SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA PREMIERE PARTIE

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1 SESSION 99 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIERE PARTIE a Pour x R et N, u x Doc, N, u Comme la série de terme gééral coverge, la série de foctios de terme gééral u coverge ormalemet et doc uiformémet et simplemet sur R f est défiie sur R b Chaque foctio u est cotiue sur R, et la série de foctios de terme gééral u coverge uiformémet vers f sur R Par suite, f est cotiue sur R Pour x R, et f est doc paire et -périodique f x fx + cos x cosx fx cosx + cosx fx f est défiie et cotiue sur R, paire et -périodique c f est cotiue sur le segmet [, ] et doc I existe De plus, puisque la série de terme gééral u coverge uiformémet vers f sur ce segmet, le théorème d itégratio terme à terme sur u segmet permet d écrire : I cosx dx fx dx [ six ] d Soit p N Puisque pour tout réel x et tout etier o ul, o a u xcospx x u xcospx est aussi uiformémet covergete sur [, ] et doc,, la série de foctios de terme gééral Mais, si p, I p cosx dx Aisi, cosx cospx dx cos + px + cos px dx, et si p, I p δ,p p cos + px + cos px dx cos + px + cos px dx + p N, fxcospx dx p http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés

2 e f est cotiue sur R, -périodique et paire Doc, pour, b f puis a f I a f + I La série cosx est doc la série de Fourier de f et pour, a Soit N et x [α, ] si x s x si x six cos x cos + x cos x cos + x somme télescopique si x + x si Comme x [α, ] ], ], o a si x et doc, N, x [α, ], s x si x si +x si x O e déduit que N, x [α, ], s x siα/ b Soiet et x [α, ] six six + s x s x s x s x + + s x s x + six + s x s x + + s x c Pour et x [α, ], s x + siα/ Comme la série de terme gééral s s x siα/ coverge, la série de foctios de terme gééral coverge ormalemet et doc uiformémet sur [α, ] + d Pour N et x [α, ], s x siα/, et doc s, [α,] quad ted vers + siα/ s Aisi, la suite de foctios coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [α, ] D après c, la série de foctios de terme gééral partielles s + s coverge uiformémet sur [α, ], ou ecore, la suite des sommes + coverge uiformémet sur [α, ] Comme la suite s coverge aussi uiformémet sur [α, ], la suite des sommes partielles de la série de foctios x six coverge uiformémet sur [α, ], ou ecore la série de foctios de terme gééral x six coverge uiformémet sur [α, ] e Pour α ], ] doé, la série de foctios de terme gééral u coverge simplemet vers f sur [α, ], chaque u est dérivable sur [α, ] et, d après d, la série de foctios de terme gééral u coverge uiformémet sur [α, ] http ://wwwmaths-fracefr c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés

3 D après le théorème de dérivatio terme à terme, f est dérivable sur [α, ], et ceci pour tout α ], ] f est doc dérivable sur ], ] et sa dérivée s obtiet par dérivatio terme à terme : x ], ], f x six E particulier, f f Soit x ], ] La série de terme gééral u x cosx est grossièremet divergete E effet, supposos par l absurde que cosx tede vers, alors si x cos x ted vers puis cosx six ted vers six ce qui est absurde Doc f est pas deux fois dérivable terme à terme sur ], ] 3 a Soit ε > Il existe tel que, pour, u L ε Pour +, o a alors v L u L u L u L + u L + ε u L + ε + u L + ε + u L Mais l expressio u L est costate quad varie Par suite, u L ted vers quad ted vers + Il existe doc + tel que, pour, u L < ε Pour, o a alors v L < ε + ε ε O a motré que N, N / N, v L < ε, et doc la suite v coverge vers L b Soiet N et x R \ Z et doc, si x σ x si x cosx si + x si x si + x si x, + x si x R \ Z, σ x + si x c Soiet N et x R \ Z Doc, si x si + x cosx cos + x cosx cos + x si x + x si x R \ Z, si + x si x + x si si x http ://wwwmaths-fracefr 3 c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés

4 d Soiet N et x R \ Z Σ x σ x +x si + si x d après b + + x si x si x si + si x Mais alors, pour x [α, ], Σ x + siα/ Par suite, Σ +,[α,] + Aisi, si +x quad ted vers siα/ la suite de foctios Σ coverge uiformémet vers la foctio costate sur [α, ] e Sur [α, ], la suite σ coverge simplemet vers f D après 3a, il e est de même de la suite Σ De plus, chaque Σ est dérivable sur [α, ] et la suite des dérivées coverge uiformémet vers sur [α, ] et ceci pour tout α ], ] O e déduit que f est dérivable sur ], ] et que f limσ f est deux fois dérivable sur ], ] et x ], ], f x f Pour x ], ], f x f + fx 4 x + a L égalité x Aisi, x ], ], fx x 4 x + 6 f t dt x Par suite, il existe u réel a tel que pour tout x de ], ], fx dx fourit a 4 x [, ], fx f x f x x 4 x + 6 Aisi, t dt Cette égalité reste valable pour x par cotiuité de f e Si maiteat, x [, ], fx x 4 x + 6 x + Efi, si x est u réel quelcoque, il existe u uique etier relatif tel que + x < + à savoir E x x Mais alors, f état -périodique, fx fx Fialemet, x R, fx 4 x E x + x + x E + 6 C f http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés

