Ch.1 : Introduction aux systèmes asservis

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1 AUTOMATIQUE C es l ar d analyser, modéliser, commander les sysèmes, de prendre des décisions en foncions d évènemens exérieurs au sysème. Quelques daes e exemples : ~ 5 av JC : compage du emps (clepsydre de esybios) : Régulaeur à boules de James Wa (machine à vapeur) Il perme l adapaion de la viesse de roaion d un arbre à la variaion de la charge. 198 : Régulaeur de viesse auomobile Un capeur renseigne direcemen le calculaeur qui piloe l injeceur pour mainenir la viesse désirée (consigne du conduceur) Ch.1 : Inroducion aux sysèmes asservis Objecifs Définir les performances d un sysème Connaire la srucure d un sysème asservi 1. MISE EN SITUATION Exemple de sysème echnique auomaisé éudié : régulaion d un four Ce sysème es consiué d une résisance qui, parcourue par une inensié i(), perme de chauffer l enceine d un four. Une sonde perme de mesurer la empéraure θ() à l inérieur du four. Ces grandeurs peuven prendre n impore quelle valeur, elles son donc de ype analogique. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 1 / 4

2 Le sysème sera représené de la manière suivane : Une enrée e() (ou consigne) es imposée. Le sysème réagi suivan une sorie s() (ou réponse). Il peu évenuellemen êre soumis à des perurbaions p(). Toues ces grandeurs seron foncion du emps. Resricion d éude du cours d auomaique: Ce cours ne s applique qu aux sysèmes (ou paries de sysèmes) ayan 1 enrée e 1 sorie, de ype analogique. Définiion : Le sysème sera di asservi si la sorie analogique, mesurée, influe sur l enrée.. PERFORMANCES D UN SYSTEME Pour évaluer les performances d un sysème auomaisé, on va enregisrer l évoluion de sa sorie s() en foncion du emps (appelée réponse du sysème), pour un cerain nombre d enrées ypes e() : e() enrée échelon impulsion de Dirac rampe enrée sinusoïdale e() e() e() Par superposiion e décalage de ces enrées de base, on peu générer des enrées plus complexes e réalises (voir TD). 1. Sabilié Un sysème es di sable si à une enrée bornée correspond une sorie bornée. Exemples de réponses de sysèmes : Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page / 4

3 . Précision En réponse à un échelon, plusieurs ypes de réponses peuven êre observés, don par exemple : e() e() Eo Eo Ecar saique : Ecar dynamique : En réponse à une enrée rampe, plusieurs ypes de réponses peuven êre observés, don par exemple : e() e() Ecar de rainage : 3. Rapidié La rapidié es caracérisée par le emps que me le sysème à réagir à une variaion brusque de la grandeur d enrée, par exemple une enrée de ype échelon Eo. Pour la caracériser, on défini le emps de réponse à 5%, noé Tr 5% :.. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 3 / 4

4 Une caracérisique liée à la rapidié es l amorissemen. Un sysème sera correcemen amori si : * Le premier pic de la réponse (s il exise) ne dépasse pas de manière rop imporane la valeur finale * Le nombre d'oscillaions avan sabilisaion es faible : cela perme de ménager la parie mécanique. D'un aure coé, on ne veu pas que le sysème soi excessivemen amori car l'augmenaion de l'amorissemen provoque une diminuion du rendemen du sysème asservi. En effe, l'amorissemen correspond physiquemen à des peres d'énergie : froemens en mécanique, courans de Foucaul en élecricié, peres de charges en hydraulique, ec... Les performances son alors diminuées. Dépassemen Dans le cas du régime oscillan amori, on défini égalemen D1% la valeur du premier dépassemen exprimé en %. S S D D1% 1 1 S S max 1 e() e() Eo Eo 4. Lien enre ces caracérisiques On peu asservir une grandeur d un sysème pour améliorer la précision ou la rapidié de ce sysème, mais on peu alors le rendre insable. Le réglage d un asservissemen consise à rouver le bon compromis enre oues les caracérisiques de précision, rapidié e sabilié. Exemple : Soi le sysème de remplissage suivan, don on veu mainenir la haueur x1 dans le réservoir 1 consane : 3. SYSTEME EN BOUCLE OUVERTE Représenaion du sysème par schémas blocs : Définiion : Un sysème es di en boucle ouvere s il n y a aucun reour d informaion sur la grandeur à commander. Problèmes : - X 1 souhaié respecé que si Q u es consan (e après réglages moeur) - Nécessié réglage Umo si Q u change de valeur, sysème non réacif - Impossible d avoir X1 consan si fuies (perurbaion) Conclusion : Un sysème en boucle ouvere ne peu pas êre précis ni réacif aux perurbaions. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 4 / 4

