Quantification de l énergie pour les systèmes simples

Transcription

1 Les buts de cet mphi Quntifiction de l énergie pour les systèmes simples Chpitre 4 Utiliser le formlisme de l physique ondultoire pour border des problèmes de physique d une grnde importnce prtique Propgtion de prticules microscope à effet tunnel, rdioctivité!" Prticules confinées énergies quntifiées, liison chimique. IBM surfce d un cristl de cuivre, 48 tomes de fer forment une enceinte d un ryon de 7 nm Les deu types de mouvement clssique On considère un potentiel qui tend vers 0 qund r tend vers l infini V (r) = Gmm r 1. Étts liés et étts de diffusion E = E cinétique + V (r) E = 0 énergie O O E < 0 E > 0 étts liés étts de diffusion électrons dns un tome collisions entre prticules

2 Les étts sttionnires de l éqution de Schrödinger L forme des étts sttionnires (1D) Hmiltonien Ĥ = ˆp2 2m + V (ˆ) ˆp = i d d On considère un potentiel qui tend vers qund tend vers l infini V() On s intéresse u étts propres de l hmiltonien Ĥψ α () =E α ψ α () E α : vleur propre réelle (dimension d une énergie) «éqution de Schrödinger indépendnte du temps» Solutions physiquement intéressntes : tend vers 0 qund tend vers l infini Rppel : une fois les ψ(, 0) = α C α ψ α () ψ α () connus, on déduit l évolution de tout étt ψ(, t) ψ(, t) = α C α ψ α () e ie αt/ Remrque : on peut chercher des fonctions propres! " réelles. Si! " est solution, lors! " * est solution pour l même énergie. Si, étt directement éligible comme fonction d onde étt lié se comporte comme une combinison d ondes plnes à l infini : qund On peut l utiliser pour former des pquets d ondes étt de diffusion Etts liés et étts de diffusion Deu théorèmes importnts concernnt les étts liés (1D) Le théorème de Sturm-Liouville (fonctions propres réelles) V() On peut clsser les niveu pr vleur croissnte de l énergie en fonction du nombre de nœuds (points où le signe chnge) de l fonction d onde. V min V() 2 ème étt ecité : 2 nœuds Aucun étt physiquement intéressnt vec E < V min 1er étt ecité : 1 nœud Entre V min et, étts liés en nombre fini ou dénombrble Au dessus de, continuum d énergies : étts de diffusion

3 Deu théorèmes importnts concernnt les étts liés (1D) Le cs de potentiels s (ou «pirs») V() Potentiel V() pr rpport à 0 : 2. L eemple du puits semi-infini 0 On peut chercher les étts propres de sous forme de fonctions pires ou impires. A montrer en eercice, en remrqunt que si est étt propre, lors l est églement énergies:? Les fonctions impires ont toujours u moins un nœud en = 0 Étt fondmentl pir Premier étt ecité impir Deuième étt ecité pir, Conditions de continuité : résumé Recherche des étts de diffusion Potentiel V() continu,borné (cs "réel")!() V() Fonction d'onde #() bornée, continue, 2 fois dérivble étt d énergie E supérieure à E région 1 : 1 2 discontinu, borné ("mrche") bornée, continue, 1 fois dérivble (#''() est discontinue) région 2 : discontinu, non borné ("mur") bornée, continue, non dérivble (#'() est discontinue) Il fut ensuite rccorder ces fonctions en

4 Recherche des étts de diffusion E > (II) Recherche des étts liés En = L, l fonction d onde! et s dérivée! sont continues : étt d énergie E inférieure à région 1 : A sin(kl) =B sin(k L)+C cos(k L) ka cos(kl) =k (B cos(k L) C sin(k L)) k = 2mE/ k = 2m(E ) / E 1 2 Système linéire de 2 équtions à 3 inconnues : pour toute E> on trouve une solution différente de l solution nulle A = B = C = 0 région 2 : Pour toute énergie supérieure à l vleur symptotique du potentiel, on trouve un étt propre!() de l hmiltonien. Il se comporte comme une onde plne à l infini, en B sin(k )+C cos(k ) ou de mnière équivlente en βe ik + γe ik Il fut encore rccorder ces fonctions en... Recherche des étts liés E < (II) Résultts pour le puit semi-infini En = L, l fonction d onde! et s dérivée! sont continues : A sin(kl) =Be KL ka cos(kl) = KB e KL k = 2mE/ K = 2m( E) / Système linéire de 2 équtions à 2 inconnues : on ne trouve ps toujours une solution différente de l solution nulle A = B = 0 Il fut pour cel Continuum d étts libres pour Pour m et donnés, ceci n est possible que pour des vleurs prticulières de l énergie E. Nombre fini d étts liés pour

5 Energie d interction Modélistion de l force nucléire entre un proton et un neutron On ne trouve qu un seul étt lié, et cette liison est fible: 3. L effet tunnel distnce p-n V() E 1 deutéron (noyu de deutérium) prticule d énergie moyenne E < 0? Le coefficient de trnsmission pr effet tunnel Le microscope à effet tunnel Binnig et Rohrer (IBM) Pri Nobel 1986 Le coefficient de trnsmission est non nul, contrirement u cs clssique! Le coefficient de trnsmission vrie eponentiellement vec l huteur et l lrgeur de l brrière nombre ridiculement fible pour des objets mcroscopiques retournement «spontné» d une pièce de monnie : Surfce de Nickel (D. Eigler, IBM) Electron : -E = 1 ev, = 5 Angströms : = 6 Angströms : Le cournt vrie etrêmement vite vec l distnce!