5 4 a + f 6 puis f et + b Les séries cosidérées coverget uiformémet sur les segmets cosidérés O peut doc itégrer terme à terme Pour x [, ], x fourit six 3 x ft dt x3 x 4 + x 6, puis 4 p cosx 4 + p + 4 et S + 4 p Par suite, S p x4 48 x3 + x p Mais alors, p 4 p p+ 4 6 S O e déduit aussi que x [, ], cosx 4 x x3 x O recommece x fourit p six 5 x5 4 + x4 48 x x 9, puis + p et doc 6 S 6 p + p 6 + p Par suite, S cosx 6 p x x5 4 x x 8 p Mais alors, 96 p S DEUXIEME PARTIE f a est cotiue sur R et -périodique O peut doc calculer ses coefficiets de Fourier f a est paire Par suite, pour N, b f a Puis, a f a a x dx a 3 3 a 3 http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés

6 et pour, a f a 4a 4a x cosx dx a x six dx 4a [ x six ] [ x cosx ] x six dx cosx dx f a est cotiue sur R et de classe C par morceaux sur R D après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f a coverge vers f sur R, ce qui permet d écrire x R, f a x 4a + + cosx Pour x R et N, cosx + a + a, terme gééral d ue série umérique covergete Aisi, la série de foctios de terme gééral x cosx coverge ormalemet et doc uiformémet sur R Puisque chaque foctio +a x cosx +a est cotiue sur R, o e déduit que h a est cotiue sur R D autre part, h a est clairemet paire et -périodique 3 a Pour x R, f a h a x 4a + + a R, h a est cotiue sur R, paire et -périodique + a cosx 4a + a cosx + a b Pour x R, posos ϕ x a et pour, ϕ x 4a4 cosx 3 + a La série de foctios de terme gééral ϕ coverge simplemet vers f a h a sur R et chaque foctio ϕ est de classe C sur R De plus, pour x R et N, ϕ x 4a 4 six + a 4a 4 + a et ϕ x 4a 4 cosx + a 4a4 + a, termes gééraux de séries umériques covergetes Aisi, les séries de foctios de termes gééraux ϕ et ϕ sot ormalemet et doc uiformémet covergetes sur R f a h a est doc de classe C sur R, f a h a et f a h a s obteat par dérivatio terme à terme c Pour x [, ], f a h a x la foctio x 4a 4 + six + a 4a 4 six + a et doc pour x ], [, h a x f a x+4a4 six + a Comme est cotiue sur R, cette foctio admet pour limites e à droite et e à gauche ses valeurs respectives e et à savoir Pour x ], [, f a x a x et doc f a ted vers a e et e Il e est de même de h a E résumé, h a est cotiue sur [, ], de classe C sur ], [ h a a ue limite réelle e et e D après u théorème classique d aalyse, h a est de classe C sur [, ] et e particulier, admet ue dérivée à droite e égale à h a + a et ue dérivée à gauche e égale à h a h a est de classe C sur [, ] h a + a et h a d Pour x R, f a h a x 4a 4 cosx + a a h a x et doc f a h a a h a http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés

7 e Puisque f a et f a h a sot de classe C sur ], [, h a f a f a h a est de classe C sur ], [ et pour x ], [, f a x h a x a h a x, ou ecore h a x a h a x a h a est solutio sur ], [ de l équatio différetielle y a y a, E La foctio x est ue solutio particulière de E sur ], [ D autre part, les deux foctios x chax et x shax sot deux solutios idépedates de l équatio homogèe associée y a y puisque a Les solutios de E sur R sot doc les foctios de la forme x + A chax + Bshax, A, B R Par suite, il existe deux réels A et B tels que, pour x ], [, h a x + A chax + Bshax, ce qui reste vrai pour x ou x par cotiuité de h a e et e A, B R / x [, ], h a x A chax + Bshax f Pour x [, ], h ax aa shax + Bchax x fourit ab a et doc B a Puis x fourit a cha A sha a cha et doc, A sha x [, ], h a x 4a + cosx a cha + chax a shax + a sha 4 x fourit + a cha sha 4a + a >, et doc, + a + a 4a + a cha sha et x fourit a >, + a 4a + a sha La série de foctios de terme gééral a est ormalemet et doc uiformémet covergete sur [, ] + a + a Comme chacue de ces foctios est cotiue sur [, ], la somme l est ecore E particulier, la somme est cotiue e Par suite, lim a + a lim a cha a > 4a + Or, quad a ted vers, sha et o retrouve 4a Soit A > Pour a [, A], et o obtiet pour a > + a d a da [ a a cha a + a3 3 sha d da 4a 4a 6 + o, 6 + a + a + 3 a 3 oa3 + oa 3 4a 3 a + oa 4a 3 + oa 3 + a a + a A O peut doc dériver terme à terme sur [, + [ a cha + sha a cha + 3 sha + 4a [ cha + a shasha a ch a] sh a http ://wwwmaths-fracefr 7 c Jea-Louis Rouget, 7 Tous droits réservés ]