MANIPULATEUR MOBILE. Le chariot qui permet d apporter plus de mobilité et d autonomie au bras manipulateur, se compose d une

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1 MANIPULATEUR MOBILE A - PRESENTATION : L étude concerne un bras manipulateur type cyber 310 muni d un chariot à roues assurant sa mobilité, équipant le laboratoire d électronique et d instrumentation de la F.S.T de Marrakech. L étude, la réalisation et la modélisation cinématique du chariot ont fait l objet d une thèse pour l obtention du diplôme d études supérieures de 3 ème cycle, présentée en La photographie du système et son schéma sont représentés sur le document annexe 1. B - CINEMATIQUE DU CHARIOT : Le chariot qui permet d apporter plus de mobilité et d autonomie au bras manipulateur, se compose d une plate-forme rigide munie de : Une roue directrice R a assurant l orientation du chariot dans le plan horizontal. Deux roues motrices R b et R c assurant le déplacement du chariot. La modélisation cinématique du chariot est représentée sur la figure 1 document annexe 2. Le repère ( ) est lié au sol. Le plan ( ) est le plan horizontal passant par les axes des roues. A la plate-forme (Pf), on lie le repère. On associe à la roue Ra le repère. Hypothèse de l étude : Toutes les roues sont indéformables et ont le même diamètre. Toutes les roues roulent sans glisser sur le sol. Pas de glissement latéral. Question 1 : Sans faire de calcul représenter sur la figure ci-contre Pf à reproduire sur votre copie, la direction des vecteurs vitesses : la position du point I : centre instantané de rotation de Pf/R 0. G A w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 1

2 Question 2 : Exprimer le torseur cinématique du mouvement de la plate-forme par rapport à R 0 au point (I) en fonction des données. Question 3 : Déterminer le vecteur G/R0, sachant que :. Question 4 : En posant :, et pour et faibles, montrer que l on peut écrire l équation d état du chariot sous la forme : Déterminer a 12 et b 2. [ ] [ ] [ ] [ ] C - ETUDE DE LA LIAISON ENTRE L ARBRE DES ROUES MOTRICES ET LA PLATE-FORME : Notation : Dans cette partie on adopte la notation suivante : o Torseur cinématique de la liaison : { } { } o Torseur statique de la liaison : { } { } La liaison pivot entre l arbre des roues motrices et la plate-forme est réalisée en utilisant deux roulements à billes. Afin d améliorer la solution proposée sur la figure 2 du document annexe 2 et de justifier l une des principales règles de montage des roulements, on se propose d étudier son isostatisme. Question 5 : Dresser le graphe des liaisons entre l arbre et la plate-forme. Exprimer le torseur statique associé à chacune des liaisons. w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 2

3 Question 6 : Par une étude statique, déterminer la liaison équivalente et la plate-forme. Evaluer son degré d hyperstaticité. aux deux liaisons entre l arbre Question 7 : Quelle modification proposez-vous pour rendre la liaison isostatique? D - DYNAMIQUE DU BRAS MANIPULATEUR CYBER 310 : Le manipulateur est destiné à différentes taches : manipulation de pièces, peinture, soudage L étude portera sur une tache de manipulation d objet. Il est constitué de 6 solides (figure 3 du document annexe 3), dont les modèles associés sont : Bati 1 : lié au chariot On lui attache le repère. vertical ascendant. Support 2 : repère lié :. Mouvement de 2 par rapport à 1 : rotation d axe. Masse : m 2., de paramètre Bras 3 : repère lié :. Mouvement de 3 par rapport à 2 : rotation d axe.,, de paramètre Centre d inertie : ( et : constantes) Masse : m 3. Opérateur d inertie : (G3, 3) = [ ] w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 3

