8 ) Détermier le maximum de la foctio f sur la frotière de F et le comparer à 8.Détermier M EXERCICE 16 : Soiet u etier aturel supérieur ou égal à, k k k1 k1 1 1 F x,... x, x... x 1 et la foctio f : X x1,..., x F f X x x 1) Motrer que la foctio f admet u miimum m et u maximum M ) Motrer que m et M e sot pas atteits e u poit de 1 1 E x,... x, x... x 1 ) Motrer que m 1 4) Utiliser l iégalité de Cauchy Schwarz pour prouver que M 1

4 EXERCICE 17 : EXERCICE 18 : EXERCICE 19 : EDHEC 014

5 EXERCICE 0 : EDHEC 010

6 EXERCICE 1 : Etudier les extrema de la foctio x y z 1 EXERCICE : f : x, y, z x y z xy sous la cotraite EXERCICE : Détermier les extrema évetuels de la foctio x y z EXERCICE 4 : Détermier les extrema évetuels de la foctio x y z 0 EXERCICE 5 : Soit u etier aturel supérieur ou égal à Détermier les extrema évetuels de la foctio k 1 x k 1 EXERCICE 6 : f : f : f : x, y, z x y z x y z x, y, z e e e x,..., x x 1 k 1 k sous la cotraite sous la cotraite sous la cotraite Soit f : x, y, z x xy yz y z Détermier les poits critiques et les extrema évetuels sous la cotraite x y 1 xz 1 EXERCICE 7 : Détermier les extrema évetuels de la foctio x y cotraite z t 0 f : 4 x, y, z x y z t sous la

7 EDHEC 005

8 EDHEC 001

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