5 Soluion : Un capeur envoie en emps réel à un boiier de commande l informaion sur le niveau dans le réservoir. Définiion : Un sysème es di en boucle fermée si la grandeur à conrôler es mesurée e agi sur la commande du sysème. 4. SYSTEME EN BOUCLE FERMEE 1 ère schémaisaion : diagramme ibd Le boiier de commande calcule alors l écar enre la valeur souhaiée e la valeur mesurée. Cee valeur éan relaivemen faible, il fau l amplifier pour commander le sysème afin de réduire voire annuler ce écar. ème schémaisaion : schéma bloc Ce sysème es alors di asservi. Le bu de l'asservissemen es d'annuler en permanence l écar enre x1 réel e x1 souhaié, de manière à ce que la sorie suive l'enrée (sysème suiveur), ou si l enrée es consane, de manière à ce que la sorie ne soi pas sensible aux perurbaions du sysème (sysème régulaeur) 5. STRUCTURE GENERALE D UN SYSTEME ASSERVI (consigne) (réponse) Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 5 / 4

6 CORR : PROCESS : Remarque: «enrée» e «mesure» doiven êre des signaux de même naure (ension, posiion, viesse ) Souven, la consigne d enrée es différene de la grandeur physique raiée par le comparaeur. On rajoue alors un adapaeur de consigne. Exemple précéden : 6. CLASSIFICATION DES SYSTEMES ASSERVIS Sysèmes de régulaion : L enrée (la consigne) es consane. Le bouclage ser à rendre le sysème plus précis e moins sensible aux perurbaions Sysèmes asservis : (ou sysèmes suiveurs) L enrée (la consigne) es variable. Le bouclage ser à suivre au mieux la consigne, e à faire face aux perurbaions. Servo-mécanismes : Si la grandeur asservie ou régulée es de ype mécanique (posiion, viesse, effor, couple..) il s agi alors d un servomécanisme (ex. servomoeur). 7. EXEMPLES DE SYSTEMES ASSERVIS Asservissemen de posiion sysème suiveur Régulaion de empéraure Four Consigne Tc Ts - Tc Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 6 / 4

7 Ch. : Modélisaion dynamique des sysèmes Objecifs Définir les ouils pour pouvoir déerminer la sorie connaissan l enrée d un sysème asservi. Noions sur les ransformées de Laplace Modélisaion d un sysème par sa foncion de ransfer. Bu : e() sysème s() 1. EXEMPLES DE MODELISATION Exemple 1 : sysème élecrique : circui RC Mise en équaion : Relaion enrée/sorie : Conclusion : L enrée e la sorie son reliées par une équaion différenielle, die d ordre 1. Exemple : sysème mécanique : suspension auomobile Un obsacle provoque un déplacemen x() de la roue. On cherche alors le déplacemen y() du châssis du véhicule. Problémaique : Mise en équaion : obsacle Caracérisique ressor : Exerce un effor proporionnel à son allongemen depuis sa posiion d équilibre, s opposan au déplacemen. Caracérisique amorisseur : Exerce un effor proporionnel à la viesse d enfoncemen, s opposan à celle-ci. F ressor = F amorisseur = Principe fondamenal de la dynamique appliqué à la masse M : M M/ = F ress + F amor d où Relaion enrée/sorie : e au final : Conclusion : L enrée e la sorie son reliées par une équaion différenielle. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 7 / 4

