TS Exercices sur les limites de suites (3)

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1 TS Exercices sr les limites de sites () O cosidère la site défiie sr par so premier terme récrrece por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : ) Détermier le ses de variatio de la site ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de Jstifier qe l et qe l l E dédire la valer de l coverge tel qe et la relatio de O cosidère la site défiie sr par so premier terme et la relatio de récrrece por tot etier atrel e ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : ) Détermier le ses de variatio de la site ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de coverge O admet qe l le l (égalité obte par passage à la limite das la relatio de récrrece) E dédire la valer de l O cosidère la site défiie sr par so premier terme 7 et la relatio de récrrece por tot etier atrel ) Démotrer par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : ) Détermier le ses de variatio de la site ) Dédire des qestios précédetes qe la site ) O ote l la limite de a) Jstifier qe l coverge b) O admet qe l l (égalité obtee par passage à la limite das la relatio de récrrece) E dédire la valer de l 5 ) Écrire algorithme qi por e valer de e, réel strictemet positif, saisie e etrée, permet d afficher e sortie le pls petit etier atrel tel qe e Programmer cet algorithme sr calclatrice et idiqer le ombre obte e sortie por e, Por tot etier atrel, o pose : ) Calcler,, ) Por tot etier atrel, démotrer l égalité ) Le bt de cette qestio est de détermier e formle simplifiée de (o ) O écrit l égalité das le cadre ci-dessos : por,,, et o fait la somme membre à membre comme Recopier ce cadre sr e demi-page (il e fat pas q il y ait de page à torer) et barrer e diagoale les termes qi s alet das la somme (méthode par «télescopage» o par «domios additifs») E dédire qe ) Détermier lim 5 Por tot etier atrel, o pose (la somme commece por ) ) Qel est le ses de variatio de la site? ) Démotrer, qe por tot etier atrel, o a ) O écrit l iégalité por,,, et o fait la somme membre à membre des iégalités obtees comme das le cadre ci-dessos (o appliqe la règle d additio des iégalités : «O pet additioer membre à membre des iégalités de même ses») : Recopier ce cadre et barrer e diagoale les termes qi s alet (pricipe des domios additifs o télescopage)

2 E dédire qe por tot etier atrel, o a : est majorée est covergete (o e demade pas de et qe ) Démotrer à l aide des qestios précédetes qe la site détermier la limite) Les exercices sivats portet sr e techiqe classiqe de majoratio-mioratio à coaître Atremet dit, o a : Pricipe de majoratio-mioratio d e somme Si A a a a avec a a a, alors o a l ecadremet sivat : a A a ombre de termes le pls petit A ombre de termes le pls grad Ce pricipe pet être appelé «le pls bête des ecadremets», «ecadremet le pls bête d mode» o ecore «pricipe de majoratio-mioratio grossier» Cet ecadremet ce démotre aisémet Démostratio Soit A e somme de ombres Notos m le pls petit terme de la somme et M le pls grad Par additio membre à membre d iégalités de même ses, o a : m m m A M M M termes termes O e dédit la méthode pratiqe por majorer e somme : O rage les termes das l ordre croissat O compte le ombre de termes O appliqe l iégalité E dépit de sa simplicité et d fait q il pet sembler doer ecadremet grossier, ce pricipe d ecadremet pet s avérer efficace por détermier la limite de certaies sites défiies par e somme, comme o le voit das l exercice 8 Soit etier atrel o l fixé O pose S E observat qe l o a, démotrer qe l o a : 7 Soit etier atrel fixé O pose S Démotrer qe l o a : S!! S 8 Por tot etier atrel o l, o pose S O e cherchera pas e expressio explicite de S e foctio de ) E partat de, comparer sccessivemet les ombres :,,, ) E dédire ecadremet de S pis lim S ) Écrire algorithme qi por e valer de, etier atrel o l, saisie e etrée, permet d afficher e sortie la valer de S Programmer cet algorithme sr calclatrice et idiqer e valer approchée de S 5 m A M