4 Avant-bras 4 : repère lié :. Mouvement de 4 par rapport à 3 : rotation d axe., de paramètre Centre d inertie : ( : constante) Masse : m 4. Opérateur d inertie : (G4, 4) = [ ] Pince 5 : repère lié :. Mouvement de 5 par rapport à 4 : rotation d axe., de paramètre Centre d inertie : Masse : m 5. Opérateur d inertie : (G5, 5) = [ ] Objet 6 : il est considéré comme ponctuel, en raison de son faible encombrement. Son centre de masse est le point Sa masse est notée : m 6. Hypothèse de l étude : Toutes les liaisons sont sans frottement. Tous les actionneurs des liaisons sont à masse nulle. La pince 5 serre l objet 6. On notera : : actionneur de la liaison entre les solides i et j. w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 4

5 D-1 ETUDE PRELIMINAIRE : Le support 2 est assimilé à un solide représenté sur la figure 4 du document annexe 3, formé de deux plaques planes 2A et 2B assemblées par vis. 2A de masse m 2A et de centre d inertie M, est parallèle au plan. 2A de masse m 2B et de centre d inertie M, est parallèle au plan. L épaisseur e des deux plaques est négligeable devant les autres dimensions. Question 8 : On pose :. : centre d inertie de 2. Déterminer a 2, b 2 et c 2 en fonction de : d 1, d 2, d 3, d 4, m 2A et m 2B. Question 9 : Application numérique : d 1 = 0,4 m d 4 = 0,1 m d 2 = 0,25 m m 2A = 5 kg d 3 = 0,5 m m 2B = 2,5 kg Evaluer a 2, b 2 et c 2. (précision demandée : 0,00). Question 10 : Déterminer littéralement, les expressions des éléments de la matrice d inertie de 2A au point M dans la base, notée : (M, 2A). Déduire sans faire de calcul, les expressions des éléments de la matrice d inertie de 2B au point M dans la base, notée : (M, 2B). Question 11 : Déterminer littéralement les expressions des éléments de la matrice d inertie de 2B au point M, dans la base, notée : (M, 2B). Question 12 : Le solide 2 est en rotation autour de l axe, on s intéressera donc à la détermination de la quantité K 2 : moment d inertie de 2 par rapport à l axe. Exprimer littéralement K 2. w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 5

6 Question 13 : Faire l application numérique pour K 2. (précision demandée : 0,00) Dans la suite du sujet, cette quantité sera notée. D-2 ETUDE DYNAMIQUE : On considère que le chariot est à l arrêt pendant l opération de manipulation de l objet. Le référentiel est alors galiléen. Question 14 : Dresser le graphe des actions mécaniques mises en jeu. Question 15 : L actionneur de rotation M 12 exerce une action mécanique sur 2 représentée par le torseur : { } { } En appliquant le P.F.D au système, trouver l équation permettant d exprimer C 12. (ne pas développer les calculs dans le terme issu du torseur dynamique). Question 16 : (pour cette question, on s intéresse à une évolution horizontale du bras : ) Le paramètre est variable (seul le moteur M 12 est actionné), exprimer C 12 en fonction des données du problème. Question 17 : Quand tous les actionneurs sont à l arrêt, pour maintenir l objet dans une position, il est nécessaire d appliquer des couples de freinage dans les liaisons 4-5, 3-4 et 2-3. On s intéresse au couple de freinage exercé dans la liaison 3-4, noté : C f34 (C f34 >0). Donner l expression de ce couple. (Expliciter clairement toutes les étapes de votre réponse). Question 18 : Dans quel cas de mouvement du chariot, les résultats trouvés dans cette partie resteront-ils inchangés? w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 6

7 Document annexe 1 w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 7

8 Document annexe 2 : Roue motrice gauche A. α : Roue directrice G.. M Plate-forme (Pf) Figure 1 β : Roue motrice droite. : Vertical ascendant G : centre de liaison pivot entre la plate-forme et l arbre des deux roues motrices R b et R c A : centre de liaison pivot entre la plate-forme et la roue directrice R a M : centre de la liaison encastrement entre la plate-forme et le manipulateur Ce montage peut être assimilé à l association de deux liaisons rotules : Figure 2 w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 8

9 Document annexe 3 Figure 3 Les sont constantes. PARAMETRAGE : Figure 4 = w w w. a l 9 a h i r a. w o r d p r e s s. c o m Page 9