8 1.Généralisaion e resricion d éude. Sysèmes Linéaires Coninus Invarians Dans le cours d auomaique, on ne s inéressera qu aux sysèmes don la loi de comporemen physique peu êre décrie par une équaion différenielle de ype: e() sysème s().propriéés d un Sysème Linéaire Coninu Invarian Sysème coninu : sysème mean en jeu des signaux coninus. Ainsi les signaux mis en jeux ne seron que des grandeurs analogiques. La mesure e la commande son donc effecuées en coninu.on parle de sysèmes coninus par opposiion aux sysèmes échanillonnés. Sysème invarian : Sysème don la réponse à une exciaion ne varie pas dans le emps. RARE dans l absolu mais souven considéré comme. Sysème linéaire : Obéi au principe de superposiion défini par les propriéés d addiivié e d homogénéié. Un sysème dynamique linéaire peu êre décri par une équaion différenielle à coefficien consan. s( ) Conséquence : En régime permanen (c.a.d après un cerain emps où enrée e sorie se sabilisen), on a la courbe ci-conre. e( ) 3.Exemples de non-linéarié Linéarisaion auour d un poin de foncionnemen : Si le sysème n es pas linéaire, on peu oujours le modéliser par une équaion différenielle linéaire. Elle ne raduira alors la réalié du sysème qu auour d une ceraine valeur de l enrée appelée poin de foncionnemen. 4.Problème posé Soi un SLCI don le comporemen peu êre décri par l équaion différenielle suivane: S S S N E caracérisique linéarisée auour du poin de foncinnemen E E N Connaissan e(), on veu connaîre s(), ou inversemen, s imposan s() pour saisfaire le cahier des charges, on veu connaîre la loi de piloage e() du sysème. Dans ous les cas, il fau résoudre l équaion différenielle régissan le foncionnemen du sysème. Dans les cas simples (ordre 1 ou, coefficiens b1 à bn nuls ), la résoluion es abordable. Pour les aures cas, un aure ouil mahémaique es nécessaire : Les ransformées de Laplace. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 8 / 4

9 31.Définiion 3. LES TRANSFORMEES DE LAPLACE Soi f, une foncion réelle de la variable réelle (On ravaillera oujours en variable emporelle dans le cours d'asservissemens) e définie pour >. On appelle ransformée de Laplace de f, la foncion F(p), définie par : où p es une variable complexe «jouan le rôle du emps». Noaion : Connaissan une foncion f(), on peu calculer mahémaiquemen sa ransformée de Laplace. En praique, le nombre de foncions d enrées de sysèmes éan limié, on uilisera direcemen des résulas fournis par des ableaux (voir annexe). Transformée inverse de Laplace : C es l opéraion qui consise, à parir d une ransformées de Laplace connue, d en déduire la foncion f(). Noaion : De même, on procèdera par analogie e ableaux pour faire cee déerminaion inverse. 3.Propriéés Unicié : Linéarié : Considérons des foncions du emps f1() e f(). Posons F1(p) = L[ f1 () ] F(p) = L[ f () ] Alors : a : réel Théorème du reard : L[ f1 () + f () ] = L[ a. f1() ] = L[ f ( - ) ] = Transformée de Laplace d une dérivée : On démonre que : e que Si les condiions iniiales son nulles : f (+ ) = f (+) = ( condiions de Heaviside ) : Dériver dans le domaine emporel revien à muliplier par p dans le domaine de Laplace. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 9 / 4

10 Transformée de Laplace d une inégrale : Posons g() = f() d. On démonre que : Si les condiions iniiales son nulles : g (+ ) = ( condiions de Heaviside ) : Inégrer dans le domaine emporel revien à diviser par p dans le domaine de Laplace. Théorèmes des valeurs iniiale e finale : Ces héorèmes permeen, connaissan la ransformée de Laplace d une foncion f(), de déerminer les valeurs de f pour = ou = lim f() = lim f() = sous réserve que ces limies exisen 33.Transformées de Laplace de foncions d enrées usuelles Dans les sysèmes asservis éudiés, les enrées courammen uilisées son : Foncion échelon : Foncion de Dirac : Foncion rampe : Foncion sinusoïdale : Uo Uo L[ u() ] = L[ () ] = L[ f() ] = L[ f() ] = 34.Aures ransformées de Laplace usuelles voir ableau en annexe 35.Uilisaion des ransformées de Laplace Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 1 / 4

