Parabole. Joël Moreau. 14 décembre 2004

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Olivier Beauséjour
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1 Prole Joël Moreu 4 décemre 004 Prémule : Lorsque l on construit une conique à prtir de 5 points dns un logiciel de géométrie comme CABRI il est presqu impossile d otenir une prole. L étude suivnte indique l construction,à prtir de 3 points,de utres points qui permettront de trcer l prole pssnt pr ces 5 points. Dns CABRI on pourr fire une mcro-construction construire une prole pssnt pr 3 points (si l ordre des points est importnt,l prole est unique). Le progrmme de ere est suffisnt pour comprendre les clculs suivnts Tngentes à l prole y = x le pln est rpporté u repère orthonormé (O, i, j) On considère l coure d éqution y = x et on recherche les points P(;) du pln d où l on peut mener u moins une tngente à l coure. Fig. Des points P Fig. quelques tngentes S il existe un point M(x 0 ;x 0 ) de l coure où l tngente psse pr P(;) lors x 0 vérifie x 0 = x 0(x 0 ) + c est à dire que x 0 est solution de l éqution x 0 x 0 + = 0 Cette éqution des solutions si 0. Le point P est u dessous de l coure (extérieur à l coure)

2 Propriétés de ces tngentes On se plce dns l ensemle des points P(;) tels que > 0.Il existe deux points de l coure où l tngente psse pr P. L un B( ;( ) ) l utre C(+ ;(+ ) ) Soit I le milieu de [PB], J celui de [PC],K le milieu de [IJ] lors les coordonnées de K sont (; ) et le coefficient directeur de l droite (IJ) est ce qui prouve que le point K est sur l coure,il l même scisse que P et l droite (IJ) est tngente à l coure en K. Le point I est extérieur à l coure et les droites (IB) et (IK) sont tngentes à l coure, donc l droite pssnt pr le milieu E de [IB] et le milieu F de [IK] est tngente à l coure u milieu G de [EF]. Le point J est extérieur à l coure et les droites (JK) et (JC) sont tngentes à l coure, donc l droite pssnt pr le milieu L de [JK] et le milieu N de [JC] est tngente à l coure u milieu M de [LN]. Remrque : les droites (BC) et (IJ) sont prllèles et l droite (PK) psse pr le milieu R de [BC], K est le milieu de [PR].(voir l figure 3) 3 Mcro Cri On donne 3 points B,K,C. Soit U le milieu de [BC] et P le symétrique de U pr rpport à K. I milieu de [PB],E milieu de [IB],F milieu de [IK],G milieu de [EF] J milieu de [PC],N milieu de [JC],L milieu de [JK],M milieu de [NL] on demnde à Cri de trcer l conique pssnt pr les cinq points B,G,K,M,C. On dmire le résultt!!! 4 Quelques remrques L secnte (BC) et l tngente (JI) étnt prllèles l droite pssnt pr leurs milieux U et K donne l direction de l xe de l prole. L droite (PB) est tngente en B à l prole,on considère l normle en B à cette droite. L symétrique de l prllèle à (UK), pssnt pr B, pr rpport à l normle en B psse pr le foyer de l prole. On refit l même construction vec l droite (P C), l intersection des deux symétriques donnent le point F foyer de l prole. L directrice de l prole est l droite pssnt pr l orthocentre du tringle P IJ et orthogonle à l droite pssnt pr F ynt l direction de l xe c est à dire (UK)

3 B ²- I - K C ² 0 J rc(²-) -rc(²-) P - +rc(²-) Fig. 3 Construction des tngentes 5 Coure orthoptique de l prole L coure orthoptique d une coure C est l ensemle des points du pln d où l on voit l coure C sous un ngle droit. L coure orthoptique d un cercle de ryon R est le cercle concentrique de ryon R. 3

4 L coure orthoptique d une ellipse est le cercle de Monge circonscrit u rectngle lui-même circonscrit à l ellipse(ses cotés sont prllèles ux xes). Le point P est un point de l coure orthoptique de l prole si les tngentes (P B) et (P C) sont perpendiculires c est-à-dire si le produit de leurs coefficients directeurs est égl à ( ) ( + ) = soit = 4 l coure orthoptique de l prole est l droite d éqution y = 4 On peut lors vérifier que l orthocentre H du tringle PIJ est sur cette droite en utilisnt Cri pr le clcul 5.0. Clcul de l ordonnée de H On pose r = ( ) on les ( points suivnts ) et leurs coordonnées ( ) r + r P = B = ( r) C = ( + r) ( ) ( ) ( ) r I = + r ( + ( J = x r) ) ( + ( + H = r) ) y On exprime les coordonnées des vecteurs IH et PJ puis JH et PI x ety sont les solutions du système { IH. PJ = 0 JH. PI = 0 on trouve y = 4 les clculs sont intéressnts à développer construction du foyer F En B et C on trce les normles à l coure,et les prllèles à l xe; les symétriques de ces prllèles pr rpport ux normles se coupent en F 4

5 B I - K C F 0 H J - P Fig. 4 Directrice et foyer 5

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