3 Étde d e site récrrete Soltios ère méthode : méthode par différece (c est la première méthode à laqelle il fat peser lorsqe l o doit étdier le ses de variatio d e site) ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a : Por, o défiit la phrase P : Iitialisatio : Vérifios qe P est vraie Par hypothèse de défiitio de la site, o a D où Hérédité : P est vraie Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase O a : (par hypothèse de récrrece) P est vraie c est-à-dire Doc car la foctio «carré» est strictemet croissate sr l itervalle Par site, P est vraie Doc Coclsio : O a démotré qe Doc, d après le théorème de récrrece, la phrase ; P est vraie et qe si P est vraie por etier atrel, alors P est vraie por tot etier atrel O e dédit qe por tot etier atrel, o a : P est vraie La site est défiie par récrrece O e dispose pas de l expressio explicite de so terme gééral Il est doc pas possible de démotrer ce résltat atremet q e faisat e démostratio par récrrece O «calcle» la différece O factorise cette différece pis o fait l étde d sige (o aalyse le sige de la différece) Or d après la qestio ) Doc Comme et O e dédit qe, o pet dire qe soit Coclsio : La site est strictemet décroissate à partir de l idice e méthode : Soit etier atrel fixé O a : d après la qestio ) Doc e mltipliat les dex membres de cette iégalité par ( d après la qestio )), o obtiet : Or Doc O a doc Coclsio : La site est strictemet décroissate à partir de l idice e méthode : méthode par qotiet (cette méthode par qotiet marche très bie ici ; ce est cepedat pas la méthode à laqelle o doit peser e premier ; e effet, cette méthode écessite de vérifier d abord qe tos les termes de la site sot strictemet positifs) Or d après la qestio ) Doc ) Détermios le ses de variatio de la site

4 Comme tos les termes de la site sot strictemet positifs d après la qestio ), o e dédit qe la site est strictemet décroissate à partir de l idice ) Dédisos-e qe la site coverge Das la qestio ), o a démotré qe Das la qestio ), o a démotré qe la site doc la site Or tote site décroissate miorée coverge (théorème d cors) est miorée par est strictemet décroissate à partir de l idice Doc l Coclsio : lim O pet doc dire coverge vers Complémet : O pet représeter les termes de la site récrrete (procédé habitel) O visalise graphiqemet la covergece de vers O e dédit qe la site coverge O e dit pas qe la site coverge vers Ce sera le bt de la qestio ) O marqe jste qe la site coverge O est pas e mesre de préciser la limite : la site pet coverger vers ombre strictemet positif O a tracé la corbe C d éqatio y x et la droite d éqatio y x Représetatio graphiqe C ) l lim Jstifios qe l et qe l l O sait qe la limite l est miorat des termes de la site (car la site est décroissate) Doc l Or doc l j l car lim l (la site les mêmes qe cex de la site à l exceptio d premier terme) coverge vers l) et les termes de la site sot O i lim l (car Ce poit pet être détaillé aisi : lim * ) l par propriété d opératio algébriqe (limite d prodit e écrivat cotiité de la foctio «carré» Par icité de la limite d e site (il e pet y avoir q e sele limite), o a : l l () Dédisos-e la valer de l () l l l l l o l l o l Or l ) o par O pet aisi facilemet observer le comportemet de la site (mootoie et covergece) O pet assi tiliser la calclatrice por visaliser la site e mode escalier o web (cf ttoriel) Formle explicite d terme gééral de la site O pet commecer par faire e première recherche 8 Aisi, «par dédctio», il semble atrel de proposer la formle sivate : Por démotrer cette cojectre (c est-à-dire qe ), o procède par récrrece