11 41.Définiion 4. FONCTION DE TRANSFERT D UN SYSTEME On appelle foncion de ransfer du sysème ( ou ransmiance ) le rappor noé H : e() Sysème s() E(p) Sysème S(p) H(p) = domaine emporel domaine symbolique Zéros e pôles Pour un sysème linéaire : Zéros : racines de N(p) = Pôles : racines de D(p) = Inérê de déerminer les pôles : - On démonre qu un sysème es sable si ses pôles son des réels négaifs, ou si leurs paries réelles son oues négaives. - La naure des pôles nous renseigne sur l allure de la sorie. Exemple pour une enrée Dirac : Forme canonique On peu oujours mere H(p) sous la forme : Mere H sous forme canonique consise à écrire H(p) sous la forme ci-dessus. On défini alors : le gain saique : la classe : l ordre : Inérê : Ces nouveaux coefficiens von faire apparaîre des grandeurs caracérisiques du mécanisme comme des consanes de emps, pulsaions propres, amorissemens qui nous renseigneron sur le comporemen du sysème sans pousser plus loin les calculs (voir chapires suivans). Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 11 / 4

12 4.Modélisaion par schéma blocs Bloc : Représenaion d un composan avec sa foncion de ransfer : signifie : S( p) G( p). E( p) Blocs en cascade : Addiion-Sousracion signifie : S( p) E ( p) E ( p) E ( p) 1 3 Voir annexe : manipulaion de schémas blocs. 43. Foncion de ransfer d un sysème asservi La srucure générale d'un asservissemen se présene souven ainsi : On appelle : Chaine direce : Foncion de Transfer de la Chaine Direce : Foncion de ransfer en boucle ouvere : Foncion de Transfer en Boucle Ouvere : FTBO( p) C( p). A( p). H( p). B( p) Foncion de ransfer du sysème asservi : On l appelle aussi Foncion de Transfer en Boucle Fermée : Formule de Black Remarque : Tou sysème peu se mere sous la forme : On l appelle sysème à reour uniaire. Ici,, e la formule précédene s applique. 44. Cas pariculiers Sysème proporionnel H( p) - es le coefficien d amplificaion saique (gain saique) du sysème ex : résisance, ressor, engrenages e() cas < 1 s() s( ) e( ) Sysème dérivaeur H( p) p e() s() d e() s() d - es le coefficien d amplificaion saique (gain saique) du sysème ex : condensaeur, amorisseur visqueux Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 1 / 4

