2) Exemples: a) Au I)2) on a vu que la parabole: y =x 2, est la conique de foyer F( ; ) de directrice d: d excentricité e =

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1 CONIQUES I) Introdution: 1) Origine du mot «onique»: 2) Etude d une paraole: a) Construire la paraole d équation: y = x 2, dans un R.O.N.(O, i, j ) ) M est le point de la paraole, d asisse a. Déterminer une équation de la tangente à la paraole en M ) T est le point d intersetion de la tangente en M, à la paraole et de l axe (Ox) m est le projeté orthogonal de M sur l axe (Ox). Montrer que T est le milieu de Om d) La perpendiulaire, à la tangente, passant par T, oupe l axe (Oy) en F, et oupe la parallèle à (Oy) passant par M en P i) Montrer que les points P et F sont symétriques par rapport à la droite (MT) ii) Vérifier que les oordonnées de F sont indépendantes de a iii) Vérifier que l ordonnée de P est indépendante de a iv) En déduire que tout point M de la paraole est à égale distane de F et d une droite à préiser II) Généralités: 1) Définition: F est un point ; d est une droite qui ne passe pas par F ; e est un réel stritement positif L ensemle, des point M tels que: d(m,f) = e.d(m,d) est la onique de foyer F, de diretrie d et d exentriité e 2) Exemples: a) Au I)2) on a vu que la paraole: y =x 2, est la onique de diretrie d: d exentriité e = ) F est un point situé à 3m. d une droite d i) Construire «points par points», la onique de foyer F, de diretrie d et d exentriité 2 ii) idem ave une exentriité de 1 2 3) Axe foal et sommet(s) d une onique: a) Définition: La perpendiulaire à d passant par F, est appelé l axe foal de la onique, est un axe de symétrie de la onique ) On appelle K, le projeté orthogonal de F sur d Etudier suivant les valeurs de e, le nomre de point(s) d intersetion de la onique, et de l axe foal ) Définition: Les points otenus au 3)) sont appelés le(s) sommet(s) de la onique On retiendra: Si e = 1, la onique, s appelle une Si e < 1, la onique, s appelle une

2 Si e > 1, la onique, s appelle une 5) Exerie: G est le graphe dans un R.O.N. (O, i, j ), de la fontion f(x) = 1 x Démontrer que G est l hyperole de foyer F( 2 ; 2 ) de diretrie d : x + y - 2 =0 d exentriité e = 2 III) Equation artésienne des oniques : 1) Cas général: On onsidère un repère orthonormé (O, i, j ) On onsidère le point F(; ) et la droite d: ux + vy + w = 0 (ave u+ v+ w 0) Compléter: M(x;y) En déduire que admet une équation artésienne du type: ax 2 + xy + y 2 + 2dx + 2ey + f = 0 2) Paraole, équation réduite: a) Préliminaires: est la paraole de foyer F et de diretrie d et d exentriité e = K est le projeté orthogonal de F sur d On note p la longueur FK ; FK = p (p 0) Soit S le sommet (milieu de KF) de la paraole On onsidère le R.O.N. (S, i, j ) ave j olinéaire et de même sens que le veteur SF ) Compléter: F( ; ) ; d: M(x;y) ) Réiproque: On onsidère un R.O.N. (O, i, j ), et p un réel non nul Montrer que l ensemle des points M(x;y) tels que x 2 = 2py est une paraole dont on déterminera le foyer et la diretrie d) Remarque: Dans le R.O.N. (O, i, j ) Dans le R.O.N. (O, j, i ) x ; y ) ; ) Posons x = y et y = x : x 2 = 2py est la de diretrie: d : : y 2 = 2px est la de diretrie: d : : x 2 = 2py est la de diretrie: d : On retiendra: p est un réel non nul. Dans le R.O.N. (O, i, j )

3 : x 2 = 2py est la de diretrie: d : : y 2 = 2px est la de diretrie: d : Voaulaire: Les équation i-dessus sont des équations réduites de la paraole KF = p est le paramètre de la paraole 3) Ellipse, Hyperole, équation réduite: a) Préliminaires: est la onique de foyer F de diretrie d et d exentriité e 1 K est le projeté orthogonal de F sur d D après II)3))) a deux sommets S 1 et S 2, qui vérifient: S 1 F e.s 1 K et S 2 F e.s 2 K Remarque: e > 0 don S 1 FK Soit O le milieu de S 1 S 2 ; On pose: OS 1 = a ( a 0 ) et OF = On onsidère le R.O.N. (O, i, j ) tel que i soit olinéaire et de même sens que le veteur OF Remarque: OF =. i i) Montrer que: (1+e).OS 1 ii) En déduire que: OF = e.os 1 Remarques: e > 0 ; OS 1 don OS 1 don OS 1 iii) En déduire que: e = a Remarque: F( ; ) ; d: OF e.ok et OS 1 et que: (1-e).OS 2 = e.ok OF e.ok est olinéaire et de même sens que le veteurof est olinéaire et de même sens que le veteur i a. i ) Compléter: M( x ; y ) et OK = a 2. i On retiendra: Dans le R.O.N. (O, i, j ) la onique, de foyer F( ; 0 ) de diretrie d: x = a 2 a pour équation artésienne:: x2 a 2 y 2 a d exentriité e = a ) Remarques: i) M( x ; y ) M ( x ; - y ) M ( - x ; y ) (Ox) (axe foal) et (Oy) (axe non foal) sont des axes de symétrie de O est entre de symétrie de ii) On peut alors définir par symétrie par rapport à (Oy), un autre foyer F et une autre diretrie d