5 La formle explicite d terme gééral permet évidemmet de retrover de maière très simple la covergece de la site vers est la limite de la site C est miorat qi est jamais atteit et c est le pls grad de tos les miorats Étde d e site récrrete e er facter : d après la qestio ) o sait qe e facter : o procède par iégalités sccessives Doc d où e O obtiet doc : e soit e d où e Par coséqet, la site est strictemet décroissate à partir de l idice Il est coseillé de programmer la site sr la calclatrice e preat e valer de et de faire apparaître la costrctio des termes e méthode qi marche très bie ici : méthode par qotiet car tos les termes de la site sot strictemet positifs ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, Por, o défiit la phrase P : Iitialisatio : Vérifios qe P est vraie par hypothèse doc P est vraie e e Or doc d où d où Or la site est à termes strictemet positifs e e soit e Hérédité : Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase O a : De pls, o a : e Doc, par sige d prodit, Doc P est vraie Coclsio : P est vraie c est-à-dire Par le théorème de récrrece, o e dédit qe, por tot etier atrel, la phrase P () est vraie c est-à-dire qe por tot etier atrel, o a : ) Détermios le ses de variatio de la site ère méthode : Méthode por étdier le ses de variatio de la site : o étdie le sige de la différece e e O étdie le sige de chac des dex facters d prodit Par coséqet, la site est strictemet décroissate à partir de l idice ) Dédisos des qestios précédetes qe la site coverge D après la qestio ), la site est miorée par D après la qestio ), la site est strictemet décroissate Or tote site décroissate et miorée coverge Doc la site coverge Attetio, o e pet pas dire à ce stade-là q elle coverge vers C est le bt de la qestio ) de trover la limite de la site ) l lim Jstifios qe l le l O sait qe l est la limite de la site À partir de là, o va exprimer de dex maières différetes la limite de ce qi va os permettre de trover e égalité vérifiée par l D e part, lim l de maière évidete (car la site vers la même limite pisq elle a les mêmes termes mais décalée de ) coverge vers l doc la site coverge

6 D atre part, lim lim l lim lim e le (car la foctio f : x e x est cotie sr doc f f l le l ) l le l (car e ) Par icité de la limite d e site, l () Dédisos-e la valer de l () l le l l l e l o e l l o l l l o l l Coclsio : lim coverge vers Étde d e site récrrete le l 7 O e pet pas détermier de formle explicité de e foctio de Il est itéressat de représeter la site sr la calclatrice graphiqe (mode web o escalier) C est même le premier travail à faire ) Démotros par récrrece qe, por tot etier atrel, o a Por, o défiit la phrase P : Iitialisatio : Vérifios qe P est vraie 7 par hypothèse d où doc P est vraie x Hérédité : Cosidéros etier atrel tel qe la phrase P soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la phrase O a : Doc soit D où Doc P est vraie Coclsio : P est vraie c est-à-dire Par le théorème de récrrece, o e dédit qe, por tot etier atrel, la phrase qe por tot etier atrel, o a : ) Détermios le ses de variatio de la site Por détermier le ses de variatio de la site ( ), o pet : - tiliser la méthode de différece - tiliser la récrrece ère méthode : méthode par différece (e tilisat le résltat de la qestio précédete) P est vraie c est-à-dire (techiqe de la qatité cojgée por les racies carrées) (factorisatio d polyôme x x évidete à l aide des racies et ) O tilise le résltat de la qestio ) : O a doc D où (règle des siges d qotiet) O e dédit qe la site est strictemet décroissate à partir de l idice