13 Sysème inégraeur H( p) p - es le coefficien d amplificaion saique (gain saique) du sysème. Ex : inducance e() s() d s() e() d Sysème du premier ordre : Voir chapire 3. Sysème du second ordre : Voir chapire Méhodes de déerminaion de foncions de ransfer Méhode analyique : o o o Pour chaque bloc, on écri : S (p) = H (p).e (p) (S e E son les sorie e enrée du bloc, H sa FT) On exprime les relaions de sommaion/sousracion On élimine les grandeurs inermédiaires pour exprimer S(p) en foncion de E(p) Méhode de manipulaion des blocs : Voir annexe o o En déplaçan des lignes de dérivaion ou des poins de sommaion, on modifie un schéma bloc complexe de manière à ne faire apparaire que des boucles indépendanes (le schéma modifié n a aucune réalié physique ). On applique alors la formule de Black auan de fois que nécessaire pour avoir la FT finale. Méhode expérimenale : Modèle de comporemen Si le sysème es complexe, mal connu ou si les hypohèses pour qu il suive les lois de la physique son rop resricives, alors le sysème es considéré comme une boîe noire e une représenaion équivalene du comporemen es déerminée expérimenalemen. On recherche le modèle mahémaique qui, soumis aux mêmes solliciaions d enrée e() que le sysème réel, donne une réponse s() idenique à celle obenue expérimenalemen (voir chapire 3 : idenificaion). Rem : il es possible de fixer à priori l ordre du modèle éudié. Plus l ordre es élevé, plus la précision du modèle sera grande, mais plus l équaion différenielle sera lourde à raier. D aure par, les résulas d expérience ayan un domaine de validié resrein (erreurs de mesure possibles, répéiivié des résulas ), il n es généralemen pas nécessaire de rechercher un modèle rop fin pour décrire correcemen le comporemen du sysème (l ordre suffi pour la plupar des applicaions). 5. INTEGRATION DE PERTURBATIONS DANS UN SYSTEME Une perurbaion peu êre modélisée de manière rès générale par une ème enrée p() inervenan au milieu de la chaîne d acion d un sysème. On peu alors proposer le schéma bloc général ciconre. P(p) E(p) + - H3(p) H1(p) + + H(p) S(p) On peu alors : G(p) soi définir S(p) en foncion de E(p) e P(p) algébriquemen, soi procéder par superposiion : considérer le sysème pour E(p) e P(p) =, d où S1(p) considérer le sysème pour E(p) = e P(p), d où S(p) La sorie oale sera alors S(p) = S1(p) + S(p) Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 13 / 4

14 Ch. 3 Analyse emporelle des sysèmes Objecifs - acquérir la méhodologie d éude des réponses emporelles d un sysème - déerminer e caracériser la réponse emporelle d un sysème du premier e deuxième ordre soumis à différenes solliciaions, - d idenifier les valeurs des paramères caracérisiques à parir de la courbe de réponse expérimenale d un sysème. 1. METHODOLOGIE D ETUDE DES REPONSES TEMPORELLES D UN SYSTEME Supposons un sysème modélisé don on connai la foncion de ransfer H(p). Ce sysème peu êre un sysème bouclé ou non. On souhaie connaire e racer s() pour ceraines enrées e() pariculières. e() s() Méhodologie : passer du domaine emporel au domaine de Laplace déerminer S(p) pour une enrée donnée revenir à s() par ransformaion inverse de Laplace à l aide des ableaux. E (p) H (p) S (p) D une manière générale S(p) aura la forme d une fracion raionnelle du ype S p k( p z )( p z )... 1 ( ) ( i) p( p p1)( p p)... où par exemple ici p es un pôle de ype racine muliple (de degrés ), Pour uiliser la ransformée inverse de Laplace, il fau mere S(p) sous la forme : S p A k A A A ii 1 3 ( ) 4... ( ) p ( p p1 ) ( p p) ( p p). (décomposiion en élémens simples) La déerminaion des coefficiens A i peu êre réalisée de plusieurs façons : - en développan les formes (i) e (ii) e en idenifian erme à erme méhode lourde - en considéran des valeurs pariculières de p bien choisies - si i, j,on a z i p j, en considéran l éude de Lim( p p ) S( p) dans le cas où p i es racine simple, p pi i l éude de Lim( p p ) S( p) dans le cas où p i es racine muliple avec le degré maximum de la racine. Remarques : p pi i On éudiera uniquemen les solliciaions d enrée du ype impulsion de Dirac, échelon ou rampe. Pour racer s(), on s aidera du héorème des valeurs iniiale e finale. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 14 / 4