6 Le microscope à effet tunnel Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, Pri Nobel 1986 Le microscope à effet tunnel Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, Pri Nobel 1986 Surfce Métllique Cournt électrique: Effet tunnel! Pointe Métllique Mécnisme de déplcement de l pointe Dessin «rtistique» Appreil complet Imge : un tome est bsent! Mnipultions d'tomes Un nneu d tomes Etpe 1 : L pointe «pousse» les tomes : ils sont rngés un pr un! Etpe 2 : L pointe s éloigne de l surfce : elle «voit» les tomes sns les déplcer Atomes de Fer déplcés sur une surfce de Cuivre 48 tomes de Fer rngés sur une surfce de Cuivre (IBM) Imge «virtuelle» reconstruite pr ordinteur

7 «Bonhomme tomique» «Crbone-homme» Rélisé en disposnt des molécules C-O (oygène et crbone) sur une surfce de pltine (D.M. Eigler, IBM, 1990) Ces imges ne sont ps des photogrphies : personne ne pourrit "voir" cel vec son oeil. Ce ne sont ps non plus des imges de synthèse. Ce sont des visulistions de mesures epérimentles. L rdioctivité lph Röntgen 1895 : les ryons X (photons) émis dns des tubes à ryons cthodiques impressionnent des plques photos Le verre du tube est fluorescent u niveu de l impct du fisceu d électrons Becquerel, février 1896 : qu en est-il de l fluorescence de sels d urnium eposés à l lumière du soleil? et qund il n y ps de soleil??? Pierre et Mrie Curie, 1898 : séprtions chimiques successives sur les sels, puis sur des résidus de mineris d urnium. Ils isolent le polonium et le rdium. Imges etrites de: ``The STM imge gllery ( ) Crctéristiques de l émission!" prticule! = noyu d hélium (Rutherford et Soddy, 1909) énergie de l prticule! : E entre 4 et 9 MeV T (s) 4. temps moyen d émission : T entre 10-6 s et s Gmow 1929 : urnium Le modèle du puits double 10 6 V(r) rdium 228 puits de potentiel lié u forces nucléires E " r répulsion coulombienne E (MeV) ou «comment combiner effet tunnel et puits de potentiel»

8 Modélistion (très simple) de l liison chimique Chngement de conformtion des molécules Deu noyu et un électron (pr eemple l ion H 2+ ) : électron L inversion de l molécule d mmonic NH 3 : structure pyrmidle qui peut se «retourner» comme un prpluie noyu 1 noyu 2 noyu 1 noyu 2 Le «sut tunnel» de l électron de l orbite 1 vers l orbite 2 crée un bissement d énergie, d utnt plus grnd que les noyu sont proches. ttrction entre tomes liison chimique configurtion «guche» configurtion «droite» L étt quntique fondmentl de l molécule est une «superposition» des deu configurtions clssiques «guche» et «droite» Modélistion pr un double puits crré V() G M D $ position du pln des hydrogènes de NH 3 ou position de l électron ssurnt l liison chimique E Les niveu d énergie les plus bs du double puits On fie l lrgeur et on choisit comme unité d énergie. On choisit dns cette unité et on fit vrier l lrgeur $" On s intéresse u niveu d énergie E < : quel est le rôle de l effet tunnel à trvers l brrière? Le puits de potentiel V() est pir : on peut chercher les étts propres de l hmiltonien sous forme de fonctions pires ou de fonctions impires $"

9 Les niveu d énergie les plus bs $" Les niveu d énergie les plus bs $" 2 Unité d énergie: 2 E 20 Deu étts et puits infini de lrgeur 2 10 deu étts pour chque énergie! On dit que le couplge tunnel "lève l dégénérescence" des deu étts initiu E 1, E 2, : niveu d un puits semi-infini de lrgeur puits infini de lrgeur 2 deu étts pour chque énergie! E 1, E 2, : niveu d un puits semi-infini de lrgeur Les premiers niveu d énergie pour une grnde brrière G G Clivge 2A entre les deu étts les plus bs : si D D vec E 0 premier niveu ecité du puits semi-infini (2 étts D ou G) niveu fondmentl du puits semi-infini (2 étts D ou G) électron L origine de l liison chimique noyu 1 noyu 2 noyu 1 noyu 2 R répulsion électrosttique entre noyu Energies propres 2A Le clivge 2A dépend de l distnce R entre les deu noyu étt = orbitle ntilinte étt = orbitle linte R