7 e méthode : par récrrece O défiit la phrase P : Variate de la ère méthode : O compare et (sachat qe ) Atre faço : O raisoe par l absrde Si l était strictemet iférier à, o porrait trover itervalle overt I coteat l mais e coteat par Il existerait etier atrel N tel qe si N, I (défiitio de la limite) Doc serait strictemet iférier à ce qi est impossible doc l Qad o dex expressios de même sige, o pet comparer lers carrés Les racies d polyôme x x sot et Or doc Doc (règle d sige d triôme ; est à l extérier de l itervalle des racies) D où Or et sot tos les dex strictemet positifs D où (dex ombres positifs sot ragés das le même ordre qe lers carrés) ) Dédisos des qestios précédetes qe la site coverge D après la qestio ), la site est miorée par D après la qestio ), la site est strictemet décroissate Or tote site décroissate et miorée coverge Doc la site coverge Attetio, o e pet pas dire à ce stade-là q elle coverge vers C est le bt de la qestio ) de trover la limite de la site ) l lim Jstifios qe l O sait qe la limite d e site décroissate est miorat de la site et qe c est le pls grad des miorats O sait qe est miorat de la site doc l est pls grade qe soit l O pet évoqer le fait qe est miorat strict de la site Néamois, o pet selemet dire qe la limite est spériere o égale à O dit qe l iégalité stricte e passe pas à la limite Das le TPLI (théorème de passage à la limite das e iégalité), o pet jste dire q elle cocere des iégalités larges U cotre-exemple est fori par la site de terme gééral Tos les termes sot strictemet positifs Néamois, la limite est égale à Jstifios qe l l O sait qe l est la limite de la site À partir de là, o va exprimer de dex maières différetes la limite de ce qi va os permettre de trover e égalité vérifiée par l D e part, lim l de maière évidete (car la site vers la même limite pisq elle a les mêmes termes mais décalée de ) coverge vers l doc la site coverge D atre part, lim lim l (car la foctio f : x x est cotie sr so esemble lim f f l l ) de défiitio doc O pet assi appliqer la propriété sivate : est e site défiie sr dot tos les termes sot positifs o ls Si l, alors l O sait qe l doc l Par site, l La site est à termes positifs o ls

8 lim Par icité de la limite d e site, l l () d e part l d atre part l (admis) Programmos cet algorithme sr calclatrice et idiqer le ombre obte e sortie por e, Après avoir programmé l algorithme sr calclatrice, por e,, o obtiet e sortie Étde d e site dot le terme géérale est défii par e somme Dédisos-e la valer de l () l l l l (o retrove le polyôme cosidéré à la qestio )) l o l Comme l, o e dédit qe l Coclsio : lim coverge vers Remarqe : O pet assi formler l l e disat qe l est soltio de l éqatio x x Cette éqatio est e éqatio irratioelle O pet résodre ce type d éqatio par éqivaleces (mais o a pas appris à le faire) o par implicatio (ce qe os avos fait ici) 5 ) Écrivos algorithme qi por e valer de e, réel strictemet positif, saisie e etrée, permet d afficher e sortie le pls petit etier atrel tel qe e Il s agit d algorithme de détermiatio de valer seil avec e bocle «Tatqe» Les variables, e et sot des ombres Etrée : Lire e Iitialisatios : pred la valer 7 pred la valer Traitemet : Tatqe e Faire pred la valer pred la valer FiTatqe Sortie : Afficher est défiie par e sommatio : est pas la somme des termes d e SA i e SG (i e site arithmético-géométriqe) Il y a pas de formle sommatoire d cors qe l o pisse appliqer O dit qe est e série Les séries sot étdiées das l eseigemet spérier O pet retrer la site sr calclatrice soit par récrrece (maladroit) soit pltôt e tilisat la «foctio somme» comme sit por la calclatrice TI : O se place e mode «site» et das o tape : K / K o somme(seq(/(k*(k+),k,,) O otera qe le mot «seq» est remplacé par le mot «site» si la calclatrice est e fraçais Attetio à la sytaxe : il e fat omettre ace parethèses, écrire le sige de mltiplicatio de la calclatrice O retre Mi pisqe la site est défiie à partir de l idice K O pet alors faire apparaître le tablea de valers o bie le age de poits ) Calclos,, O dit qe l o «développe» le symbole Remarqe : ; etc Attetio à e pas commettre la fate qi cosiste à écrire : errer