15 . APPLICATION AUX SYSTEMES DU 1 er ORDRE 1 Définiion d un sysème du 1 er ordre Le sysème peu êre modélisé par une équaion différenielle du ype ci-dessous. Si oues les condiions iniiales son nulles, on a : ds() L. s( ). e( ). p. S( p) S( p). E( p) H(p) = d = = Exemples : circui RC pour lequel = RC e = 1, moeur à couran coninu (avec inducance négligeable) Réponses emporelles Nous éudions les caracérisiques de la réponse d un sysème du 1 er ordre pour les différenes enrées usuelles..1 Réponse à une impulsion Dirac e() = δ() E( p) 1 S( p) 1. p s() = Propriéés :. p - applicaion du héorème de la valeur iniiale : lim s( ) lim p. S( p) lim, p p 1. p p. - applicaion du héorème de la valeur finale : lim s( ) lim p. S( p) lim, p p 1. p - la angene à l origine coupe l axe des abscisses en = - en, la réponse es elle que : s(τ) =,37. /τ s() Remarque : si la réponse expérimenale d un sysème soumis à une impulsion de Dirac correspond à celle du graphe ciconre, son comporemen es modélisable par celui d un 1 er ordre de gain e de consane de emps obenus par idenificaion sur la courbe. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 15 / 4

16 . Réponse indicielle : enrée de ype échelon e() = Ec.u() s( ). E (1 e ). u( ) e( ) E. u( ) c Sysème du premier ordre L L -1 c Ec E( p) p 1 p S( p) E. c p(1. p) A B 1 E. c p 1p p 1p Valeurs limies : Valeur iniiale : Valeur finale : Ec lim s( ) lim p. S( p) lim p p1 p E. c lim s( ) lim p. S( p) lim. E p p 1 p c asympoe horizonale de valeur.e c Pene à l origine : d s(). E. p. E d p c c lim lim p. S( p) lim p p 1 Poins caracérisiques : pour =, s() =.E c (1 e -1 ) =,63..E c emps de réponse à 5% s() Remarque : si la réponse expérimenale d un sysème soumis à un échelon uniaire correspond à celle du graphe ci-conre, son comporemen es modélisable par une FT du 1 er ordre. Le gain e de consane de emps son obenus par idenificaion sur la courbe, c-a-d en raçan les asympoe e pene à l origine e en lisan les valeurs correspondanes. Paricularié : La angene à l origine d un 1 er ordre es de pene non nulle. Imporan : dans les cas où = 1, S, le sysème es précis. dans les cas où 1, pour suffisammen grand, ( S ) 1 Ec, la consigne n es jamais aeine. Performances d un sysème du 1 er ordre : - précision : liée à la valeur du gain saique, si = 1 le sysème es précis, - rapidié : liée à la valeur de la consane de emps, le emps de réponse à 5% es el que r5% 3., - sabilié : un sysème du 1 er ordre es oujours sable, son pôle, égale à 1, es négaif. er Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 16 / 4 1

17 .3 Réponse à une enrée de ype rampe e() = a..u() a a. 1 E( p) S( p) S( p) a.. p p.(1. p) p p 1. p / soi s( ) a... e. u( ) Propriéés : a. - applicaion du héorème de la valeur iniiale : lim s( ) lim p. S( p) lim, p p p(1. p) a. - la angene à l origine a pour pene lim s '( ) lim p. S( p) lim, angene horizonale, p p1. p - en, l asympoe es de pene a. e a pour équaion y( ) a. ( ), elle coupe l axe des abscisses en =, - la réponse ne rejoin jamais la consigne d enrée, pour = 1, la réponse sui la consigne avec un reard, pour 1, la réponse s écare indéfinimen de la consigne., e() e() e() =1 >1 <1 Remarque : si la réponse expérimenale d un sysème soumis à une rampe correspond à celle des graphes précédens, son comporemen es modélisable par celui d un 1 er ordre de gain e de consane de emps obenus par idenificaion. 3 Influence de l asservissemen sur un 1 er ordre Soi un sysème du 1 er ordre H( p) 1. p asservi avec un reour uniaire. = 1 S( p) H ( p) FTBF( p) 1 E( p) 1 H( p) 1. p 1 en posan BF BF e BF FTBF ( p) p Le sysème bouclé es donc lui aussi un sysème du 1 er ordre de gain BF e de consane de emps τ BF. Imporan : le sysème bouclé es plus rapide que le sysème non bouclé, car τ BF < τ, plus le gain es grand, plus le emps de réponse es faible e plus le sysème es précis. BF Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 17 / 4