4 est aussi la onique de foyer F, de diretrie d et d exentriité e d) Equation réduite de l ellipse: 0 e 1, don a, don F S 1 S 2 On pose: = a 2 2 l équation réduite de l ellipse est: x2 a y Voaulaire: Les points B 1 (0;) et B 2 (0;-) sont des points de l ellipse, ils sont sur la médiatrie de S 1 S 2 ; et a don B 1 B 2 S 1 S 2 (S 1 S 2 ) est le grand axe de l ellipse et (B 1 B 2 ) est le petit axe de l ellipse e) Equation réduite de l hyperole: e 1, don a, don F S 1 S 2 On pose: = 2 a 2 l équation réduite de l hyperole est: x2 a 2 y2 2 1 f) Exerie: On onsidère un R.O.N. (O, i, j ). Montrer que l hyperole: H : x2 a y ) N a auun point sur la médiatrie de S 1 S 2 2) -a < < a. N a auun point d intersetion ave les droites: d : x = g) Réiproque: On onsidère un R.O.N. (O, i, j ) h) Remarque: i) (on suppose: a > > 0) Démontrer que : x2 a y2 2 2 donnera les éléments aratéristiques, ave S 1 ( a ; 0 ) et S 2 ( - a : 0 ) ii) Démontrer que : x2 a y2 1 est une hyperole dont on donnera les éléments aratéristiques 1 est une ellipse dont on Dans le R.O.N. (O, i, j ) Dans le R.O.N. (O, j, i ) x ; y ) ; ) Posons x = y et y = x : x2 a y ( a > > 0 ) = e = est l de diretrie: d : : x2 a y ( 0 < a < ) = e = est la de diretrie: d : : x2 a y = e = est l : x' 2 y' 2 2 a 2 1 ( > a > 0 ) = e = est la de diretrie: d :

5 de diretrie: d : : - x2 a y = e = est l de diretrie: d : On retiendra: : x' 2 y' 2 2 a 2 1 = e = est l de diretrie: d : ELLIPSE : a y Exentriité e Foyer F Diretrie assoiée x = a 2 0 < < a a 2 2 a F( ; 0 ) 0 < a < 2 a 2 F( 0 ; ) x 2 y = 2 On retiendra: a > 0 ; > 0 HYPERBOLE : x 2 a 2 y2 2 1 Exentriité e Foyer F Diretrie assoiée a 2 2 x = a 2 a F( ; 0 ) HYPERBOLE : a y Exentriité e Foyer F Diretrie assoiée a 2 2 y = 2 F( 0 ; ) - x2 Remarque: Si a = Alors : x2 a 2 y2 a 2 1 est IV) Constrution d ellipses et d hyperoles à partir de leurs équations réduites: 1) Ellipse: On onsidère un repère orthonormé (O, i, j ) On onsidère l ellipse d équation: E : x2 a y2 2 1 supposons a > 2 Pour des raisons de symétrie il suffit de onstruire la portion d ellipse ontenue dans le premier quadrant ( x 0 et y 0 ) puis de ompléter par symétrie par rapport à a) Montrer que dans le premier quadrant M(x;y) E y = a a 2 x 2 )i) Dresser le taleau de variation de f(x) = a 2 x 2 a ii) Etudier les tangentes à E aux points d asisses: 0 et a iii) Construire E, lorsque a = 3 et = 1 iv) Plaer sur le graphique les foyers et les diretries et déterminer e

6 2) Hyperole: On onsidère un repère orthonormé (O, i, j ) On onsidère l hyperole d équation: H : x2 a 2 y2 2 1 a) Montrer que dans le premier quadrant M(x;y) H y = a x 2 a 2 )i) Dresser le taleau de variation de f(x) = x 2 a 2 a ii) Etudier la tangente à H au point d asisse: a iii) Etudier les asymptotes au graphe de f iv) Construire H, lorsque a = 3 et = 1 v) Plaer sur le graphique les foyers et les diretries et déterminer e ) Remarques: i) Dans le R.O.N. (O, i, j ) Dans le R.O.N. (O, j, i ) ; ) ; ) Posons x = y et y = x : x2 a y2 1 est l d asymptotes: y = et y = : - x2 a y2 1 est l d asymptotes: y = et y = : x' 2 y' 2 1 est l 2 a 2 d asymptotes: y = et y = ii) Lorsque a = les asymptotes sont les droites: on dit que l hyperole est équilatère, elles sont On retiendra: Dans le R.O.N. (O, i, j ) : x2 a y2 1 est l d asymptotes: y = et y = : - x2 a y2 1 est l d asymptotes: y = et y = 3) Coures d équations: x2 p y2 q 1 (p et q sont des réels non nuls), dans un R.O.N.: a) Déterminer la nature et les éléments aratéristiques et onstruire les oniques : x2 25 y ; 2 : x 2 + y2 2 = 1 ; 3 : 2x 2-2y 2 = 1 ; 4 : 2y 2 - x 2 = 2 On retiendra: : x2 p y2 q 1 Si p et q sont négatifs Alors est Si p et q sont distints et positifs Alors est