9 ) Démotros qe ère méthode : * e méthode : * * ) Détermios e expressio simplifiée de Cas particlier por : Das le cas gééral, Qad o additioe membre à membre totes ces iégalités, tos les membres de gache formet e somme qi est égale à la somme qi défiit (grâce à l expressio de ) Ce e sot pas de égalités séparées mais des égalités q o va totes additioer membre à membre Les poitillés sot là por sigifier qe l o a pas écrit totes les égalités (o e pet pas pisqe l o a pas la valer de ) Por écrire e somme e extesio, o est obligé d tiliser des poitillés Si o cotie, o observe pricipe d alatio des termes d e égalité avec la sivate (le e terme d e égalité s ale tojors avec le er d sivat) Ce qi permet de bie compredre le pricipe des domios additifs Qad o additioe les membres de droite, il y a des termes qi s alet dex à dex O e rédige pas vraimet O écrit : O obtiet aisi e formle sommatoire (o a défii de maière explicite e foctio de ) O pet retrover cette formle sommatoire grâce à logiciel de calcl formel Ue atre faço de faire le télescopage cosiste à travailler directemet sr les sommes ) Détermios lim (chagemet d idice : traslatio d idice) O tilise l expressio simplifiée de détermiée à la qestio précédete O e pet e effet pas détermier la limite de la site somme) à partir de l expressio origiale (défiie par e lim doc lim O pet doc dire qe la site coverge vers

10 O a doc lim O dit qe la somme de la série de terme gééral est égale à et l o pet s atoriser à écrire Cette écritre symboliqe sera beacop tilisée das le spérier Elle est à compredre das le ses d e limite Commetaire : O a e espèce de passage de l ifii a fii a ses où l o a e somme ifiie de termes qi coverge vers e limite fiie 5 Étde d e site dot le terme géérale est défii par e somme est la somme des iverses des carrés des etiers de à Il existe pas de formle sommatoire por cette site ( logiciel de calcl formel e pet pas simplifier cette somme) Comme das l exercice précédet, o pet retrer la site sr calclatrice e tilisat la «foctio somme» comme sit por la calclatrice TI : O se place e mode «site» et das o tape : somme(seq(/k^,k,,) Attetio à la sytaxe : il e fat omettre ace parethèses, écrire le sige de mltiplicatio de la calclatrice O retre Mi pisqe la site est défiie à partir de l idice La site est strictemet croissate à partir de l idice ) Démotros, qe por tot etier atrel, o a Soit etier atrel spérier o égal à O a : Or (o pet e fait écrire e iégalité stricte) d où Doc comme les dex membres sot strictemet positifs, par passage à l iverse, o obtiet : d où ) Dédisos-e qe et qe est majorée O remplace sccessivemet par,, das l iégalité et l o écrit les iégalités obtees les es e dessos des atres O pet alors faire apparaître le tablea de valers o bie le age de poits O additioe membre à membre totes les iégalités obtees ) Détermios le ses de variatio de la site O procède par différece O obtiet : O a p additioer membres totes les iégalités car elles ot le même ses (*) Or Tos les termes de la e somme se retrove das la ère somme doc les termes s alet d où