18 3. APPLICATION AUX SYSTEMES DU eme ORDRE 1 Définiion d un sysème du ème ordre Le comporemen d un sysème du deuxième ordre es caracérisé par une équaion différenielle du deuxième ordre à coefficiens consans qui peu se mere sous la forme : z ds 1 d s s( )... e( ) d d La foncion de ransfer d un sysème du deuxième ordre a la forme canonique suivane : o H( p). z 1 1. p. p o avec : = gain saique du sysème (unié : dépendane du sysème éudié), = pulsaion propre non amorie du sysème (unié : pulsaion en rad/s), z = coefficien d'amorissemen du sysème (sans unié). Exemple : circui RLC, amorisseur, moeur avec inducance non négligée... Forme canonique Réponse indicielle (enrée de ype échelon Ec ) L E E. E. e( ) Ec. u( ) E( p) S( p). p p p p m p c c c. m z 1 1. p. p.. z.. Propriéés : - applicaion du héorème de la valeur iniiale : - la angene à l origine a pour pene - applicaion du héorème de la valeur finale : lim s( ) lim p. S( p), p lim s'( ) lim p. S( p) p asympoe horizonale en =, lim s( ) lim p. S( p) Ec asympoe de valeur Ec. p Afin de déerminer la réponse emporelle, il es nécessaire de décomposer S(p) en élémens simples. Sa décomposiion en élémens simples nécessie la recherche des racines de la foncion. Le discriminan de cee foncion es d amorissemen z. 4..( z 1). Les racines r 1 e r dépenden donc du faceur On disingue 3 cas : z (amorissemen élevé) ou 1 racines réelles < r z z r z z.. 1 z ou 1 1 racine double < r z (amorissemen faible) ou 1 racines complexes conjuguées r z. j. 1 z r z. j. 1 z 1 Remarque : dans les rois cas, les paries réelles des pôles son oues négaives, ce qui assure la sabilié de la réponse e l applicaion du héorème de la valeur finale. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 18 / 4

19 1 er cas : z 1 (sysème amori). ( ) E c S p. Ec.. A B C, après calcul, il vien p.( p r1 ).( p r ) p p r1 p r e e s()=.ec s u. z 1 r. r1. ( ). 1.. ( ) r r1 réponse amorie (régime apériodique) s() s() z >1 Remarque : Le comporemen du sysème du ème ordre es dans ce cas comparable au comporemen d un sysème du 1 er ordre. Le 1 er ordre réagi plus vie (pene à l'origine non nulle). ème cas : z 1 (sysème criique).. ( ) E c S p. E. c. A B C, après calcul, il vien p.( p r) p p r ( p r) s E e u ( ). c 1 (1 ).. ( ) s() z =1 On obien la réponse la plus rapide sans dépassemen de la valeur finale. Remarque : Ce cas z 1 es peu probable, la valeur réelle de z n éan jamais exacemen égale à 1 (fabricaion e réglages insuffisammen précis). Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 19 / 4

20 3 ème cas : z 1 (sysème oscillan ou sous-amori).ec.ec 1. 1 z S( p) p p r p r ( ) p. z. p z z.( 1).( S p ) 1. 1, il vien ds().ec. z par applicaion du héorème de la dérivée : d 1 z. e.sin 1 z.. u( ) Le calcul de s() se poursui en réalisan deux inégraions par paries successives, on obien : en posan 1 z s()=.ec. 1. e.sin 1 z.. u( ) 1 z réponse oscillaoire sous-amorie. an 1 z z La réponse présene la forme d une sinusoïde amorie pseudo périodique : - de période : T. 1 z P La valeur en régime permanen es égale à.ec Le dépassemen D1 es obenu au emps 1 qui correspond à la ½ pseudo-période Tp. s() D 1 - de pulsaion propre.e c D k Le dépassemen D k es obenu au emps k k k. 1 z e vau Tp/ Tp 1 La valeur du premier dépassemen (rès imporane dans les applicaions) ne dépend que du coefficien d'amorissemen. On la donne souven en pourcenage de la valeur finale : Remarque : dans le cas où z = (pas d amorissemen), la réponse es sinusoïdale de pulsaion, ce qui jusifie le nom de pulsaion propre non-amorie donné à. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page / 4