7 Si p et q sont égaux et positifs Alors est Si p et q sont de signes ontraires, Alors est V) Coures d équations: : ax 2 + y 2 + 2x + 2dy + f = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) : 1) 1 er as: a et sont deux réels non nuls Compléter: M(x;y) a(x+ ) 2 + (y+ ) 2 + f - = 0 1 er sous-as: Si = 0 1 er sous-sous-as Alors 2 ième sous-sous-as Alors Voaulaire: Dans les deux as i-dessus, on dit que est une onique 2 ième sous-as: Si 0 Alors: M(x;y) (x ) 2 (y )2 1 u v ave u = et v = Don le point M ( ; ) image du point M(x;y) par la translation de veteur u ( ; ) est un point de la oure d équation:, or M est l image de M par Don est l image de la oure d équation : par la translation de veteur On retiendra: Pour onstruire : ax 2 + y 2 + 2x + 2dy + f = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) (ave a. 0) on onstruit la oure d équation : x2 u y2 v ) 1 dans le repère (, i, j ) ave: ( ; 2) 2 ième as: L un des réels a et est nul (supposons a = 0) (si est = 0, on éhange le rôle de x et y) Compléter: M(x;y) (y+ ) 2 + = 0 (y+ ) 2 =2p(x+ ) Don le point M ( ; ) image du point M(x;y) par la translation de veteur u ( ; ) est un point de la oure d équation:, or M est l image de M par Don est l image de la oure d équation : par la translation de veteur On retiendra: Pour onstruire : y 2 + 2x + 2dy + f = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) on onstruit la paraole d équation : y 2 = 2px dans le repère (, i, j ) ave: ( ; ) Remarque: Si = 0 Alors est soit vide, soit une droite, asoit deux droites 3) Exeries: Dans le plan, muni d un R.O.N. (O, i, j ). Construire et donner les éléments aratéristiques des oures d équation: 1 : 16x y 2-160x + 200y = 0 2 : 9x 2-4y 2-18x - 27 = 0 ; 3 : 25x y x - 96y = 0 4 : 9x 2-54x - 4y 2-16y = 0

8 : y 2-8x + 4y - 36 = 0 6 : x 2-6x - 4y + 5 = 0 : y 2 + 2x + y 11 4 = 0 ; VI) Coures d équations: : ax 2 + xy + y 2 + 2dx + 2fy + g = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) : 1) Méthode: On déterminer un réel tel que le point M (x ;y ), image du point M(x;y) par la rotation de entre O et d angle rad., soit un point d une oure d équation: Ax 2 + By 2 + 2Cx + 2Dy + F = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) M = r O, (M) M = (M ) a)i) Compléter: M = r O, (M) M = (M ) ii) Etalir géométriquement que: M (x ;y ) est l image du point M(x;y) par la rotation de entre O et d angle rad. x x'. os y.sin y x'.sin y' os ) Compléter: M(x;y) ) En déduire que la ondition sur pour que M, image du point M(x;y) par la rotation de entre O et d angle rad. soit un point de la oure d équation: Ax 2 + By 2 + 2Cx + 2Dy + F = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) ; est: (a - )sin2 + os2 d) Résoudre:(en disutant suivant les valeurs de a ; et ) ( 0) l équation trigonométrique: (a - )sin2 + os2 Remarque: e) M = r O; (M' ) ; don = r O; (' ) On retiendra: Pour onstruire : ax 2 + xy + y 2 + 2dx + 2fy + g = 0, dans le R.O.N. (O, i, j ) ( 0) on herhe tel que: (a - )sin2 + os2 on a alors: r O, () =, ave: : Ax 2 + By 2 + 2Cx + 2Dy + F = 0 on onstruit (voir V)), puis on onstruit r O; (' ) (ou, on onstruit dans le repère (O,r (i ),r ( j )) g) Remarque: Dans le plan, muni d un R.O.N. (O, i, j ), : ax 2 + xy + y 2 + 2dx + 2fy + g =0 est: soit une paraole, soit une ellipse, soit une hyperole, toutes les autres formes otenues sont appelées «oniques dégénérées» 2) Exeries: Dans le plan, muni d un R.O.N. (O, i, j )

9 1) Construire les oures d équations: 1 : x xy + 2y 2-5 = 0 ; 2 : 5x 2 + 6xy + 5y x y + 26 = 0 3 : 11x xy - 39y 2 + ( )x + ( )y = 0 4 : 3x xy + y 2 + ( )x + ( )y - 47 = 0 2) Déterminer les éléments aratéristiques de la oure d équation: xy = 1