11 La site v défiie par v est e site majorate O e pet pas dire qe pas de U majorat doit être e costate Atre formlatio éqivalete : Défiitio : État doées dex sites v est majorat de la site est pas majorat de la site car ce est pas ombre fixe qi e déped pisq il déped de et v défiies sr, o doit qe la site v majore lorsqe O observera qe la otio (o qe la défiitio d e) de site majorate est idépedate de tote mootoie L expressio doc d où permet d obteir de maière immédiate majorat de cette site et doc de la site O e dédit, par trasitivité, qe (**) Doc est majorée par (*) O pet additioer membres à membres des iégalités de même ses Si o e iégalité et e iégalité stricte, alors o pet écrire e iégalité stricte (**) O porrait mettre e iégalité stricte, pe importe E effet, e iégalité stricte etraîe e iégalité large (la réciproqe est fasse) ) Démotros qe la site est covergete La site est croissate et majorée par doc d après le théorème sr les sites croissates majorées (à citer : «Tote site croissate majorée coverge»), elle coverge vers e limite l O pet dire l et même qe l car le premier terme de la site est Remarqe : O pet démotrer par diverses méthodes qe cette limite est égale à, résltat qi e maqe pas de srpredre a premier abord est évidemmet la valer exacte de la limite de cette site résltat valable iqemet por cette site, bie sûr O porra oter qe est e site de ratioels (évidet car est défii comme e somme de ratioels alors qe ) O e demade pas de calcler cette limite de totes faços, e Termiale, o e a pas les moyes Cette site est à relier à la site très célèbre q o retrove sovet das l eseigemet spérier : site S dot le terme gééral est la somme des iverses des carrés des etiers atrels Cette site est défiie par S Elle est défiie cette fois à partir de l idice O pet démotrer (la démostratio est cepedat pas d ivea de termiale) qe S ted vers ted vers +, atremet dit qe o ecore qe la somme des iverses des carrés des etiers atrels (e démarrat de ) ted vers Ce résltat permet de trover la limite de la site Cette site sera reprise das le spérier avec la otio de série O retrove des résltats similaires por totes les pissaces paires : 8 ; ; ; ; etc lorsqe U tel résltat a, e revache, pas été démotré à ce jor por les pissaces impaires Le mathématicie fraçais Apéry a cepedat démotré e 97 qe C où C est réel irratioel O pet trover des valers approchées de l e calclat qelqes valers de Par exemple, avec la calclatrice TI 8, o obtiet por approchée de l l affichage :,9997 qi doe e valer

12 7 S * Démotros qe S O e cherche évidemmet pas à calcler cette somme S! ( ) ère versio : Démotros qe O e cherche pas à calcler la somme S! O a : (les iégalités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Doc d après le pricipe de majoratio rappelé das l éocé, o pet écrire : S soit Atre versio : S O a :!!!!! (les iégalités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Doc S! soit S E effet,!!! S * Démotros qe S O a (les iégalités sot e fait strictes, mais o s e fiche) Le ombre de termes de la somme est Le pls grad terme de la somme est Démotros l égalité!! O a :!! Doc Comme et sot des etiers coséctifs, il s agit d prodit de tos les etiers atrels de à!! Doc e versio : Démotros qe S! E majorat tos les termes de la somme par Commetaires :, o obtiet S soit S O a :!!!!! Le ombre de termes de la somme est O porrait remplacer le sige par le sige qi doe e majoratio pls précise O porrait majorer tos les termes de la somme par O obtiet alors la majoratio : S Cette majoratio est mois précise Le pls grad terme de la somme est! E majorat tos les termes de la somme par!, o obtiet S! soit S! O porrait tiliser la formle sommatoire doat la somme des cbes des etiers atrels de à : S Ce est pas ce qi est atted L itérêt d pricipe de majoratio grossier c est de povoir majorer o miorer des sommes dot o e vet/pet trover e expressio simplifiée (formle de rédctio)

13 8 ( * S O e cherche pas à calcler la somme ) ) (passage à l iverse das l iégalité ; tos les ombres sot strictemet positifs) (o a mltiplié tos les ombres par, ) ) Dédisos-e ecadremet de S pis lim S lim et Or * lim S Doc d après le théorème des gedarmes, lim S Commetaire : D après le pricipe d ecadremet d e somme, Atre faço : Le pls grad terme de S est Le pls petit terme de S est S est «composée» de termes S Bie qe l ecadremet obte das la qestio a) ait p apparaître grossier de prime abord, os voyos q il permet éamois de trover la limite grâce a théorème des gedarmes C est por cela q il est itéressat d étdier ce pricipe ) Les variables, S, sot des ombres Etrée : Saisir D après le pricipe de majoratio-mioratio grossier d e somme, o a : S soit S O : E ecadrat chaqe terme par le pls petit et le pls grad, o obtiet : S soit S Iitialisatio : S pred la valer Traitemet : Por allat de à Faire S pred la valer S FiPor Sortie : Afficher S Por détermier la limite, o trasforme les dex expressios de telle sorte à e pas avoir de forme idétermiée Avec le programme correspodat sr calclatrice, o trove : S5,97979