21 Temps de réponse : ω.t 5% Pour déerminer le emps de réponse à 5% d un sysème du nd ordre il n y a pas de formule. ω.t 5% Il peu se déerminer graphiquemen sur la réponse A un échelon, ou à l aide de l abaque ci-conre. ω.t 5% en foncion de z z Réponse à un échelon d ampliude E c d un sysème du second ordre :.E c z Pour z=1, on obien la réponse la plus rapide SANS dépassemen de la valeur finale. Pour z,7, on obien la réponse la plus rapide AVEC un dépassemen D 1 de 5% 3 Réponse à une impulsion de Dirac avec D(p) de discriminan.. E( p) 1 S( p) ( z 1).. z 1 p p. z.. p p D( p) Premier cas z >1 (sysème amori). z z 1 z ( ).. 1. ( ) s e e e u. z 1 réponse amorie (régime apériodique) Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 1 / 4

22 Deuxième cas z =1 (sysème criique) L'allure de la réponse serai comparable à celle obenue dans le cas précéden (régime apériodique). Troisième cas z <1 (sysème sous-amori). s e z u 1 z z ( ). sin 1. ( ) réponse oscillaoire sous-amorie Le régime es pseudo périodique de pseudo-période T. 1 z Différenes réponses, selon les valeurs de z, d un sysème du ème ordre à une enrée Dirac. 4 Influence de l asservissemen sur un ème ordre Dans le cas où le sysème du ème ordre H( p). z 1 1. p. p es asservi avec un reour uniaire, S( p) H( p) FTBF( p) 1 E( p) 1 H ( p). z 1 1. p. p (1 ). (1 ). en posan BF, BF 1 e z 1 BF, z BF FTBF( p) 1. zbf 1 1. p. p BF BF Le sysème bouclé es donc lui aussi un sysème du ème ordre de gain BF, de pulsaion propre non amorie ω BF e de coefficien d amorissemen z BF. Imporan : - le sysème bouclé es moins amori que le sysème non bouclé, car z BF < z, l asservissemen a endance à produire des dépassemens ou à augmener leurs ampliudes si le sysème en boucle ouvere en présene déjà, - plus le gain es grand, plus le sysème es précis e rapide, ce qui semble conduire à rechercher un gain maximum par rappor aux 3 crières de performances reenus : précision, rapidié e sabilié. Cependan une valeur rop imporane du gain enraîne des dépassemens plus imporans. La plupar du emps, un correceur es ajoué dans la chaîne direce afin d aeindre les performances souhaiées. Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page / 4

23 ANNEXE 1 : TRANSFORMEES DE LAPLACE Soi f() une foncion de la variable réelle, supposée nulle pour ou < e définie sur [,+ [. Si p es une variable complexe, e si l inégrale es définie sur un domaine de e on écri : non vide e non rédui à un poin, on di que f() es ransformable au sens de Laplace, Transformées usuelles F(p) es la ransformée de Laplace de f() ; f() es l originale de F(p). (>) F(p) (>) F(p) ( ).u() u() a.u().u().u().u().u().u().u().u().u() Propriéés (>) F(p) (>) F(p) héorème de la valeur iniiale : héorème de la valeur finale : Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 3 / 4

24 ANNEXE : MANIPULATION DE SCHEMAS BLOCS Ces manipulaions permeen de ransformer ou sysème complexe en un sysème simple don on peu déerminer la foncion de ransfer à parir d la foncion de ransfer de chaque bloc Élémens en cascade Élémens en parallèle Mise en reour uniaire Éliminaion d une boucle de reour Déplacemen avan d un poin de sommaion ou d un comparaeur Déplacemen arrière d un poin de sommaion ou d un comparaeur Déplacemen avan d un poin de dérivaion Déplacemen arrière d un poin de dérivaion Lycée Vauvenargues PTSI Auomaique page 4 / 4